Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной материальной точки

Дифференциальные уравнения движения свободной материальной точки

При векторном способе задания движения:

, , .

В координатной форме:

В естественной форме:

Интегрируя дважды по времени, получаем уравнения движения точки в координатной форме. Постоянные интегрирования определяют с использованием начальных (граничных) условий:

При t = 0

Задача Д1

Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки

В этом случае используется принцип освобождаемости от связей: движение несвободной материальной точки не изменится, если ее сделать свободной и заменить связи их реакциями.

, — реакция связи.

Задача Д2

СИЛА ИНЕРЦИИ МТ. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МТ

Рассматривается движение МТ М под действием силы , приложенной к ней со стороны тела А — ускоряющего тела.

Если ускоряющих тел несколько, то — равнодействующая. Эта сила определяется уравнением

.

В соответствии с законом о равенстве действия и противодействия точка М действует на тело А с силой . Поэтому

— сила инерции МТ.

Проекции силы инерции на декартовы оси и оси Эйлера

, , , , .

Пусть несвободная МТ М движется в инерциальном пространстве Oxyz.

Основное уравнение динамики для нее имеет вид

.

Здесь и — равнодействующие заданных сил и реакций связей. Тогда

.

Принцип Даламбера для МТ: Заданные силы и реакции связей, под действием которых движется точка, и сила инерции точки образуют уравновешенную систему сил

.

ДИНАМИЧЕСКИЕ МЕРЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

Динамическими мерами являются:

— момент количества движения (кинетический момент);

Масса, момент инерции – меры инертности МО, остальные – динамические меры механического движения МО.

Масса, центр масс МСМТ

Пусть в пространстве Oxyz рассматривается движение МСМТ _k>_n с массами <m_k>_n, положение которых определяется радиус-векторами .

Массой МСМТ называется величина, равная сумме масс точек системы

.

Центром масс (ЦМ) МСМТ называется точка С пространства Oxyz, радиус-вектор которой в каждый момент времени равен

.

, , .

Моменты инерции МСМТ и ТТ

Момент инерции МСМТ относительно оси (осевой момент инерции) – сумма произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до этой оси:

,

,

.

Момент инерции МСМТ относительно центра О (полярный моментом инерции) — сумма произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до центра:

.

Осевые и полярный моменты инерции характеризуют разброс точек МС относительно оси и центра.

Центробежный момент инерции МСМТ — сумма произведений масс всех точек системы на координаты этих точек вдоль двух осей:

,

,

.

Центробежные моменты инерции характеризуют асимметрию распределения МТ относительно координатных плоскостей.

Радиусом инерции МСМТ (ТТ) относительно оси l

.

Зная радиус инерции, момент инерции МСМТ (ТТ)

.

Задачи динамики для свободной и несвободной мате­риальной точки

Динамика точки.

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Динамика точки.

2. Основные понятия и определения.

3. Законы динамики.

4. Задачи динамики для свободной и несвободной материальной точки.

5. Дифференциальные уравнения движения точи.

6. План решения второй задачи движения.

7. Движение точки, брошенной под углом к горизонту в однородном поле тяжести.

8. Относительное движение материальной точки.

9. Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел.

10. Общие теоремы динамики точки.

11. Количество движения.

12. Импульс силы.

Динамика точки. Основные понятия и определения.

Динамикой называется раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил.

Как показывает опыт, переменные силы могут определенным об­разом зависеть от времени, от положения тела и от его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при посте­пенном выключении или включении реостата; от положения тела зависит сила упругости пружины; от скорости движения зависят силы сопро­тивления среды (воды, воздуха).

К понятию об инертности тел мы приходим, сравнивая результаты действия одной и той же силы на разные материальные тела. Опыт показывает, что если одну и ту же силу приложить к двум разным, свободным от других воздействий покоящимся телам, то в общем случае по истечении одного и того же промежутка времени эти тела пройдут разные расстояния и будут иметь разные скорости.

Инертность и представляет собой свойство материальных тел быстрее или медленнее изменять скорость своего движения под действием приложенных сил. Если, например, при действии одина­ковых сил изменение скорости первого тела происходит медленнее, чем второго, то говорят, что первое тело является более инертным, и наоборот.

Количественной мерой инертности данного тела является фи­зическая величина, называемая массой тела. В механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

В общем случае движение тела зависит не только от его суммар­ной массы и приложенных сил; характер движения может еще зави­сеть от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц (т. е. от распределения масс).

Материальной точкой называют материальное тело (тело, имеющее массу), размерами которого при изучении его движения можно пренебречь.

Законы динамики

Первый закон (закон инерции), открытый Галилеем, гласит: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямо­линейного движения до тех пор, пока приложенные силы не за­ставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точ­кой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Второй закон (основной закон динамики) гласит: произведение массы точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством .

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость ma = F.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между мате­риальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две ма­териальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Заметим, что силы взаимодействия между свободными материаль­ными точками (или телами), как приложенные к разным объектам, не образуют уравновешенной системы.

Задачи динамики для свободной и несвободной мате­риальной точки.

Для свободной материальной точки задачами дина­мики являются следующие: 1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики); 2) зная дей­ствующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая или основная задача динамики).

Решаются обе эти задачи с помощью уравнений, вы­ражающих основной закон динамики, так как эти уравнения связывают ускорение т.е. величину, характеризующую движение точки, и действующие на нее силы.

Пример 2.Лифт весом Р (рис.3) начинает подниматься с ускоре­нием . Определить натяжение троса.

Рис. 3

Рассматривая лифт как свободный, заменяем действие связи (троса) реакцией Т и, составляя уравнение в проекции на вертикаль, получаем:

.

Отсюда находим: .

Если лифт начнёт опускаться с таким же ускорением, то натяжение троса будет равно:

.

Дифференциальные уравнения движения свободной и несвободной МТ. Две задачи динамики точки

Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной материальной точки. При этом для несвободной материальной точки ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей (принципа освобождаемости) силы пассивные (реакции связи).

Пусть – равнодействующая системы сил (активных и реакций), действующих на точку.

На основании второго закона динамики

(1)

с учетом соотношения, определяющего ускорение точки при векторном способе задания движения:

,

получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме:

. (2)

Спроектировав соотношение (1) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения, определяющие проекции ускорения на оси декартовой системы координат:

, , ,

получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на эти оси:

(3)

Спроектировав соотношение (1) на оси естественного трехгранника ( ) и использовав соотношения, определяющие формулы для ускорения точки при естественном способе задания движения:

, , ,

получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на оси естественного трехгранника :

(4)

Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения МТ в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.).

С помощью уравнений (2)-(4) ставятся и решаются две основные задачи динамики МТ

Первая (прямая) задача динамики МТ: зная массу МТ и заданные тем или иным способом уравнения или кинематические параметры ее движения, необходимо найти действующие на МТ силы.

Например, если заданы уравнения движения МТ в декартовой системе координат:

то проекции на оси координат силы , действующей на МТ, определятся после использования соотношений (3):

Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и направляющие косинусы углов, которые составляет сила с осями декартовой системы координат.

Для несвободной МТ обычно необходимо еще, зная действующие на нее активные силы, определить реакции связи.

Вторая (обратная) задача динамики МТ: зная массу точки и действующие на нее силы, необходимо определить уравнения или кинематические параметры ее движения при определенном способе задания движения.

Для несвободной МТ обычно необходимо, зная массу МТ и действующие на нее активные силы, определить уравнения или кинематические параметры ее движения и реакции связи.

Силы, приложенные к точке, могут зависеть от времени, положения МТ в пространстве и от скорости ее движения, т. е.

.

Рассмотрим решение второй задачи в декартовой системе координат. Правые части дифференциальных уравнений движения (3) в общем случае содержат функции времени, координат, их производных по времени:

(5)

Для того, чтобы найти уравнения движения МТ в декартовых координатах, необходимо дважды проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (5), в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся точки, а аргументом – время t. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что общее решение системы трех дифференциальных уравнений второго порядка содержит шесть произвольных постоянных:

(6)

где C_g, (g = 1,2,…,6) – произвольные постоянные.

Продифференцировав соотношения (6) по времени, определим проекции скорости МТ на координатные оси:

(7)

В зависимости от значений постоянных C_g, (g =1,2,…,6) уравнения (6) описывают целый класс движений, который могла бы совершить МТ под действием данной системы сил.

Действующие силы определяют только ускорение МТ, а скорость и положение МТ на траектории зависят еще от скорости, которую сообщили МТ в начальный момент, и от начального положения МТ.

Для выделения конкретного вида движения МТ (т. е. чтобы сделать вторую задачу определенной) надо дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные. В качестве таких условий задают начальные условия, т. е. в какой-то определенный момент времени, принимаемый за начальный, задаются координаты движущейся МТ и проекции ее скорости:

(8)

где – значения координат МТ и их производных в начальный момент времени t=0.

Используя начальные условия (8), формулы (7) и (6), получаем шесть алгебраических уравнений для определения шести произвольных постоянных:

(9)

Из системы (9) можно определить все шесть произвольных постоянных:

. (g = 1,2,…,6)

Подставляя найденные значения C_g, (g = 1,2,…,6) в уравнения движения (6), находим решения второй задачи динамики в виде закона движения точки.

Дата добавления: 2015-04-21 ; просмотров: 24 ; Нарушение авторских прав