Дифференциальное уравнение является выберите один ответ

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Дифференциальное уравнение является выберите один ответ

Гармоническим рядом является ряд
A)
B)
Выберите правильный ответ
График частного решения некоторого дифференциального уравнения называется
А) интегральной
В) дифференциальной кривой
Выберите правильный ответ
Дифференциальное уравнение есть дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешённое относительно
А) старшей производной
В) первой производной
Выберите правильный ответ
Дифференциальное уравнение есть дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно
А) старшей производной
В) первой производной
Выберите правильный ответ
Дифференциальное уравнение есть общий вид дифференциального уравнения
А) n-го порядка
В) первого порядка
Выберите правильный ответ
Дифференциальное уравнение вида , где являются постоянными числами, а правая часть равна нулю называется однородным линейным дифференциальным уравнением
А) 2-го порядка
В) n-го порядка
Выберите правильный ответ
Дифференциальное уравнение вида представляет собой дифференциальное уравнение
А) с разделяющимися коэффициентами
В) типа Бернулли
Выберите правильный ответ
Дифференциальное уравнение вида представляет собой дифференциальное уравнение
А) с разделяющимися переменными
В) типа Бернулли
Выберите правильный ответ
Для знакоположительных рядов (1) и (2) , следовательно
A) оба ряда расходятся
B) если сходится ряд (1), то сходится ряд (2)
Выберите правильный ответ
Для некоторого дифференциального уравнения n-го порядка выражение т.е. функция переменной х и n произвольных независимых постоянных называется
А) общим
В) частным решением
Выберите правильный ответ
Из геометрических рядов , ,
сходятся
A) ,
B) ,
Выберите правильный ответ
Из рядов, , сходятся
А)
В) ,
Выберите правильный ответ
Из рядов,, paсходятся
А) ,
В) В
Выберите правильный ответ
Из рядов,, сходятся
А) ,
В)
Выберите правильный ответ
Из рядов, , сходятся
А)
В) ,
Выберите правильный ответ
Необходимый признак сходимости ряда выполняется для ряда
A) ;B) ; C) ; D)
Общий член ряда равен

Решение некоторого дифференциального уравнения, получаемое из общего решения при конкретных числовых значениях постоянных называется
А) произвольным
В) частным решением
Выберите правильный ответ
Решением дифференциального уравнения вида
А) или
В) называется такая функция , которая при её подстановке в это уравнение обращает его в тождество
Выберите правильный ответ
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения имеет корни:
A)
B)
Выберите правильный ответ
Числовой ряд сходится, если
A)
B)
Выберите правильный ответ
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
A)
В)
Выберите правильный ответ
Даны ряды (1) и (2); верное утверждение –
Для знакоположительного ряда , тогда если
Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы
Корни дифференциального уравнения , p и q-постоянные) в случае разных корней (). Тогда общее решение этого уравнения имеет вид
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка будет уравнение
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка будет уравнение
Необходимый признак сходимости ряда выполняется для ряда
Необходимый признак сходимости ряда выполняется для ряда
Необходимый признак сходимости ряда не выполняется для ряда
Ряд
Сходится ряд A) B) C) D)
Сходится ряд
Сходится ряд
Уравнением Бернулли будет дифференциальное уравнение
Уравнением Бернулли будет дифференциальное уравнение
Уравнением с разделяющимися переменными это уравнение
Частное решение неоднородного разностного уравнения равно
Верным является утверждение
Верным является утверждение, что если
Гармонический ряд является
Геометрический ряд сходится, если
Даны ряды (1) и (2); верное утверждение –
Даны ряды (1) и (2); верное утверждение –
Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными имеет вид
Для доказательства сходимости ряда необходимо использовать
Для знакоположительного ряда , исследование сходимости ряда с помощью d есть использование
Для знакоположительного ряда , тогда, если
Для знакоположительного ряда , тогда, если
Для знакоположительного ряда , тогда если
Для того чтобы знакоположительный ряд сходился
Если ряд сходится, то по признаку сравнения сходится и ряд
Задача Коши , имеет решение
Задача Коши имеет решение
Корни характеристического уравнение для
Корни характеристического уравнения для равны
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка будет уравнение
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка будет уравнение
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка будет уравнение
Необходимый признак сходимости ряда
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
Общее решение дифференциального уравнения , p и q-постоянные) в случае равных корней характеристического уравнения имеет вид
Общее решение дифференциального уравнения равно
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
Общее решение разностного уравнения имеет вид
Общее решение разностного уравнения с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения имеет вид
Общий член ряда имеет вид
Общий член ряда имеет вид
Общий член ряда равен
Остатком ряда называется
Пятый член ряда равен (ответ дайте в виде дроби a/b)
Пятый член ряда равен (ответ дайте в виде дроби a/b)
Пятый член ряда равен (ответ дайте в виде дроби a/b)
Радиус сходимости степенного ряда равен
Радиус сходимости степенного ряда равен
Решение задачи Коши равно
Ряд A) сходится условно B) сходится абсолютно C) расходится D) сходится
Ряд
Ряд
Ряд
Ряд
Ряд
Ряд Фурье функции , , в точке сходится к значению
Ряд Фурье функции , , в точке сходится к значению
Ряд Фурье функции , , в точке сходится к значению
Сходится ряд
Третий член ряда равен (ответ дайте в виде дроби a/b)
Уравнение является дифференциальным уравнением
Уравнение является дифференциальным уравнением
Уравнение является дифференциальным уравнением
Уравнение является дифференциальным уравнением
Уравнением Бернулли будет дифференциальное уравнение
Уравнением Бернулли будет дифференциальное уравнение
Уравнением Бернулли будет дифференциальное уравнение
Уравнением Бернулли называют дифференциальное уравнение
Уравнением с разделяющимися переменными является уравнение
Уравнением с разделяющимися переменными является уравнение
Условие является
Условие является
Функциональный ряд
Функциональный ряд
Функциональный ряд
Функциональным является ряд
Характеристическое уравнение для равно
Характеристическое уравнение для имеет вид
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения имеет корни
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения имеет вид
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения имеет корни
Частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1, равно
Частное решение дифференциального уравнения ищется в виде
Частное решение дифференциального уравнения равно
Частное решение дифференциального уравнения равно
Частное решение дифференциального уравнения ищется в виде
Частное решение дифференциального уравнения ищется в виде
Частное решение дифференциального уравнения ищется в виде
Частное решение дифференциального уравнения равно
Частное решение дифференциального уравнения равно
Частное решение дифференциального уравнения равно
Частное решение дифференциального уравнения , удов-летворяющее начальным условиям , равно
Частное решение дифференциального уравнения ищется в виде
Частное решение неоднородного разностного уравнения равно
Частное решение неоднородного разностного уравнения равно
Частное решение неоднородного разностного уравнения равно
Частное решение однородного разностного уравнения , удовлетворяющее начальному условию , равно
Частное решение разностного уравнения , удовлетворяющее начальному условию , равно

Обыкновенные дифференциальные уравления — Попытка 1

Всякое решение, полученное из общего решения дифференциального уравнения при конкретных значениях постоянных, называется _____ решением дифференциального уравнения

Дано дифференциальное уравнение: . Установите соответствие между видом функции f(x) и частным решением дифференциального уравнения

	Выбрать. y = A cosx + B sinx y = A cos2x + B sin2x y =Bx+C
	Выбрать. y = A cosx + B sinx y = A cos2x + B sin2x y =Bx+C
	Выбрать. y = A cosx + B sinx y = A cos2x + B sin2x y =Bx+C

_____ решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Выберите один ответ.

*

Дано линейное однородное дифференциальное уравнение . Тогда его общее решение имеет вид

Выберите один ответ.

*

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется _____ дифференциального уравнения

Если y и y’ входят в уравнение в первых степенях, не перемножаясь между собой, то такое дифференциальное уравнение называется _____

Частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду его правой части соответствует функция

Выберите один ответ.

*

Дифференциальное уравнение является

Выберите один ответ.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, неизвестную функцию, зависящую от этих переменных, и ее _____

Дифференциальное уравнение является

Выберите правильные варианты ответа:

Установите соответствие между видом дифференциального уравнения и его названием

	Клеро
	С разделяющимися переменными
	Бернулли
	Неоднород.с постоян. Кооф-ами

Дифференциальное уравнение является

Выберите правильные варианты ответа:

Дифференциальное уравнение является

Выберите правильные варианты ответа:

Дифференциальное уравнение является

Выберите правильные варианты ответа:

Дата добавления: 2015-09-15 ; просмотров: 11 ; Нарушение авторских прав