Дифференциальные уравнения для прикладных задач

ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины

Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость числа бактерий от времени.

Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x, тогда — скорость размножения бактерий.

По условию задачи — уравнение с разделяющимися переменными.

Потенцируем последнее выражение и получаем общее решение нашего дифференциального уравнения.

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям

При t=0, x=x₀ -частное решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. По условию задачи известно, что через 5 часов .

Прологарифмируем последнее выражение

Окончательно получаем

Задача 2. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.

Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение

,

где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx.

k -коэффициент пропорциональности.

Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя.

Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные

Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I_{0 ,} при x=0, найдем частное решение

Итак, мы получили закон поглощения света веществом ( закон Бугера), где
k -натуральный показатель поглощения.

Задача 3. Известно, что механические свойства биологических объектов изучаются с помощью вязкоупругих моделей (поршень — пружина). Одной из найболее распространенных является модель Кельвина — Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня (см. рис.1).

Рис. 4. Модель Кельвина — Фойхта

Найти зависимость деформации от времени , если к модели приложена постоянная нагрузка.

Решение. Согласно условию задачи , и учитывая также, что при малых деформациях выполняется закон Гука, т.е. , а механическое напряжение, возникающее в вязкой среде пропорционально скорости деформации, т.е. , мы можем написать дифференциальное уравнение.

, или

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и , мы будем иметь сразу частное решение.

Потенцируя последнее выражение, получаем

Находим отсюда

Как видно из полученной формулы, в рамках модели Кельвина — Фойхта деформация при постоянной нагрузке возрастает с течением времени. Это соответствует реальным материалам. Такое свойство материала названо текучестью.

Конспект интегрированного урока для 11 класса на тему «Составление дифференциальных уравнений по условиям прикладных задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Общеобразовательное учреждение

средняя школа №16 г. Пинска

Интегрированный урок по физике и математике

на тему

“Составление дифференциальных уравнений

по условиям прикладных задач”

учителя: Федорино С. И.

Урок посвящен изучению темы в лицейском физико-математическом 11 классе. Он основан на групповой технологии обучения учащихся.

Цели урока:

Обучающая. Учить составлять дифференциальные уравнения по условиям прикладных задач.

Развивающая. Закрепить и углубить имеющиеся теоретические знания по темам “Дифференциальные уравнения и их классификация”. Повторить некоторые теоретические сведения из курса физики, необходимые для решения рассматриваемых задач. Создать условия для формирования навыков составления дифференциальных уравнений для решения прикладных задач.

Воспитательная. Воспитывать чувство коллективизма, товарищеской взаимовыручки, культуру межличностных отношений при групповом решении задач.

Подготовка к уроку

Подбор оборудования и заданий: высокая пробирка, заполненная водой, пластмассовые шарики; карточки-задания для работы в группах, слайды для проецирования через графопроектор.

Организация и ход урока

Содержание и характер деятельности учителей и учащихся на этапах урока.

Учитель математики : Объявляет тему урока.

Учитель физики : Объявляет цели данного урока.

Учитель математики : На предыдущих уроках мы с вами познакомились с дифференциальными уравнениями и их классификацией. Дифференциальные уравнения объединяют и обобщают многие идеи математического анализа, раскрывают сущность метода бесконечно малых величин, как важнейшего средства познания явлений действительности. Составить дифференциальное уравнение — это, значит, найти зависимость между аргументом функции, функцией и ее производной. Сегодня, как уже говорилось, мы будем учиться составлять дифференциальные уравнения по условиям физических задач.

Учитель физики : Составление дифференциальных уравнений является важнейшим и вместе с тем трудным вопросом. Универсального метода, пригодного во всех случаях, указать нельзя. Необходимо приобретение опыта и определенных навыков в решении различных задач, что достигается разбором большого количества решаемых задач и самостоятельного решения аналогичных примеров. Необходимо также знание данной прикладной дисциплины. Все задачи, которые сегодня будут разобраны на уроке, выбраны из олимпиад «Абитуриент 88 – 2000», которые предлагались на заочные туры для школьников. Многие из вас уже почувствовали необходимость данной темы при прохождении тестирования по математике и физике; при участии в олимпиадах МФТИ, БГУ и БГУИР.

Учитель математики : Для повторения и систематизации знаний проводит опрос на классификацию дифференциальных уравнений (демонстрирует карточки с заранее заготовленными уравнениями).

Учитель физики : После повторения темы совместно составим дифференцированное уравнение к конкретной физической задаче. Сложность составления дифференциального уравнения заключается еще и в переходе от математической записи (у, у’, х’, dx , dy ) к конкретным физическим величинам (х’, da , dA , q ‘, dF ). Попробуем преодолеть эту трудность.

Учитель математики : Зачитывает условие задачи: шарик массой m и радиусом R падает в вертикальном сосуде высотой Н полностью заполненный водой, встречая силу сопротивления пропорциональную скорости движения ( F_C = kV ). Найти скорость шарика и ускорение, с которым он упадёт на дно сосуда.

Учитель физики : Моделирует задачу на опыте (в пробирку с водой опускает пластмассовые шарики). Два ученика параллельно оформляют на доске «Дано», строят пояснительный чертеж, изображают действующие на шарик силы. Третий ученик записывает II закон Ньютона в век­торной форме, выбирает координатную ось и переписывает закон в скалярной фор­ме, находя проекции на выбранную ось:

Учитель математики : Озвучивает «Алгоритм составления дифференциального уравнения», ученики слушают:

Алгоритм составления дифференциального уравнения :

1. Выбирают соответствующие рассматриваемой ситуации независимую переменную и искомую функцию и вводят для них (или используют общепринятые) обозначения (например, s ( t ) — путь, пройденный телом к моменту времени t ; v ( t ) — скорость тела в момент времени t ; q ( t ) — количество зарядов, протекших через единичное сечение проводника за время t от начала процесса; у(х) — функция, графиком которой является некоторая кривая, и т.д.).

2. Определяют физическую или геометрическую интерпретацию производной искомой функции или, если надо, ее второй или, более высокой производной (например, s ‘( t ) — скорость тела в момент времени t ; s »( t ), v ‘( t ) — ускорение тела в момент времени t; q ‘( t ) — сила тока в проводнике в момент времени t ; у'(х) — угловой коэффициент к графику функции у = у(х) и т.д.).

3. Используя физический закон, описывающий рассматриваемую ситуацию, связывают производную искомой функции с самой функцией и иными параметрами системы.

4. Определяют, исходя из условий задачи, начальные условия, налагаемые на искомую функцию.

5. Приводят полученное уравнение (если это возможно) к одному из стандартных видов и формулируют для него начальную задачу.

Учитель физики : Пошагово выполняет действия по алгоритму, при этом делает записи на доске:

1) Определяем зависимость скорости шарика от времени: V = f (t), т.е. t — независимая переменная, V — искомая функция;

2) Ускорение шарика можно записать как: а = V ‘ = ;

3) По условию задачи известна длина сосуда, поэтому необходимо перейти к зависимости скорости шарика V от длины х:

= =

4) При х = 0, скорость шарика равна нулю: V = 0, при этом

m = mg – F_A – F_C

m = mg – F_A – kV

m V = mg – F_A – kV

5) Разделяя переменные, приводим полученное дифференциальное уравнение:

= dx

Учитель математики: В ознакомительном плане показывает, как решается за­дача по этапам.

Учитель физики: С помощью графопроектора показывает готовые промежуточные результаты на доске:

= dx

(–V – ln ( – V)) = x + C

(–V – ln [ ]) = x

Учитель математики : Теперь, используя алгоритм составления дифференциального уравнения, а также разобранную задачу каждая группа составит дифференциальное уравнение к конкретной физической задаче (Приложение: “Задачи для работы в группах”). Класс заранее разбит на 6 групп по 4 – 5 человек по принципу дифференциации. Задачи лежат на заранее сдвинутых партах. На каждую парту ставятся бумажные треугольники, на гранях которых написано:

— номер группы (соответствует номеру решаемой задачи),

— сигнал о возникновении зат­руднения при совместном решении;

— сигнал о готовности решения.

Учащиеся знакомятся с условием задачи, распределяют обязанности внутри группы, намечают пути решения данной задачи.

Учитель физики: Засекает время, включает негромкую инструментальную мелодию.

Ученики : 6 человек (по одному представителю от каждой группы) офор­мляют на доске свои решения. При этом придерживаются схемы:

— закон или функция;

— классификация дифференциального уравнения.

Учитель математики : подводит итог урока.

Учитель физики: задает домашнее задание (оставшиеся 4 задачи).

Рефлексию урока организуют оба учителя.

ЗАДАЧА

Шарик массой m и радиусом R падает в вертикальном сосуде высотой Н полностью заполненный водой, встречая силу сопротивления пропорциональную скорости движения ( F_C = kV ). Найти скорость шарика и ускорение, с которым он упадёт на дно сосуда.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РАБОТЫ В ГРУППАХ

1. Лыжник спускается по длинному склону с углом наклона i , не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыжника о снег равен μ. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости (F_С = kV 2 ), где k — постоянный коэффициент. Какую максимальную скорость мог развить лыжник, если его масса m ?

2. Гибкий тяжелый трос длиной L и массой M перекинут через блок, масса и радиус которого пренебрежительно малы. Трение в блоке отсутствует. Трос находится в равновесии. К одному из концов троса подвешивают груз массой m . Найти скорость троса в момент отрыва от блока.

3. Для выработки залежи полезных ископаемых необходимо вырыть котлован площадью сечения S и глубиной Н. Найти работу А, которую необходимо выполнить, чтобы поднять породу с глубины. Плотность породы изменяется по закону: ρ = ρ₀ + by , где ρ₀ — плотность породы на поверхности, b — некоторая постоянная.

4. Водород расширяется при постоянной температуре от своего первоначального объема V ₀ имея первоначальное давление Р₀, при некотором внешнем давлении бесконечно мало отличающимся от давления газа. Найти произведенную работу водорода.

5. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью V₀. На полном ходу ее мотор выключается и через время t ₁ скорость уменьшается до V ₁ . Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Определить скорость лодки через время t после остановки мотора.

6. К горизонтальной пружине, силой тяжести которой можно пренебречь, прикреплен груз массой m . Оттянув груз на длину х, его заставляют свободно колебаться. Найти закон этого движения, пренебрегая побочными сопротивлениями.

7. Пуля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/с, а вылетает со скоростью 60 м/с. Брус сопротивляется движению пули с силой, пропорциональной квадрату скорости движения. Найти время движения пули через брус.

8. Тело массой m падает с некоторой высоты со скоростью V. При падении на него действует сила сопротивления F _С = aV 2 . Найти закон падающего тела.

9. Сила тяжести летчика с парашютом 80 кг. Сопротивление воздуха при спуске пропорционально квадрату скорости (k = 400 Нс 2 /м 2 ). Определить скорость спуска в зависимости от времени и установить максимальную скорость спуска.

10.Конденсатор емкостью С включен в цепь с напряжением U и сопротивлением R, Определить заряд q конденсатора в момент времени Т после замыкания цепи.

1. F_TP N

F_C

mg

2.

L – x

a x

3 .

dx

dmg

F_A

5. Þ ma = – F_C F_C

Þ

6. N

F _У

mg