10.1. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия теории
Определение 1. Дифференциальным уравнением Второго порядка называется уравнение вида
Где Х — независимая переменная, У — искомая функция, У’ и У» — соответственно ее первая и вторая производные.
Примеры дифференциальных уравнений второго порядка:
Будем рассматривать уравнения, которые можно записать в виде, разрешенном относительно второй производной:
Как и в случае уравнения первого порядка, решением уравнения (10.1) называется функция У = φ(X), определенная на некотором интервале (А, B), которая обращает это уравнение в тождество. График решения называется Интегральной кривой. Имеет место теорема существования и единственности решения уравнения второго порядка.
ТЕОРЕМА 1 (теорема Коши). Пусть функция f(x, у, у’) и ее частные производные и , непрерывны в некоторой области D пространства переменных (x, у, у’). Тогда для любой внутренней точки М0(х0, у0, у’0) этой области существует единственное решение уравнения (10.2), удовлетворяющее условиям:
Геометрический смысл этой теоремы (ее доказательство мы не приводим) заключается в том, что через заданную точку (X0, Y0) на координатной плоскости Оху проходит Единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом Y0‘ касательной (рис. 10.1).
Условия (10.3) называются Начальными условиями, а задачу отыскания решения уравнения (10.2) по заданным начальным условиям называют Задачей Коши.
Общим решением уравнения (10.2) в некоторой области D Называется функция У = φ(х, С1, С2), если она является решением этого уравнения при любых постоянных величинах С1 и C2, которые могут быть определены единственным образом при заданных начальных условиях (10.3). Частным решением Уравнения (10.2) называется общее решение этого уравнения при фиксированных значениях постоянных С1 и C2: У = φ(х, С10, С20).
Рассмотрим для пояснения уравнение У» = 0. Его общее решение получается при двухкратном интегрировании этого уравнения:
Где С1 и C2 — произвольные постоянные. Это решение пред ставляет собой семейство прямых, проходящих в произвольных направлениях, причем через каждую точку плоскости Охy Проходит бесконечное число таких прямых. Поэтому для выделения частного решения, проходящего через заданную точку (х0, y0), следует задать еще и угловой коэффициент прямой, совпадающей в данном случае со своей касательной. Например, найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
Т. е. нужно найти прямую, проходящую через точку M (l, 2), с угловым коэффициентом, равным единице. Подстановка начальных условий в общее решение уравнения приводит к системе двух линейных уравнений относительно постоянных С1 и C2
Откуда С1 = 1, C2 = 1. Таким образом, искомое частное решение — это прямая У = х + 1.
Лекция по высшей математике»Дифференциальные уравнения второго порядка»(для 26 гр.)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1) ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию у(х) , независимую переменную х , первую и вторую производные у’, у» или дифференциалы
Дифференциальное уравнение второго порядка символически можно записать в общем виде следующим образом:
Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно второй производной, имеет вид:
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесчисленное множество решений, которые можно представить в виде функции Эта совокупность решений называется общим решением .
Функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях постоянных С 1 и С 2 , называется частным решением . Частное решение находится при помощи задания начальных условий: у(х=х 0 )=у 0 и у'(х=х 0 )=у 0 ‘ , где х 0 , у 0 , у 0 ‘ – конкретные числа.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию, называется задачей Коши . Практически задачу Коши решают следующим образом: находят общее решение, затем в него подставляют начальные условия, получают систему двух уравнений, определяют произвольные постоянные С 1 и С 2 и подставляют их конкретные значения в общее решение.
2) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, которые позволяют понизить порядок уравнения и привести его к уравнениям первого порядка.
2.1. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит у и у’ . Уравнение решается путем последовательного интегрирования. Найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
Интегрируя еще раз, получим общее решение:
Пример 1. Найти частное решение уравнения при заданных начальных условиях у(х= 0 )= 1 и у'(х= 0 )= 1.
Решение. Последовательно интегрируя, найдем сначала первую производную (промежуточное общее решение):
Интегрируя еще раз, получим общее решение:
Так как мы интегрировали дважды, то получили две произвольные постоянные С 1 и С 2 . Подставляя начальные условия в соотношения (2.1) и (2.2), получим С 1 =1 и С 2 =1. Следовательно, частное решение имеет вид:
2.2. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит искомой функции у . Уравнение решается с помощью подстановки:
где z – функция от х . Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка: .
Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные: Интегрируем:
Получаем промежуточное общее решение: или
Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
Интегрируя, получим общее решение:
Пример 3. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
Уравнение (2.3) является однородным и решается с помощью подстановки:
Подставляя (2.4) в (2.3), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
Сокращаем на х и разделяем переменные:
Интеграл в левой части равенства (2.5) вычисляем методом замены переменной:
После интегрирования (2.5) получаем промежуточное общее решение:
Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или .
Разделяем переменные и интегрируем: (2.6)
Интеграл, стоящий в правой части, вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
После интегрирования (2.6) получим общее решение:
Пример 4. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку: Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
Уравнение (2.7) является линейным неоднородным и решается с помощью подстановки:
Подставляя (2.8) в (2.7), получим:
Квадратную скобку приравняем к нулю и решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные и интегрируем: Получаем: или
Функцию подставляем в соотношение (2.9):
Сокращаем на х , разделяем переменные и интегрируем:
Делая обратную замену получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными: или
Разделяем переменные и интегрируем:
Интеграл, стоящий в правой части (2.10), вычисляем с помощью формулы интегрирования по частям:
После интегрирования (2.10) получим общее решение:
2.3. Дифференциальное уравнение вида
Правая часть уравнения не содержит независимой переменной х . Уравнение решается с помощью подстановки: или
где z – функция от у , т.е. z = z [ y ( x )] – сложная функция от х . Тогда :
Исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка:
где z – искомая функция, у – независимая переменная.
Решая это уравнение, найдем общее решение в виде Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка:
Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение
Пример 5. Найти общее решение уравнения
Решение. Сделаем подстановку:
Тогда исходное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Сокращаем на z ( z ≠0) и разделяем переменные:
Получаем промежуточное общее решение: или
Делая обратную замену получим еще одно дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:
Разделяем переменные: Интегрируя, получим общее решение:
3) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные дифференциальные уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , (1)
т.е. уравнение, которое содержит искомую функцию и её производные только в первой степени и не содержит их произведений. В этом уравнении и — некоторые числа, а функция задана на некотором интервале .
Если на интервале , то уравнение (1) примет вид , (2)
и называется линейным однородным . В противном случае уравнение (1) называется линейным неоднородным . Рассмотрим комплексную функцию , (3)
где и — действительные функции. Если функция (3) является комплексным решением уравнения (2), то и действительная часть , и мнимая часть решения в отдельности являются решениями этого же однородного уравнения. Таким образом, всякое комплексное решение уравнения (2) порождает два действительных решения этого уравнения.
Решения однородного линейного уравнения обладают свойствами:
Если есть решение уравнения (2), то и функция , где С – произвольная постоянная, также будет решением уравнения (2);
Если и есть решения уравнения (2), то и функция также будет решением уравнения (2);
Если и есть решения уравнения (2), то их линейная комбинация также будет решением уравнения (2), где и – произвольные постоянные.
Функции и называются линейно зависимыми на интервале , если существуют такие числа и , не равные нулю одновременно, что на этом интервале выполняется равенство
Если равенство (4) имеет место только тогда, когда и , то функции и называются линейно независимыми на интервале .
Пример 1 . Функции и линейно зависимы, так как на всей числовой прямой. В этом примере .
Пример 2 . Функции и линейно независимы на любом интервале, т. к. равенство возможно лишь в случае, когда и , и .
Построение общего решения линейного однородного уравнения.
Для того, чтобы найти общее решение уравнения (2), нужно найти два его линейно независимых решения и . Линейная комбинация этих решений , где и – произвольные постоянные, и даст общее решение линейного однородного уравнения. Линейно независимые решения уравнения (2) будем искать
в виде , (5) ,где – некоторое число. Тогда , . Подставим эти выражения в уравнение (2):
Так как , то . Таким образом, функция будет решением уравнения (2), если будет удовлетворять уравнению . (6)
Уравнение (6) называется характеристическим уравнением для уравнения (2). Это уравнение является алгебраическим квадратным уравнением.
Пусть и есть корни этого уравнения. Они могут быть или действительными и различными, или комплексными, или действительными и равными. Рассмотрим эти случаи.
Пусть корни и характеристического уравнения действительные и различны. Тогда решениями уравнения (2) будут функции и . Эти решения линейно независимы, так как равенство может выполняться лишь тогда, когда и , и . Поэтому общее решение уравнения (2) имеет вид , где и — произвольные постоянные.
Пример 3 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическим уравнением для данного дифференциального будет . Решив это квадратное уравнение, найдём его корни и . Функции и являются решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Комплексным числом называется выражение вида , где и — действительные числа, а называется мнимой единицей. Если , то число называется чисто мнимым. Если же , то число отождествляется с действительным числом .
Число называется действительной частью комплексного числа, а — мнимой частью. Если два комплексных числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части, то они зазываются сопряжёнными: ,
Пример 4 . Решить квадратное уравнение .
Решение . Дискриминант уравнения . Тогда . Аналогично, . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет сопряжённые комплексные корни.
Пусть корни характеристического уравнения комплексные , т.е. , , где . Решения уравнения (2) можно записать в виде , или , . По формулам Эйлера: , .
Тогда , . Как известно, если комплексная функция является решением лин. одн. ур-я, то решениями этого уравнения являются и действительная, и мнимая части этой функции. Таким образом, решениями уравнения (2) будут функции и . Так как равенство
может выполняться только в том случае, если и , то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид ,
где и — произвольные постоянные.
Пример 5 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Уравнение является характеристическим для данного дифференциального. Решим его и получим комплексные корни , . Функции и являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид .
Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные, т.е. . Тогда решениями уравнения (2) являются функции и . Эти решения линейно независимы, так как выражение может быть тождественно равным нулю только тогда, когда и . Следовательно, общее решение уравнения (2) имеет вид .
Пример 6 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическое уравнение имеет равные корни . В этом случае линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются функции и . Общее решение имеет вид .
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.
Общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения: .
В некоторых случаях частное решение неоднородного уравнения можно найти довольно просто по виду правой части уравнения (1). Рассмотрим случаи, когда это возможно.
Пусть неоднородное уравнение имеет вид , (7)
т.е. правая часть неоднородного уравнения является многочленом степени m . Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде многочлена степени m , т.е. .
Коэффициенты определяются в процессе нахождения частного решения.
Если же является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде .
Пример 7 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Соответствующим однородным уравнением для данного уравнения является
. Его характеристическое уравнение имеет корни и .
Общее решение однородного уравнения имеет вид .
Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде функции . Найдём производные этой функции , и подставим их в данное уравнение :
или . Приравняем коэффициенты при и свободные члены: Решив данную систему , получим , . Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид , а общим решением данного неоднородного уравнения будет сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного:
Пусть неоднородное уравнение имеет вид (8)
Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Если же есть корень характеристического уравнения кратности k ( k =1 или k =2), то в этом случае частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид .
Пример 8 . Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение . Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения имеет вид . Его корни , . В этом случае общее решение соответствующего однородного уравнения записывается в виде .
Так как число 3 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде . Найдём производные первого и второго порядков: ,. Подставим в дифференциальное уравнение: +,
Приравняем коэффициенты при и свободные члены:
Тогда частное решение данного уравнения имеет вид , а общее решение
Основные понятия и определения дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида
Если искомая функция есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,
Когда искомая функция есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида
называется уравнением в частных производных. Здесь — неотрицательные целые числа, такие, что ; например
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.
Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Например, функция является решением уравнения на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь
Подставляя выражения и в дифференциальное уравнение, получим тождество
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Общий вид уравнения первого порядка
Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ).
Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости (рис. 1).
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области плоскости , содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям
а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;
б) имеет частную производную , ограниченную в области , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .
Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.
1. . Здесь . В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при ), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).
2. . Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение
является вся плоскость .
3. . Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости . Частная производная обращается в бесконечность при , т.е. на оси , так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).
Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси , например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.
Условие Липшица
Замечание. Условие ограниченности производной , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .
Говорят, что функция , определенная в некоторой области , удовлетворяет в условию Липшица по , если существует такая постоянная ( постоянная Липшица ), что для любых из и любого из справедливо неравенство
Существование в области ограниченной производной достаточно для того, чтобы функция удовлетворяла в условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения функция не дифференцируема по в точке , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,
поскольку а . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной .
Теорема. Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по в области , то задача Коши
имеет единственное решение.
Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение
Нетрудно видеть, что функция непрерывна; с другой стороны,
и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат , так как множитель при оказывается неограниченным при .
Данное дифференциальное уравнение допускает решение где — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию
Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция
зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что
1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной ;
2) каково бы ни было начальное условие
можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.
Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .
Пример 1. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата.
Решение. Функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной . В самом деле,
Зададим произвольное начальное условие . Полагая и в равенстве , найдем, что . Подставив это значение в данную функцию, будем иметь . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив , получим . Итак, функция является общим решением данного уравнения.
В частности, полагая и , получим частное решение .
Общее решение данного уравнения, т.е. функция , определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом . Через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная линия . Частное решение определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).
Пример 2. Проверить, что функция есть общее решение уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Имеем . Подставляя в данное уравнение выражения и , получаем , т. е. функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной .
Зададим произвольное начальное условие . Подставив и вместо и в функцию , будем иметь , откуда . Функция удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая , получим . Функция есть общее решение данного уравнения.
При и получим частное решение .
С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку (рис.5).
Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.
Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.
Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.
Так как с геометрической точки зрения координаты и равноправны, то наряду с уравнением мы будем рассматривать уравнение .
http://infourok.ru/lekciya-po-visshey-matematikedifferencialnie-uravneniya-vtorogo-poryadkadlya-gr-2311306.html
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=osnovnye-ponyatiya-i-opredeleniya-differentsialnyh-uravneniy