Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки
При векторном способе задания движения:
, , .
В координатной форме:
В естественной форме:
Интегрируя дважды по времени, получаем уравнения движения точки в координатной форме. Постоянные интегрирования определяют с использованием начальных (граничных) условий:
При t = 0
Задача Д1
Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки
В этом случае используется принцип освобождаемости от связей: движение несвободной материальной точки не изменится, если ее сделать свободной и заменить связи их реакциями.
, — реакция связи.
Задача Д2
СИЛА ИНЕРЦИИ МТ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МТ
Рассматривается движение МТ М под действием силы , приложенной к ней со стороны тела А — ускоряющего тела.
Если ускоряющих тел несколько, то — равнодействующая. Эта сила определяется уравнением
.
В соответствии с законом о равенстве действия и противодействия точка М действует на тело А с силой . Поэтому
— сила инерции МТ.
Проекции силы инерции на декартовы оси и оси Эйлера
, , , , .
Пусть несвободная МТ М движется в инерциальном пространстве Oxyz.
Основное уравнение динамики для нее имеет вид
.
Здесь и — равнодействующие заданных сил и реакций связей. Тогда
.
Принцип Даламбера для МТ: Заданные силы и реакции связей, под действием которых движется точка, и сила инерции точки образуют уравновешенную систему сил
.
ДИНАМИЧЕСКИЕ МЕРЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ
Динамическими мерами являются:
— момент количества движения (кинетический момент);
Масса, момент инерции – меры инертности МО, остальные – динамические меры механического движения МО.
Масса, центр масс МСМТ
Пусть в пространстве Oxyz рассматривается движение МСМТ
Массой МСМТ называется величина, равная сумме масс точек системы
.
Центром масс (ЦМ) МСМТ называется точка С пространства Oxyz, радиус-вектор которой в каждый момент времени равен
.
, , .
Моменты инерции МСМТ и ТТ
Момент инерции МСМТ относительно оси (осевой момент инерции) – сумма произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до этой оси:
,
,
.
Момент инерции МСМТ относительно центра О (полярный моментом инерции) — сумма произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до центра:
.
Осевые и полярный моменты инерции характеризуют разброс точек МС относительно оси и центра.
Центробежный момент инерции МСМТ — сумма произведений масс всех точек системы на координаты этих точек вдоль двух осей:
,
,
.
Центробежные моменты инерции характеризуют асимметрию распределения МТ относительно координатных плоскостей.
Радиусом инерции МСМТ (ТТ) относительно оси l
.
Зная радиус инерции, момент инерции МСМТ (ТТ)
.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике
Содержание:
Дифференциальные уравнения движения материальной точки:
Используя основной закон динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.
Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей
Из кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 3):
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид
Если спроецировать обе части уравнений (7) или (8) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.
В декартовой системе координат в общем случае
Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:
Рис. 3
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид
Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки
Если известно, что материальная точка движется в одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость , имеем
Так как , то, следовательно, . В случае движения точки по прямой линии, направив по ней координатную ось , получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
Так как при движении , то, следовательно, . Для естественных подвижных осей координат (рис. 4), проецируя обе части (7) на эти оси, получаем:
где и — соответственно проекции ускорения и равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории в рассматриваемом положении движущейся точки. Учитывая, что
где — радиус кривизны траектории, дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси имеют вид
Второе уравнение из (12) можно преобразовать:
где — угловая скорость вращения касательной к траектории движущейся точки и, следовательно, — угол смежности между касательными в двух бесконечно близких точках.
Дифференциальные уравнения (12) можно представить в виде
Рис. 4
Эта форма дифференциальных уравнений движения точки удобна при исследовании некоторых случаев полета снарядов и ракет, особенно по траектории, лежащей в плоскости. Тогда будет углом между касательной к траектории и любой осью, лежащей в плоскости траектории.
Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать выражения проекций ускорения на эти оси координат.
Дифференциальные уравнения относительного движения точки
Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размерность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения
Все дифференциальные уравнения движения, с которыми мы ознакомились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета. Для написания дифференциальных уравнений движения точки (или частицы) относительно подвижных осей подставим в основное уравнение динамики (123) вместо абсолютного ускорения точки его выражение (110):
(153)
имеющую размерность силы, равную произведению массы материальной частицы на ее переносное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют переносной силой инерции Кориолиса.
(154)
равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.
(155 / )
или в проекциях на оси координат:
(155)
Таким образом, относительное движение материальной точки можно описать такими же (по форме) дифференциальными уравнениями, как и абсолютное, но к действующим на точку силам нужно прибавить две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.
Эти величины следует отличать от даламберовых сил инерции (см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.
Пример решения задачи №1
Определить амплитуду вынужденных колебаний в относительном движении вибрографа для записи вертикальных колебаний фундамента (рис. 171), совершающего вместе с фундаментом колебания по закону χ = a sin pt, если вес груза равен G и жесткость пружины с.
Рис. 171
Решение. Рама жестко соединена с фундаментом и участвует в его колебаниях, как и вращающийся барабан В, на котором груз G, перемещаясь вверх и вниз, записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения х’ груза G по отношению к раме являются относительными и по отношению к барабану, если пренебречь его вращением. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам добавить переносную кориолисову силу, равную и противоположную произведению вектора переносного ускорения на массу груза. Переносная сила инерции груза равна
Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сократив на m:
x’ + k 2 χ’ = ар 2 sin pt.
где Пренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149′) установившегося вынужденного колебания груза:
Амплитуда этих колебаний тем менее отличается от амплитуды колебаний фундамента, чем меньше собственная частота k прибора сравнительно с частотой р, т. е. чем меньше жесткость пружины и чем больше масса груза.
Ответ.
Пример решения задачи №2
Ползун G (рис. 172) может скользить по хорде AB равномерно вращающегося горизонтального диска, к точкам А и В которой он прикреплен двумя одинаковыми пружинами жесткостью каждая. Принимая ползун за точку массы т и пренебрегая трением, определить зависимость периода τ его колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости ω диска.
Рис. 172
Решение. Построим оси подвижной системы координат с началом в точке О (в положении относительного равновесия ползуна), направив Ox’ но хорде.
Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равновесного положения О на величину х’, то одна из пружин сожмется, а другая растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна деформации х’ и направлена к точке О. Следовательно, на ползун действует активная сила
Кроме активной силы, надо учесть действие кориолисовых сил: Φe—переносной и Φc-поворотной.
Переносная сила инерции равна произведению массы т ползуна на его переносное ускорение: и направлена против переносного ускорения, т. е. от центра C диска. Чтобы определить проекцию этой силы на Ox’, надо ее модуль умножить на направляющий косинус, который при OG = х’ равен .
Поворотная сила Кориолиса равна произведению массы ползуна иа кориолисово ускорение 2ωx’ и направлена против этого ускорения. Таким образом, чтобы определить направление поворотной силы Кориолиса, надо вектор относительной скорости повернуть на 90° против переносного вращения. Находим, что поворотная сила инерции действует перпендикулярно AB и проекция ее на Ox’ равна нулю.
При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил дифференциальное уравнение относительного движения ползуна по хорде имеет вид:
mх’ = — cx’ + mω 2 x’= — (с—mω 2 )x’.
Это уравнение выражает гармоническое колебание с периодом
Ответ. и не зависит от положения хорды.
Пример решения задачи №3
Составить дифференциальное уравнение относительного движения ползуна, описанного в предыдущей задаче, считая, что при его движении вдоль хорды AB возникает трение, пропорциональное нормальному давлению на хорду.
Решение. Нормальное давление обусловлено поворотной силой инерции и нормальной составляющей переносной силы инерции.
Поворотная сила ползуна Φс=2mωx’ переменна по величине и направлению. Она направлена перпендикулярно к хорде AB, но в сторону положительных значений у’, если точка G движется в сторону отрицательных значений х’, т. е, если х’ 2 h. Эта составляющая в рассматриваемом механизме всегда направлена в сторону положительных у’, а потому в суммарном давлении обе кориолисовы силы складываются при х’ 0, и дифференциальное уравнение относительного движения точки имеет вид
mх’ =— (с—mω 2 ) x’ — fm (2ωx’ ± ω2h),
причем знак второго слагаемого в скобках надо брать положительным при х’ 0. Решение такого уравнения при движении точки G влево и вправо получается, конечно, различным. Если Л — 0 и хорда является диаметром, то вместо кулонова трения получается вязкое демпфирование, зависящее от скорости.
Рекомендую подробно изучить предмет: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Две основные задачи динамики точки
- Прямолинейное движение точки
- Криволинейное движение материальной точки
- Движение несвободной материальной точки
- Сложное движение точки
- Сложение движение твердого тела
- Кинематика сплошной среды
- Аксиомы классической механики
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной МТ. Две задачи динамики точки
Читайте также:
|