Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки

Движение несвободной материальной точки

Основной закон динамики точки справедлив и для случая, когда на движущуюся точку наложены связи. При этом, конечно, могут возникнуть особенности решения первой и второй задач динамики, поскольку реактивные силы заранее неизвестны и их надо определить по заданным связям

Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, называемому уравнением связи

Аналогично, если точка вынуждена двигаться по некоторой линии (движение шарика внутри криволинейной трубки), то уравнениями связи являются уравнения этой линии

Таким образом, движение несвободной материальной точки зависит не только от приложенных к точке активных сил и начальных условий, но также от имеющихся связей. При этом значения начальных условий должны удовлетворять уравнениям связей.

Для такой несвободной материальной точки дифференциальные уравнения имеют тот же вид, что и для свободной точки, только к действующим силам надо добавить силы реакций связей.

Связей на двусторонние, или удерживающие, и на односторонние, или неудерживающие, связи.

Связь называется двусторонней, если накладываемые ею на координаты точки ограничения выражаются в форме равенств, определяющих кривые или поверхности в пространстве, на которых должна находиться эта точка.

Двусторонняя, или удерживающая, связь препятствует перемещению точки тела в двух противоположных направлениях.

Ограничения, накладываемые на координаты точки односторонней связью, выражаются неравенствами.

Последовательность решения задачи динамики несвободной точки проследим на примере движения точки по гладкой поверхности.

Пусть гладкая неподвижная поверхность задана уравнением f(x, у, z) = 0 , причем х, у, z — координаты движущейся точки массой m под действием заданной силы F. Обозначим через NX, Ny, Nz,> неизвестную нормальную силу реакции гладкой поверхности и запишем дифференциальные уравнения движения точки по поверхности:

В дифференциальной геометрии доказывается, что направляющие косинусы внешней нормали к поверхности, а следовательно и вектора N, вычисляются по формулам:

Тогда проекции вектора N на координатные оси можно выразить следующим образом:

где обозначено l= N/Df. Подставляя проекции в уравнения движения, получим:

Движение несвободной материальной точки

Движение несвободной материальной точки

• Как уже известно, фундаментальные законы динамики несвободных материальных точек и, следовательно, дифференциальные уравнения движения имеют тот же вид, что и в случае свободных точек, и на точки действуют только силы реакции связи. Будет добавлено в. Естественно, что в этом случае сила реакции связи известна заранее, и ее необходимо дополнительно определять по данной связи, наложенной на точку движущегося материала, что позволяет решить первую и вторую основные проблемы динамики.

В некоторых случаях движение точки может вызвать соответствующую особенность. При решении первой основной задачи динамики результирующая сила, действующая на точку, определяется движением точки, заданным из дифференциального уравнения этого движения. Эта результирующая сила затем отделяет силу реакции связывания для конкретной связи. Поэтому проблема разбивки известной силы на ее составляющие. Обычно полная сила реакции движущейся точки разбита на две составляющие.

Эти два явления описываются умножением всех сходств и моментов времени на коэффициент сходства, который исходит из одного значения. Людмила Фирмаль

Объединенная составляющая силы реакции, которая уравновешивает данную силу, приложенную к точке, называется статической силой реакции. Другая составляющая общей силы реакции зависит только от движения точки под действием данной силы и называется динамической силой реакции. Баланс инерции движущейся точки. При решении второй основной проблемы динамики, когда необходимо определить движение свободной точки в соответствии с заданной силой и начальными условиями, некоторые из сил, действующих на эту точку, то есть все реакции связывания Сила заранее не известна и должна определяться данной связью В процессе решения проблемы.

Таким образом, вторую основную проблему динамики несвободных материальных точек можно сформулировать следующим образом: Учитывая силы, начальные условия и ограничения, накладываемые на точку, определяют движение этой точки и силу реакции связи. Рассмотрим решение этой проблемы для движения точек и кривых на поверхности. Дифференциальные уравнения представлены в системе координат, которая лучше всего подходит для конкретной задачи. Анализировать постановки задач и решения в декартовых декартовых системах координат. Движение точки на поверхности Дайте гладкую, неподвижную поверхность, где точка массы m движется под действием заданной силы r с уравнением f (x, y, z) = 0. Где x, y и z — координаты движущейся точки.

Поскольку поверхность мишени гладкая, сила трения отсутствует. Выражая N как неизвестную нормальную силу реакции на поверхности, мы получаем следующее дифференциальное уравнение для движения точки на поверхности: w ^ = Tx + A ‘ bfdx N = 7 Vcos (A?, Av) = -y y bfdy ‘ Nx = Ncos (N ^ z) = ^ — ^. (18) Укажите X = N / bf и подставьте значения Nx, Ny и Nx из (18) в (17) следующим образом: Эти дифференциальные уравнения называются лагранжевыми дифференциальными уравнениями первого порядка для движения несвободных материальных точек.

Эти три дифференциальных уравнения и одно конечное уравнение — поверхностное уравнение f (x, y, z) = 0 — вы можете найти четыре неизвестных — координаты и время точек x, y, z и любой интеграл Неопределенный множитель Лагранжа X как функция постоянной. Любая константа определяется из начальных условий. Из найденного неопределенного множителя Лагранжа X можно легко определить поверхностную силу реакции N = X & /. Как правило, это зависит от времени. = Если поверхность не является гладкой, в дополнение к нормальной силе реакции, будет действовать предельная сила трения Fmai.

Эту проекцию трения следует добавить в правую часть дифференциального уравнения движения точки. Это дополнение усложняет решение проблемы, но проблема принципиально разрешима. Это связано с тем, что с добавлением неизвестной силы добавляется конечное уравнение, которое связывает эту силу с нормальным откликом. Где k — коэффициент трения. Поскольку сила трения скольжения всегда противостоит скорости, проекция этой силы на оси координат может быть выражена как: F max = -Lpax COS (t>, Ax) = -Fraax Как хорошо С учетом сил трения задача интегрирования дифференциальных уравнений движения несвободных материальных точек становится очень сложной.

• Перемещение точек по плавной кривой Кривая с фиксированной линией в пространстве может рассматриваться как пересечение двух поверхностей. j \ (x, y, z) = 0 и f2 (x, y, z) = 0. Эти поверхности создают два нормальных отклика N и N2 на движущуюся точку, поэтому полный отклик кривой линии равен N = N2 + N2. Дифференциальное уравнение Лагранжа для первого типа движения точки вдоль кривой имеет вид каждый Добавление двух конечных уравнений поверхности fi (x, y, z) = 0 и f2 (x, y, z) = 0 к первому виду дифференциального уравнения Лагранжа (19) дает пять величин x, y, z В зависимости от времени вы получите пять уравнений для определения X2.

Так что в этом случае задача может быть решена. В принципе, это можно определить с учетом силы трения. При рассмотрении этой проблемы, если для координатных осей используется естественная ось, дифференциальное уравнение для движения точки вдоль гладкой кривой принимает вид: m ^ = F ;; w- = F „+ Nn; 0 = K + AL dz2Чр ■ И> 0 0 Где Et — проекция силы F на касательную. Fn и N „-Проекция сил на главную нормаль. Fb и Nb —Проекция сил на бинормаль. P — радиус кривизны кривой. Из первого дифференциального уравнения системы (20) мы можем найти закон движения точки и, следовательно, скорость точки v, независимо от двух других уравнений.

Используя теорему Резаля для решения задачи о поведении оси такого гироскопа, можно определить вектор момента движения по известному главному моменту внешней силы. Людмила Фирмаль

Оставшиеся два уравнения (20) могут затем использоваться для определения проекции неизвестного нормального отклика N на основной и субнормальный. Пример. Точка массы m (рис. 13) движется вдоль внутренней части поверхности сферы радиуса R, близкой к устойчивому положению равновесия под действием силы тяжести. Первый момент = = 0 x = x0, y = 0, t \ = 0, »=» о-Ос * O Oz (20) Вертикально вниз, Oh и Oy находятся в горизонтальной плоскости. Происхождение находится в центре сферы. Определите движение точки и силу реакции абсолютно гладкой сферы на точке. Эта проблема известна как проблема шарикового маятника.

Решения. Форма дифференциального уравнения для движения точки на поверхности сферы имеет вид (А) X = N! Bf. К дифференциальному уравнению (а) нужно добавить уравнение связи, то есть уравнение для поверхности сферы / (X, y, z) = «2- (x2 + y Формула (а) Значения производных df / dx, df / dy и df / 8z. Их = -2Xx; tu = -2Xu; mz = -mg — 2’kz. (А ‘) Интегрировать эту систему. Для этого обычно из этих уравнений Неизвестный X полностью исключен, потому что его производная не включена в уравнение (a ‘). Одновременные уравнения трудно интегрировать. Интегрировать примерно. Чтобы получить первое приближение, сохраняйте в уравнении только первую степень x / R, yl или игнорируйте эти квадраты в выражении z. -V * 2- (x2 + y2).

Бином, мы получаем Разложить это выражение Предположим, что z = R mg-2XR = 0 в третьем уравнении (a ‘) системы. k = мг / (2R). N-Xh f = мг. Подстановка значения X в первых двух уравнениях (a ‘) системы дает Каждое из решений этих дифференциальных уравнений (см. § 7. Пример 1 выше) зависит от двух интегральных констант и имеет вид x = c, sin (x / i7 «» + c2); y = c3sin (7F7Kz + c4). (В) Дифференцируя их по времени, * = C> x / jf7 «cos (y ^ 7s / + C2); y = Czj /

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки

При векторном способе задания движения:

, , .

В координатной форме:

В естественной форме:

Интегрируя дважды по времени, получаем уравнения движения точки в координатной форме. Постоянные интегрирования определяют с использованием начальных (граничных) условий:

При t = 0

Задача Д1

Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки

В этом случае используется принцип освобождаемости от связей: движение несвободной материальной точки не изменится, если ее сделать свободной и заменить связи их реакциями.

, — реакция связи.

Задача Д2

СИЛА ИНЕРЦИИ МТ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МТ

Рассматривается движение МТ М под действием силы , приложенной к ней со стороны тела А — ускоряющего тела.

Если ускоряющих тел несколько, то — равнодействующая. Эта сила определяется уравнением

.

В соответствии с законом о равенстве действия и противодействия точка М действует на тело А с силой . Поэтому

— сила инерции МТ.

Проекции силы инерции на декартовы оси и оси Эйлера

, , , , .

Пусть несвободная МТ М движется в инерциальном пространстве Oxyz.

Основное уравнение динамики для нее имеет вид

.

Здесь и — равнодействующие заданных сил и реакций связей. Тогда

.

Принцип Даламбера для МТ: Заданные силы и реакции связей, под действием которых движется точка, и сила инерции точки образуют уравновешенную систему сил

.

ДИНАМИЧЕСКИЕ МЕРЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

Динамическими мерами являются:

— момент количества движения (кинетический момент);

Масса, момент инерции – меры инертности МО, остальные – динамические меры механического движения МО.

Масса, центр масс МСМТ

Пусть в пространстве Oxyz рассматривается движение МСМТ _k>_n с массами <m_k>_n, положение которых определяется радиус-векторами .

Массой МСМТ называется величина, равная сумме масс точек системы

.

Центром масс (ЦМ) МСМТ называется точка С пространства Oxyz, радиус-вектор которой в каждый момент времени равен

.

, , .

Моменты инерции МСМТ и ТТ

Момент инерции МСМТ относительно оси (осевой момент инерции) – сумма произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до этой оси:

,

,

.

Момент инерции МСМТ относительно центра О (полярный моментом инерции) — сумма произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до центра:

.

Осевые и полярный моменты инерции характеризуют разброс точек МС относительно оси и центра.

Центробежный момент инерции МСМТ — сумма произведений масс всех точек системы на координаты этих точек вдоль двух осей:

,

,

.

Центробежные моменты инерции характеризуют асимметрию распределения МТ относительно координатных плоскостей.

Радиусом инерции МСМТ (ТТ) относительно оси l

.

Зная радиус инерции, момент инерции МСМТ (ТТ)

.