Ошибка
404
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Дифференциальные уравнения для решения физических задач
Примеры решения задач по механике, требующих интегрирования дифференциальных уравнений
(Задачи взяты из задачника: И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», М.: Наука, 1981г., 460с.)
Задача №1. Пример задачи, приводящей к интегрированию дифференциальных уравнений методом разделения переменных.
При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону 
Н, где v – скорость тела в м/с, а s – пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v 0=5 м/с.
Будем считать, что движение происходит вдоль оси 0Х, и что при t =0 тело находилось в начале координат, тогда проекция на ось 0Х силы, действующей на тело, может быть записана в виде
.
С учётом этого выражения, имеем следующее уравнение движения (считая массу тела m =1 кг)
, (1)
которое дополняется начальными условиями
, 
(2)
Решение уравнения второго порядка (1) можно свести к двум последовательным интегрированиям дифференциальных уравнений первого порядка. Чтобы получить первое уравнение, перепишем (1) в виде:
, (3)
и домножим на dt левую и правую части (3), учитывая при этом, что dx = vxdt , получим:
, или 
(4)
Это уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.5) из Раздела №1 Части I ). Очевидно, что оно, дополняется начальным условием, следующим из (2):
(5)
Разделив переменные в (4), в соответствие с формулой (1.7):
,
вычисляя данные интегралы, получим частный интеграл уравнения (4) (в форме (В.4) из Введения к Части I ):
(6)
Выразив отсюда vx , будем иметь частное решение уравнения (4) (в форме (В.6) из Введения к Части I ):
(7)
Заменяя теперь в (7)
,
мы снова получаем уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.1) из Раздела №1 Части I )
(8)
Разделяя в (8) переменные, с учётом начального условия (2), ищем частный интеграл этого уравнения (в виде (1.4) из Раздела №1 Части I ):
(9)
Вычисляя интегралы в (9), получим:
(10)
— частный интеграл уравнения (8) в форме (В.4) из Введения к Части I. Выражая отсюда x , получим частное решение уравнения (8):
, (11)
которое одновременно является и частным решением уравнения движения (1), удовлетворяющим начальным условиям (2), то есть, представляет собой закон движения тела (координата x , (или в данном случае путь), как функция времени). Таким образом, решение исходного уравнения движения второго порядка (1) в процессе решения задачи было сведено к интегрированию двух уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (4) и (8).
Задача №2. Пример задачи, приводящей к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R . Какую начальную горизонтальную скорость 
, направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны 
.
Расставляем силы, действующие на тело, и записываем второй закон Ньютона:
Спроектируем данное равенство на направление движения и перпендикулярное ему. Эти направления указаны на рисунке векторами 
и 
. Таким образом, для описания движения мы используем естественный способ. В результате получим:
(1)
Здесь учтено, что центростремительное ускорение
,
.
Сделаем в первом уравнении в (1) замену переменной — перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по углу 
:
(т.к. 
)
С учетом этой замены перепишем (1):
(2)
Домножая второе уравнение на 
, и вычитая из первого, получим:
(3)
Это уравнение типа (2.1) (из Раздела №2 Части I ), в котором независимой переменной вместо t является 
; неизвестной функцией вместо 
;
; 
.
Уравнение (3) дополняется начальным условием:
(4)
С учетом указанных обозначений, используя формулу (2.9) (из Раздела №2 Части I ), решение уравнения (3) можно записать в виде:
(5)
Вычисляя с помощью интегрирования по частям интервалы в (5) , окончательно получим:
(6)
По условиям задачи тело должно остановиться на поверхности; т.е. при каком-то угле 
.
Подставляя вместо 
в (6) выразим оттуда 
:
(7)
Значение угла 
можно выразить через 
, поскольку 
;
то из уравнений (2) получим:
(8)
Отсюда: 
;
(9)
; 
из (7) будем иметь:
(10)
Следовательно, чтобы тело остановилось на шероховатой поверхности цилиндра, нужно, чтобы его начальная скорость 
не превосходила значение, определенного в (10).
Задача №3. Пример задачи, приводящей к решению линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.
Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний (считаем, что тело в данный момент времени движется вверх). Если АВ обозначает длину нерастянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы mg . По закону Гука mg = k × ОВ, где k — коэффициент жёсткости пружины. Записываем второй закон Ньютона:
.
Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что
, 
.
В результате получим уравнение колебаний
, или 
(1)
где 
, 
.
Уравнение (1) представляет собой однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (уравнение (1.1) Части II ). Для его решения используем схему, описанную в Разделе №1 Части II .
Составляем характеристическое уравнение:
. (2)
Вычисляем дискриминант уравнения (2):
. (3)
Поскольку в данном случае, в соответствие с условиями задачи движение тела носит колебательный (периодический) характер, то его координата должна изменяться со временем по гармоническому закону, то есть по закону косинуса или синуса. Для того же, чтобы решение уравнения (1) выражалось через данные функции, мы должны считать, что D 
(4)
где величины 
и 
определяются следующим образом:
, 
(5)
В случае отсутствия затухания (когда n =0), 
, и тело совершает свободные колебания с периодом 
с.
Если же n ¹ 0, то период колебаний, с учётом (5),:
.
Выражаем отсюда 
, и определяем постоянную демпфирования a (коэффициент пропорциональности в формуле для силы сопротивления):
Подставляя данные задачи, получим a =19 
.
В соответствие со своим определением, логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, (то есть взятых через половину периода колебания 
): 
. Вычисляя n и подставляя значение Т, получим 
=9,5.
Задача №4. Пример задачи, приводящей к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для уменьшения действия на тело массы m возмущающей силы 
устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером. Коэффициент жёсткости пружины k . Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости ( 
), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.
Направим ось 0 X вдоль направления движения, выбрав начало координат в положении статического равновесия тела. При этом считаем, что сила тяжести скомпенсирована силой статического сжатия пружины амортизатора. Записываем второй закон Ньютона:
.
Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что
, 
, 
.
В результате получим уравнение колебаний
, или 
, (1)
где обозначено 
, 
.
При колебаниях на фундамент действует сила, складывающаяся из силы деформации пружины и силы сопротивления, равная в соответствие с третьим законом Ньютона,
. (2)
Следовательно, для вычисления этой силы нужно знать уравнение движения тела 
, для чего необходимо решить уравнение (1). Поскольку в задаче рассматриваются уже установившиеся колебания, то есть рассматривается движение тела, установившееся по истечению достаточно большого промежутка времени от момента его начала. При этом тело будет совершать колебания с частотой вынуждающей силы. Поэтому мы должны найти частное решение уравнения (1), соответствующее этим вынужденным колебаниям. Для этого используем метод подбора по правой части. Представим, в соответствие с формулой (2.5) (из Раздела №2 Части II ) решение уравнения (1) в виде
(3)
Обозначим для краткости записи через 
и подставим (3) в (1):
Приравнивая коэффициенты при 
и 
, получим следующую систему уравнений:
Решая данную систему, находим
, 
(4)
Подставим (4) в (3):
(5)
Данную формулу, обозначая
, (6)
можно переписать в виде:
(7)
Подставим теперь (7) в (2):
(8)
, (9)
формулу (8) можно переписать в виде
(10)
Отсюда следует, что максимальное динамическое давление всей системы на фундамент равно
. (11)
Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Смакова Фаниля Фиргатовна, Сабитова Юлия Камилевна
В данной работе приведен алгоритм составления дифференциального уравнения по условию физической задачи. Решена физическая задача на установление закона изменения физических величин с помощью дифференциального уравнения .
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Смакова Фаниля Фиргатовна, Сабитова Юлия Камилевна
DRAWING UP THE DIFFERENTIAL EQUATION ACCORDING TO A CONDITION OF A PHYSICAL TASK
In this article the algorithm of drawing up the differential equation according to condition of physical task. Physical example on establishment of the law of change of physical quantities by means of the differential equations is reviewed.
Текст научной работы на тему «Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи»
СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО УСЛОВИЮ ФИЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
Смакова Фаниля Фиргатовна
студент 2курса физико-математического факультета Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета, РФ, г. Стерлитамак
E-mail: mouse.mmny2009@yandex.ru Сабитова Юлия Камилевна канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета,
РФ, г. Стерлитамак E-mail: sabitovauk@rambler.ru
DRAWING UP THE DIFFERENTIAL EQUATION ACCORDING TO A CONDITION OF A PHYSICAL TASK
student of 2years of training of physical and mathematical faculty of Sterlitamak
branch of the Bashkir State University, Russia, Sterlitamak
candidate of physical and mathematical Science, assistant professor of the mathematical analysis of Sterlitamak branch of the Bashkir State University, Russia,
В данной работе приведен алгоритм составления дифференциального уравнения по условию физической задачи. Решена физическая задача на установление закона изменения физических величин с помощью дифференциального уравнения.
In this article the algorithm of drawing up the differential equation according to condition of physical task. Physical example on establishment of the law of change of physical quantities by means of the differential equations is reviewed.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение; алгоритм. Keywords: differential equation, algorithm.
Дифференциальные уравнения являются одним из основных средств для математического решения практических задач. Особенно широко они
используются в теоретической механике и физике [1, с. 39], [2, с. 391]. Решение задач физики с помощью дифференциальных уравнений состоит из трех этапов: а) составление дифференциального уравнения; б) решения этого уравнения; в) исследования полученного решения. Удобнее воспользоваться следующим алгоритмом действий:
1. установить изменяющиеся в данном явлении величины, выявить физические законы, которые связывают их;
2. выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую необходимо найти;
3. по условию задачи определить начальные или краевые условия;
4. выразить все фигурирующие в условии задачи величины через независимую переменную, искомую функцию и ее производные;
5. составить дифференциальное уравнение по условию задачи и физическому закону;
6. найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения;
7. найти частное решение;
8. исследовать полученное решение.
В течение малого промежутка времени величины изменяются с постоянной скоростью. Данное свойство позволяет применить известные физические законы, которые описывают равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями £ + Д£ , т. е. величинами, участвующими в процессе и их приращениями. Но равенства будут иметь лишь приближенное значение. Если требуется получить точное решения, то следует разделить обе части получившегося равенства на Д£ и перейти к пределу, когда Д£ стремится к нулю. Получившееся равенство содержит: время меняющиеся с течением времени физические величины и их производные — являются дифференциальным уравнением, которое описывает данное явление. Существует также второй способ для получения дифференциального
уравнения. Он заключается в замене приращения № на дифференциал 11, а приращение функций — соответствующими дифференциалами.
Рассмотрим конкретный пример.
Задача. Парашютист падает под действием силы тяжести. Сопротивление воздуха пропорционально скорости его падения, вначале падения он находился на высоте Н и в состоянии покоя. Найти закон изменения высоты парашютиста над уровнем земной поверхности.
Решение. Воспользуемся вторым законом Ньютона: F = та. Выберем вертикальное направление оси. Тогда F = —тд — ку. Сила тяжести направлена в отрицательном направлении, а сила сопротивления воздуха направлена в сторону, противоположную скорости падения. Таким образом, равенство F = та принимает вид: та = —тд — ку. Известно, что ускорение является производной от скорости а = у’, тогдаполучаем следующее дифференциальное уравнение ту’ = —тд — ку, т. е.
По условию известно, что у(0) = 0. Разделяя переменные в уравнении (1) и интегрируя, находим:
тк — — 1п д + —у =1 + С.(2) кт
Вычислим значение произвольной постоянной С, используя значение ^(0) = 0. Так как при £ = 0 значение у = 0 , то С = — — \пд . Подставляя значение С в (2), получим
или —— = е#,д +—у = де Следовательно
Формула (3) представляет собой закон изменения скорости с течением времени. Найдем закон изменения высоты * парашютиста, так как у = *’, то получим следующее дифференциальное уравнение
По условию при £ = 0 высота * равна Н. Подставим эти значения в (5),
получим, что С = Н +—— и тогда
Закон определения высоты парашютиста над уровнем земной поверхности при заданных условиях определяется формулой (6). Исследуя формулу (6), можно прийти к следующим выводам. Воспользуемся формулой Тейлора для
функции ех,х = и при малых значениях t будем иметь:
_»t kt kLtl е т 2 1—\
Сохраняя лишь первые два слагаемых, получаем из формулы (3), что у 2 —дЬ. Это показывает, что в начале движения парашютист движется почти равноускоренно. В дальнейшем влияние сопротивления воздуха становится
ощутимым, и при Ь ^ имеем: е # ^ 0, а потому у стремится к—.
Движение становится почти равномерным со скоростью—, направленной
вниз. Эта скорость пропорциональна силе тяжести тд , действующей на парашютиста, и обратно пропорциональна коэффициенту к, показывающему силу сопротивления воздуха. Из формулы (6) можно приближенно найти время, за которое парашютист упадет на земную поверхность. Для этого учтем, что
и напишем по формуле (6) приближенное равенство Н \ — ^М —= о.
Из него находим, что Ь 2—\—. Заметим, что слагаемое — равно времени,
которое заняло бы падение парашютиста с постоянной скоростью —, а добавка
— произошла потому, что вначале падение было более медленным. При к
решении задачи было сделано предположение о пропорциональности силы сопротивления воздуха скорости падения. Оно было приближенным. Если
считать эту силу пропорциональной квадрату скорости падения, то уравнение (1) заменится на линейное неоднородное дифференциальное уравнение вида
здесь направление силы сопротивления воздуха при выбранном направлении оси положительно.
1. Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. М.: Просвещение, 1984. — 102 с.
2. Сабитов К.Б. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие. М.: Высш. шк., 2005. — 671 с.
http://tsput.ru/res/fizika/1/DIF_UR_WEB/Primer_mex.htm
http://cyberleninka.ru/article/n/sostavlenie-differentsialnogo-uravneniya-po-usloviyu-fizicheskoy-zadachi