Дифференциальные уравнения для прикладных задач конспект

урок «Обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши»
методическая разработка по алгебре по теме

Конспект урока по теме » обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши». Предлагается методика введения нового материала, а также метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.Материал предназначен для работы со студентами 2 курса техникума.

Скачать:

Вложение	Размер
Урок»обыкновенные дифференциальные уравнения»	212.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока : Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный .

— помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

— помочь овладеть методами решения ДУ;

— отработать навыки решения обыкновенных диф.уравнений первого

— развить логическое мышление студентов;

— развивать творческие способности студентов:

— побудить интерес к изучаемому предмету.

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

дидактический материал;
проектор;
презентация.

Организационный момент.
Коррекция пройденного материала.
Актуализация знаний.
Объяснение нового материала.
Закрепление изученного материала.
Информация о домашнем задании.
Подведение итогов.

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.Отметить дежурных.

Объявить тему урока и его цель.

2.Коррекция пройденного материала: на предыдущем занятии вы выполняли самостоятельную работу. Анализируя ваши работы , были выделены следующие типичные ошибки ( показать на доске правильное выполнение). В итоге получены следующие результаты ( объявить оценки за сам. работу).

3. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х) ‘ =… (х 3 ) ‘ =… (6х 2 ) ‘ =… (х+5) ‘ =… (5х-4) ‘ =… (2sinx) ‘ =…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

в) Чему равен угловой коэффициент касательной ,проведенной к графику функции в точке х 0 ? ( ответ: производной функции при х 0 )

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F ‘ dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) ( ответ: I=2x+lnx+С); б) ; (I=ln(x+2)+C);

На слайдах показать графики решений данных неопределенных интегралов.

4.Объяснение нового материала:

Мотивация: В начале занятия к нам пришла необычная телеграмма

( текст на слайде) от майора Пронина.

На месте преступления обнаружен отпечаток пальца и записка: у ‘ =2х.

Подозреваю функцию . Cherchez la femme! Майор Пронин.

Выяснить , что данное равенство уравнение и оно содержит функция и её производные. Такие уравнения называют дифференциальными (ДУ).

Наша задача научиться решать такие уравнения. Может последовать вопрос: а зачем?

Как сказал один мудрец : «Великая книга природы написана на языке дифференциальных уравнений».

Смысл этой аллегории таков: математикам кажется , что законы природы во многих случаях удобно описывать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Сущность этих законов подчас раскрывается в результате решения ДУ.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Ученый кот , услышав шорох,

Надел очки и на ходу

Учел реакцию в опорах,

Уклон и скорость. Для ОДУ

Путем изящных вычислений

Решил систему уравнений,

Пересчитав все P и Q,

И приготовился к прыжку.

Мышь убежала. Но , однако,

Кот съел в теории собаку.

Теперь мы плавно переходим к теории.

Определение 1: Дифференциальным уравнением называют уравнение , связывающее независимые переменные, их функцию и производные

( или дифференциалы) этой функции.

Определение 2: Если независимая переменная одна , то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше , то уравнение называется в частных производных.

Определение 3 : Наивысший порядок производной , входящей в уравнение , называют порядком дифференциального уравнения.

ху ‘ +у=0- обыкновенное диф.уравнение первого прядка.

— обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.

у »’ -2у=х- обыкновенное диф. уравнение третьего порядка.

Определение 4: Процесс решения ДУ называется интегрирование.

Определение 5: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение 6 : Общим решением ДУ называется такое решение , в которое входит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок уравнения.

Так, общее решение ДУ первого порядка содержит одну произвольную.

Общему решению ДУ соответствует совокупность ( семейство) всех интегральных кривых.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения ДУ называется интегральной кривой.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х 0 )=у 0 , называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

В ходе записывания теории разбирается пример: , , — общее решение

При х= 2, у=5, тогда 5= , 5= 4+с, получим с= 1, следовательно,

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Для решения этого уравнения необходимо:

разделить сначала переменные;
проинтегрировать обе части полученного равенства.

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С 2 /(-3), тогда С 2 =9.

Частное решение имеет вид: .

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

у ‘ =4х 3 .Найти общее решение.( ответ: у=х 4 +С)
(ответ: )

Найти частные решения ДУ:

Найти частное решение ДУ .

тогда у=2sinx-1- частное решение.

1. , при х=π, у=0 . Ответ:

Практическое приложение ДУ.

-Откуда берутся ОДУ?

-А откуда берут их авторы задачников?

— С потолка или из пальца!

К сожалению, такое тоже бывает, но это не типично. Основным поставщиком ДУ для математиков является практика.

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Решение: По геометрическому смыслу производной . Получим:

Определить путь , который пройдет автомобиль за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

По условию , где к- коэффициент пропорциональности.

При t=10,s=100: ln100=10k+C

При t= 15,s=200:ln200= 15k+C, следовательно k=ln2/5, тогда С=ln25

Уравнение (1) примет вид: .

При t=20c. S=400м.Ответ: 400м.

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Пусть Q-наличие фермента (г.) в момент времени t (ч.) , то скорость прироста фермента . По условию задачи .

При t=0, Q=2г., тогда С=ln2, получим .

При t=1, Q=2,6, тогда к=ln1,3

6.Задание на дом: выучить основные определения из конспекта;

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.

7.Подведение итогов: Выставление оценок за работу на уроке.

Найти общее решение ОДУ:

Найти частное решение ОДУ:

Найти общее решение ОДУ:

Найти частное решение ОДУ:

Решить уравнения:1.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БРЯНСКИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫЙ ТЕХНИКУМ

по дисциплине «Математика»

Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Для специальностей: 190604 «Техническое обслуживание и ремонт

автомобилей на транспорте»

190701 «Организация грузовых перевозок на

080110 «Экономика и бухгалтерский учет на

транспорте (по видам)»

на методическую разработку открытого урока по дисциплине «Математика» по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши», разработанного преподавателем математики Жуковой Н.В.

Видом урока является изложение нового материала. В начале урока озвучена цель и задачи . В ходе изложения материала прослеживается четкая структура урока: актуализация знаний, хорошо проведена мотивация темы , доступно излагается материал, продуман этап закрепления. Урок методически построен правильно.

В ходе урока использовалась презентация с целью повышения наглядности, усвоения материала и познавательного интереса.

Изложение нового материала проходит в доступной , но в тоже время научной форме. Параллельно излагаемому материалу делается акцент на практическое применение данной темы , ее месту и роли в математике.

На этапе закрепления используется дифференцированный подход: студенты , усвоившие основной уровень знаний и умений , принимаются за боле сложные задания под контролем преподавателя. От результата их деятельности зависит итоговая оценка за урок.

Содержание данного урока включает в себя индивидуальную работу , что повышает ответственность студентов за итог проделанной ими работы.

Очень широко представлена межпредметная связь на данном уроке. Преподаватель подобрал задания прикладного характера, на которых студенты смогут оценить значимость данной темы и её необходимость в других областях науки.

К разработке данного урока преподаватель подошел с творчеством. Проделана большая подготовительная работа по обеспечению дидактическими и техническими средствами.

Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.

Рецензент: Немцова З.Н.- преподаватель математики Брянского автотранспортного

Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.

Рецензент: Толстенок И.Л.- преподаватель математики Брянского торгово-экономического

Конспект интегрированного урока для 11 класса на тему «Составление дифференциальных уравнений по условиям прикладных задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Общеобразовательное учреждение

средняя школа №16 г. Пинска

Интегрированный урок по физике и математике

на тему

“Составление дифференциальных уравнений

по условиям прикладных задач”

учителя: Федорино С. И.

Урок посвящен изучению темы в лицейском физико-математическом 11 классе. Он основан на групповой технологии обучения учащихся.

Цели урока:

Обучающая. Учить составлять дифференциальные уравнения по условиям прикладных задач.

Развивающая. Закрепить и углубить имеющиеся теоретические знания по темам “Дифференциальные уравнения и их классификация”. Повторить некоторые теоретические сведения из курса физики, необходимые для решения рассматриваемых задач. Создать условия для формирования навыков составления дифференциальных уравнений для решения прикладных задач.

Воспитательная. Воспитывать чувство коллективизма, товарищеской взаимовыручки, культуру межличностных отношений при групповом решении задач.

Подготовка к уроку

Подбор оборудования и заданий: высокая пробирка, заполненная водой, пластмассовые шарики; карточки-задания для работы в группах, слайды для проецирования через графопроектор.

Организация и ход урока

Содержание и характер деятельности учителей и учащихся на этапах урока.

Учитель математики : Объявляет тему урока.

Учитель физики : Объявляет цели данного урока.

Учитель математики : На предыдущих уроках мы с вами познакомились с дифференциальными уравнениями и их классификацией. Дифференциальные уравнения объединяют и обобщают многие идеи математического анализа, раскрывают сущность метода бесконечно малых величин, как важнейшего средства познания явлений действительности. Составить дифференциальное уравнение — это, значит, найти зависимость между аргументом функции, функцией и ее производной. Сегодня, как уже говорилось, мы будем учиться составлять дифференциальные уравнения по условиям физических задач.

Учитель физики : Составление дифференциальных уравнений является важнейшим и вместе с тем трудным вопросом. Универсального метода, пригодного во всех случаях, указать нельзя. Необходимо приобретение опыта и определенных навыков в решении различных задач, что достигается разбором большого количества решаемых задач и самостоятельного решения аналогичных примеров. Необходимо также знание данной прикладной дисциплины. Все задачи, которые сегодня будут разобраны на уроке, выбраны из олимпиад «Абитуриент 88 – 2000», которые предлагались на заочные туры для школьников. Многие из вас уже почувствовали необходимость данной темы при прохождении тестирования по математике и физике; при участии в олимпиадах МФТИ, БГУ и БГУИР.

Учитель математики : Для повторения и систематизации знаний проводит опрос на классификацию дифференциальных уравнений (демонстрирует карточки с заранее заготовленными уравнениями).

Учитель физики : После повторения темы совместно составим дифференцированное уравнение к конкретной физической задаче. Сложность составления дифференциального уравнения заключается еще и в переходе от математической записи (у, у’, х’, dx , dy ) к конкретным физическим величинам (х’, da , dA , q ‘, dF ). Попробуем преодолеть эту трудность.

Учитель математики : Зачитывает условие задачи: шарик массой m и радиусом R падает в вертикальном сосуде высотой Н полностью заполненный водой, встречая силу сопротивления пропорциональную скорости движения ( F_C = kV ). Найти скорость шарика и ускорение, с которым он упадёт на дно сосуда.

Учитель физики : Моделирует задачу на опыте (в пробирку с водой опускает пластмассовые шарики). Два ученика параллельно оформляют на доске «Дано», строят пояснительный чертеж, изображают действующие на шарик силы. Третий ученик записывает II закон Ньютона в векторной форме, выбирает координатную ось и переписывает закон в скалярной форме, находя проекции на выбранную ось:

Учитель математики : Озвучивает «Алгоритм составления дифференциального уравнения», ученики слушают:

Алгоритм составления дифференциального уравнения :

1. Выбирают соответствующие рассматриваемой ситуации независимую переменную и искомую функцию и вводят для них (или используют общепринятые) обозначения (например, s ( t ) — путь, пройденный телом к моменту времени t ; v ( t ) — скорость тела в момент времени t ; q ( t ) — количество зарядов, протекших через единичное сечение проводника за время t от начала процесса; у(х) — функция, графиком которой является некоторая кривая, и т.д.).

2. Определяют физическую или геометрическую интерпретацию производной искомой функции или, если надо, ее второй или, более высокой производной (например, s ‘( t ) — скорость тела в момент времени t ; s »( t ), v ‘( t ) — ускорение тела в момент времени t; q ‘( t ) — сила тока в проводнике в момент времени t ; у'(х) — угловой коэффициент к графику функции у = у(х) и т.д.).

3. Используя физический закон, описывающий рассматриваемую ситуацию, связывают производную искомой функции с самой функцией и иными параметрами системы.

4. Определяют, исходя из условий задачи, начальные условия, налагаемые на искомую функцию.

5. Приводят полученное уравнение (если это возможно) к одному из стандартных видов и формулируют для него начальную задачу.

Учитель физики : Пошагово выполняет действия по алгоритму, при этом делает записи на доске:

1) Определяем зависимость скорости шарика от времени: V = f (t), т.е. t — независимая переменная, V — искомая функция;

2) Ускорение шарика можно записать как: а = V ‘ = ;

3) По условию задачи известна длина сосуда, поэтому необходимо перейти к зависимости скорости шарика V от длины х:

= =

4) При х = 0, скорость шарика равна нулю: V = 0, при этом

m = mg – F_A – F_C

m = mg – F_A – kV

m V = mg – F_A – kV

5) Разделяя переменные, приводим полученное дифференциальное уравнение:

= dx

Учитель математики: В ознакомительном плане показывает, как решается задача по этапам.

Учитель физики: С помощью графопроектора показывает готовые промежуточные результаты на доске:

= dx

(–V – ln ( – V)) = x + C

(–V – ln [ ]) = x

Учитель математики : Теперь, используя алгоритм составления дифференциального уравнения, а также разобранную задачу каждая группа составит дифференциальное уравнение к конкретной физической задаче (Приложение: “Задачи для работы в группах”). Класс заранее разбит на 6 групп по 4 – 5 человек по принципу дифференциации. Задачи лежат на заранее сдвинутых партах. На каждую парту ставятся бумажные треугольники, на гранях которых написано:

— номер группы (соответствует номеру решаемой задачи),

— сигнал о возникновении затруднения при совместном решении;

— сигнал о готовности решения.

Учащиеся знакомятся с условием задачи, распределяют обязанности внутри группы, намечают пути решения данной задачи.

Учитель физики: Засекает время, включает негромкую инструментальную мелодию.

Ученики : 6 человек (по одному представителю от каждой группы) оформляют на доске свои решения. При этом придерживаются схемы:

— закон или функция;

— классификация дифференциального уравнения.

Учитель математики : подводит итог урока.

Учитель физики: задает домашнее задание (оставшиеся 4 задачи).

Рефлексию урока организуют оба учителя.

ЗАДАЧА

Шарик массой m и радиусом R падает в вертикальном сосуде высотой Н полностью заполненный водой, встречая силу сопротивления пропорциональную скорости движения ( F_C = kV ). Найти скорость шарика и ускорение, с которым он упадёт на дно сосуда.

ЗАДАЧИ ДЛЯ РАБОТЫ В ГРУППАХ

1. Лыжник спускается по длинному склону с углом наклона i , не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыжника о снег равен μ. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости (F_С = kV 2 ), где k — постоянный коэффициент. Какую максимальную скорость мог развить лыжник, если его масса m ?

2. Гибкий тяжелый трос длиной L и массой M перекинут через блок, масса и радиус которого пренебрежительно малы. Трение в блоке отсутствует. Трос находится в равновесии. К одному из концов троса подвешивают груз массой m . Найти скорость троса в момент отрыва от блока.

3. Для выработки залежи полезных ископаемых необходимо вырыть котлован площадью сечения S и глубиной Н. Найти работу А, которую необходимо выполнить, чтобы поднять породу с глубины. Плотность породы изменяется по закону: ρ = ρ₀ + by , где ρ₀ — плотность породы на поверхности, b — некоторая постоянная.

4. Водород расширяется при постоянной температуре от своего первоначального объема V ₀ имея первоначальное давление Р₀, при некотором внешнем давлении бесконечно мало отличающимся от давления газа. Найти произведенную работу водорода.

5. Моторная лодка движется в стоячей воде со скоростью V₀. На полном ходу ее мотор выключается и через время t ₁ скорость уменьшается до V ₁ . Сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки. Определить скорость лодки через время t после остановки мотора.

6. К горизонтальной пружине, силой тяжести которой можно пренебречь, прикреплен груз массой m . Оттянув груз на длину х, его заставляют свободно колебаться. Найти закон этого движения, пренебрегая побочными сопротивлениями.

7. Пуля входит в брус толщиной 12 см со скоростью 200 м/с, а вылетает со скоростью 60 м/с. Брус сопротивляется движению пули с силой, пропорциональной квадрату скорости движения. Найти время движения пули через брус.

8. Тело массой m падает с некоторой высоты со скоростью V. При падении на него действует сила сопротивления F _С = aV 2 . Найти закон падающего тела.

9. Сила тяжести летчика с парашютом 80 кг. Сопротивление воздуха при спуске пропорционально квадрату скорости (k = 400 Нс 2 /м 2 ). Определить скорость спуска в зависимости от времени и установить максимальную скорость спуска.

10.Конденсатор емкостью С включен в цепь с напряжением U и сопротивлением R, Определить заряд q конденсатора в момент времени Т после замыкания цепи.

1. F_TP N

F_C

L – x

a x

3 .

dmg

F_A

5. Þ ma = – F_C F_C

6. N

F _У

Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

«Великая книга природы написана на языке математики»

Вид занятия: сдвоенный урок.

Тип занятия: урок обобщения и систематизации знаний.

Формы занятия: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Продолжительность занятия: 90 мин.

Цель занятия: обобщить и систематизировать знания по теме «Дифференциальные уравнения», провести диагностику усвоения системы знаний и умений выполнять задания стандартного уровня.

Учебно-методическое обеспечение: тест, презентация преподавателя , задачи для индивидуального решения, уравнения для группового решения, задания для самостоятельной работы, лист оценки знаний студента .

Хронокарта занятия:

1. Оргмомент (5 мин).
2. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели (5 мин).
3. Актуализация опорных знаний:
3.1. Тестирование (5 мин);
3.2. Фронтальный опрос (8 мин).
4. Систематизация умений решать задания стандартного уровня, повторение алгоритмов:
4.1. Коллективное решение задач, составление алгоритмов; (25 мин);
4.2. Разноуровневая самостоятельная работа. (20 мин).Приложение 2
5. Задачи прикладного характера:
5.1 историческая справка по применению дифференциальных уравнений (5 мин);
5.2 презентации (10 мин).
6. Домашнее задание (2 мин).
7. Рефлексия (5 мин).

1. Оргмомент

Студенты разделились на 6 групп. В каждой группе есть консультант – студент, который помогает ребятам своей группы, оценивает их работу.
Здравствуйте, студенты и гости, присутствующие на нашем занятии.

Цель нашего занятия: обобщить и систематизировать знания по теме «Дифференциальные уравнения». Для достижения этой цели мы проведем предварительное тестирование с самооценкой, чтобы увидеть свои пробелы в знаниях; фронтальный опрос по тем вопросам, которые были выданы для подготовки к занятию; групповое решение уравнений с проверкой на доске и создание алгоритмов решения каждого типа уравнения (поэтому мы разделились с вами на 6 групп). Увидим презентации задач прикладного характера, которые студенты подготовили дома.

И в заключение, выполним разноуровневую самостоятельную работу. Результаты оценивания знаний на разных этапах заносятся в лист оценки знаний каждого студента. В процессе занятия учитывается и индивидуальная, и групповая формы работы.

2. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели

Теория дифференциальных уравнений является заключительной темой после изучения дифференциально–интегрального исчисления. Тема эта очень сложная. Она является важной для получения фундаментального естественно – научного образования. Для формирования представлений о математике, как о необходимой для каждого человека составляющей общих знаний о мире и понимания значимости этой науки для общественного прогресса
.

«Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой», – писал А.Н.Колмогоров (выдающийся математик современности). Сегодня мы с вами должны обобщить и систематизировать материал по теме дифференциальных уравнений, совершенствовать свои умения и навыки, которые обязательно пригодятся, если мы продолжим потом свое обучение в высших учебных заведениях.

3. Актуализация опорных знаний

«Скажи мне – и я забуду.
Покажи мне – и я запомню.
Вовлеки меня – и я научусь»

3.1 Тестирование

Итак, каков смысл данного выражения? Чтобы овладеть знаниями и умениями мы информацию должны не только услышать и увидеть, но и вовлечь себя в работу. Я предлагаю для начала вам тест на 5 минут с самопроверкой, который оценивается по количеству правильных ответов. С его помощью мы проверяем свои знания.

Тест по теме «Дифференциальные уравнения»

1) Примеры дифференциальных уравнений:

2) Вид дифференциального уравнения у’ = х + 1:

а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.

3) Решить задачу Коши – это найти

а) общее решение дифференциального уравнения;
б) начальные условия;
в) произвольную постоянную С;
г) частное решение дифференциального уравнения.

4) Решением дифференциального уравнения у» – 9 у = 0 является функция…

5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении e x lnydx + xydy = 0 приведет его к виду…

а)
б)
в)
г)

1) Примеры дифференциальных уравнений 2-го порядка:

2) Вид дифференциального уравнения y’ + 4y – 2 = 0:

а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.

3) Дифференциальное уравнение вида решается путем…

а) введения новой переменной y = z . x
б) разделения переменных
в) непосредственного интегрирования
г) введения новой переменной y = u . v

4) Решением дифференциального уравнения у» – 8y’ + 16у = 0 является функция…

5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении приведет его к виду…

а)
б)
в)
г)

Проведем самопроверку теста. Сравните ответы, отметьте знаком + или – ответы. Оцените свою работу. Ответы на слайде .
Оценка: за 5 правильных ответов – «5», за 4 правильных ответа – «4», за 3 правильных ответа – «3», за 1, 2 правильных ответа – «2».

(Проверить результаты и выставить оценку в свой лист учета знаний)

3.2 Фронтальный опрос

А сейчас проведем фронтальный опрос по теории для того, чтобы частично подкорректировать знания тем, кто не совсем добросовестно повторял дома контрольные вопросы и имеет пробелы в знаниях.

Какое уравнение называется дифференциальным? (Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции).
Как определить порядок ДУ? (Порядок ДУ определяется наивысшим порядком производной, содержащейся в этом уравнении).
Какого порядка ДУ мы изучили? (Первого и второго порядка).
Какие ДУ первого порядка вы знаете? (С разделяющимися переменными, однородные, линейные).
Какие ДУ второго порядка мы изучили? (Сводящиеся к понижению степени и ОЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами).
Составить схему классификации ДУ на доске с помощью магнитов и названий ДУ, написанных на плакатах. (Проверяется с помощью соответствующего слайда презентации)
Может ли ЛДУ быть одновременно ЛДУ с разделяющимися переменным? Как решать такое уравнение? (Да. Решается как ЛДУ с разделяющимися переменными).
Какие методы решения ЛДУ 1-го порядка вы знаете? (Метод Бернулли и метод вариации произвольной постоянной).

4. Систематизация умений решать задания стандартного уровня. Повторение алгоритмов.
Для проверки своих сил в решении конкретных уравнений я предлагаю каждой группе по одному или два уравнения на 10 минут. Решаем вместе, обмениваемся опытом. Когда группа справится с заданием, представитель выходит к доске и демонстрирует свои основные выкладки. После чего, мы еще раз сформулируем алгоритм решения каждого типа уравнения.
Итак, задание: определить вид уравнения, решить его, сформулировать алгоритм решения такого типа уравнения.

Алгоритмы

За участие в групповом решении консультанты должны выставить каждому оценку в лист учета знаний.
После такого повторения предлагается выполнить каждому студенту индивидуальную разноуровневую самостоятельную работу. Порядковый номер каждого задания дает количество набираемых баллов. Каждый выбирает задания для себя самостоятельно.

Самостоятельная работа (разноуровневая)

1) Определить вид дифференциального уравнения:

2) Составить характеристическое уравнение:

3) Зная и , записать общее решение дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами:

4) Решить задачу Коши, если:

Если сумма баллов порядковых номеров решаемых примеров находится в пределах:

от 4 до 9 ,то оценка «3»;
от 10 до 15, то оценка «4»;
от 16 и выше, то оценка «5».

5. Задачи прикладного характера

«Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это путь самый благородный,
Путь подражания – это путь самый легкий
И путь опыта – это путь самый горький»

5.1. Историческая справка по применению дифференциальных уравнений

При изучении тех или иных физических, биологических процессов, механических явлений, ученым удается составить дифференциальные уравнения этого процесса или явления. А затем, решая это уравнение, удается вывести функциональный закон описания изучаемого вопроса. Дифференциальные уравнения играют большую роль в деле изучения природы и различных физических, химических и других процессов.
Существует много процессов в природе, которые описываются дифференциальными уравнениями. Например, процесс размножения бактерий, явление органического роста, изменение давления при подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения.
Можно так же написать дифференциальные уравнение движения планеты вокруг Солнца, искусственного спутника вокруг земли. Решая дифференциальные уравнения движения планет и их спутников (эти уравнения весьма сложны, т.к. планеты притягиваются не только к Солнцу, но и друг к другу), ученые предсказывают их будущее движение, узнают моменты солнечного и лунного затмений. Когда однажды оказалось, что планета Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты, ученые нисколько не сомневались в «правильности» математики. В середине 19 века французский астроном Леверье и английский астроном Джон Адамс одновременно и независимо один от другого сделали смелое предположение, что отклонение Урана вызывается притяжением к нему новой, до сих пор неизвестной планеты. С помощью дифференциальных уравнений они вычислили положение этой новой планеты и указали, где нужно искать на небе. Точно в указанном месте эта планета / её назвали НЕПТУН / была затем обнаружена. О ней говорят, что она открыта « на кончике пера» / путем вычислений/.
Тот факт, что самые различные явления описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, часто используется на практике.

5.2. Презентации

А сейчас мы посмотрим домашние презентации решения ряда прикладных задач.

Задачи:

Найти кривую, проходящую через точку (2;3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой её касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.
В теории резания возникает следующая задача: найти кривую, касательная к которой в каждой точке образует постоянный угол с радиусом вектором этой точки.

Демонстрация презентаций и пояснение к работе выполняются студентами ,

6. Домашнее задание:

Задача: Ускорение «a» материальной точки, движущейся прямолинейно в зависимости от времени «t», выражается формулой a=2t+3. Найти закон движения, если v=0, s=0 при t=0.

7. Рефлексия

Давайте подведем итог нашему занятию. Какие разделы математики мы сегодня с вами повторяли? (Степени и корни, логарифмы, функции и графики, тригонометрию, комплексные числа). Какие межпредметные связи были использованы? (Литература, физика, техническая механика). Таким образом, мы видим, что в теории дифференциальных уравнений математика, прежде всего, выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе. Второй особенностью теории ДУ является ее связь с другими разделами математики. Она как бы находится на перекрестке математических дорог. Некоторые большие и важные разделы математики были вызваны к жизни задачами теории ДУ. Классическим примером такого взаимодействия являются исследования колебаний струны, проводившиеся в середине 18 века.

А что вы мне скажите по поводу нашего урока?

«Мы в такие ходили дали,
Что не очень-то и дойдешь.
Математику изучали,
Не взирая на снег и дождь.
Математика – вот наука,
Развивает она умы.
Не страшна никакая скука –
Коль задачи все решены!»

8. Подведение итогов: самооценка

Литература:

Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В 2 кн. – М.: ООО «Издательство Новая волна», 2004.
Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян «Практикум по высшей математике». – Ростов-на-Дону, Феникс, 2004.
Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. – Москва, Высшая школа, 1990.

источники:

http://infourok.ru/konspekt-integrirovannogo-uroka-dlya-11-klassa-na-temu-sostavlenie-differencialnyh-uravnenij-po-usloviyam-prikladnyh-zadach-5401762.html

http://urok.1sept.ru/articles/590242