iSopromat.ru
Составление систем дифференциальных уравнений движения материальной точки, на которую действует некоторая система сил для определения движения точки под действием этих сил.
Пусть на материальную точку действует некоторая система сил и требуется определить движение точки под действием этих сил.
Уравнение второго закона динамики для материальной точки массой m запишется в виде
Спроецировав уравнение (1) на декартовы оси координат, получим систему из трех уравнений
В зависимости от того, что известно о движении точки, дифференциальные уравнения записывают или в декартовых или в естественных координатах.
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике
Содержание:
Дифференциальные уравнения движения материальной точки:
Используя основной закон динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.
Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей
Из кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 3):
Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид
Если спроецировать обе части уравнений (7) или (8) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.
В декартовой системе координат в общем случае
Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:
Рис. 3
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид
Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки
Если известно, что материальная точка движется в одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость , имеем
Так как , то, следовательно, . В случае движения точки по прямой линии, направив по ней координатную ось , получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки
Так как при движении , то, следовательно, . Для естественных подвижных осей координат (рис. 4), проецируя обе части (7) на эти оси, получаем:
где и — соответственно проекции ускорения и равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории в рассматриваемом положении движущейся точки. Учитывая, что
где — радиус кривизны траектории, дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси имеют вид
Второе уравнение из (12) можно преобразовать:
где — угловая скорость вращения касательной к траектории движущейся точки и, следовательно, — угол смежности между касательными в двух бесконечно близких точках.
Дифференциальные уравнения (12) можно представить в виде
Рис. 4
Эта форма дифференциальных уравнений движения точки удобна при исследовании некоторых случаев полета снарядов и ракет, особенно по траектории, лежащей в плоскости. Тогда будет углом между касательной к траектории и любой осью, лежащей в плоскости траектории.
Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать выражения проекций ускорения на эти оси координат.
Дифференциальные уравнения относительного движения точки
Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размерность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения
Все дифференциальные уравнения движения, с которыми мы ознакомились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета. Для написания дифференциальных уравнений движения точки (или частицы) относительно подвижных осей подставим в основное уравнение динамики (123) вместо абсолютного ускорения точки его выражение (110):
(153)
имеющую размерность силы, равную произведению массы материальной частицы на ее переносное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют переносной силой инерции Кориолиса.
(154)
равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.
(155 / )
или в проекциях на оси координат:
(155)
Таким образом, относительное движение материальной точки можно описать такими же (по форме) дифференциальными уравнениями, как и абсолютное, но к действующим на точку силам нужно прибавить две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.
Эти величины следует отличать от даламберовых сил инерции (см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.
Пример решения задачи №1
Определить амплитуду вынужденных колебаний в относительном движении вибрографа для записи вертикальных колебаний фундамента (рис. 171), совершающего вместе с фундаментом колебания по закону χ = a sin pt, если вес груза равен G и жесткость пружины с.
Рис. 171
Решение. Рама жестко соединена с фундаментом и участвует в его колебаниях, как и вращающийся барабан В, на котором груз G, перемещаясь вверх и вниз, записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения х’ груза G по отношению к раме являются относительными и по отношению к барабану, если пренебречь его вращением. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам добавить переносную кориолисову силу, равную и противоположную произведению вектора переносного ускорения на массу груза. Переносная сила инерции груза равна
Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сократив на m:
x’ + k 2 χ’ = ар 2 sin pt.
где Пренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149′) установившегося вынужденного колебания груза:
Амплитуда этих колебаний тем менее отличается от амплитуды колебаний фундамента, чем меньше собственная частота k прибора сравнительно с частотой р, т. е. чем меньше жесткость пружины и чем больше масса груза.
Ответ.
Пример решения задачи №2
Ползун G (рис. 172) может скользить по хорде AB равномерно вращающегося горизонтального диска, к точкам А и В которой он прикреплен двумя одинаковыми пружинами жесткостью каждая. Принимая ползун за точку массы т и пренебрегая трением, определить зависимость периода τ его колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости ω диска.
Рис. 172
Решение. Построим оси подвижной системы координат с началом в точке О (в положении относительного равновесия ползуна), направив Ox’ но хорде.
Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равновесного положения О на величину х’, то одна из пружин сожмется, а другая растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна деформации х’ и направлена к точке О. Следовательно, на ползун действует активная сила
Кроме активной силы, надо учесть действие кориолисовых сил: Φe—переносной и Φc-поворотной.
Переносная сила инерции равна произведению массы т ползуна на его переносное ускорение: и направлена против переносного ускорения, т. е. от центра C диска. Чтобы определить проекцию этой силы на Ox’, надо ее модуль умножить на направляющий косинус, который при OG = х’ равен .
Поворотная сила Кориолиса равна произведению массы ползуна иа кориолисово ускорение 2ωx’ и направлена против этого ускорения. Таким образом, чтобы определить направление поворотной силы Кориолиса, надо вектор относительной скорости повернуть на 90° против переносного вращения. Находим, что поворотная сила инерции действует перпендикулярно AB и проекция ее на Ox’ равна нулю.
При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил дифференциальное уравнение относительного движения ползуна по хорде имеет вид:
mх’ = — cx’ + mω 2 x’= — (с—mω 2 )x’.
Это уравнение выражает гармоническое колебание с периодом
Ответ. и не зависит от положения хорды.
Пример решения задачи №3
Составить дифференциальное уравнение относительного движения ползуна, описанного в предыдущей задаче, считая, что при его движении вдоль хорды AB возникает трение, пропорциональное нормальному давлению на хорду.
Решение. Нормальное давление обусловлено поворотной силой инерции и нормальной составляющей переносной силы инерции.
Поворотная сила ползуна Φс=2mωx’ переменна по величине и направлению. Она направлена перпендикулярно к хорде AB, но в сторону положительных значений у’, если точка G движется в сторону отрицательных значений х’, т. е, если х’ 2 h. Эта составляющая в рассматриваемом механизме всегда направлена в сторону положительных у’, а потому в суммарном давлении обе кориолисовы силы складываются при х’ 0, и дифференциальное уравнение относительного движения точки имеет вид
mх’ =— (с—mω 2 ) x’ — fm (2ωx’ ± ω2h),
причем знак второго слагаемого в скобках надо брать положительным при х’ 0. Решение такого уравнения при движении точки G влево и вправо получается, конечно, различным. Если Л — 0 и хорда является диаметром, то вместо кулонова трения получается вязкое демпфирование, зависящее от скорости.
Рекомендую подробно изучить предмет: |
|
Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Две основные задачи динамики точки
- Прямолинейное движение точки
- Криволинейное движение материальной точки
- Движение несвободной материальной точки
- Сложное движение точки
- Сложение движение твердого тела
- Кинематика сплошной среды
- Аксиомы классической механики
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Дифференциальные уравнения движения точки в декартовой системе
Рассмотрим движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчёта в декартовых координатах. Из 2-го закона Ньютона:
, ,
причём, Fx, Fy, Fz – могут зависеть от координат, первых производных, времени: .
Если известен закон движения (например из кинематики):
, , ,
то => Fx(t), Fy(t), Fz(t). Это первая (прямая) задача динамики точки.
Если известна сила, то для исследования движения необходимо интегрировать дифференциальные уравнения – это вторая (обратная) задача динамики точки.
Формы дифференциальных уравнений движения
1) 2-ой закон Ньютона – для количества движения.
2) Умножим на (векторно):
или — уравнение момента количества движения.
[Почему? – самостоятельно. Учесть ].
Производная по времени от момента количества движения геометрически равна моменту силы.
Подробная запись (координатная):
3) Умножим скалярно на элементарные перемещения :
.
— уравнение кинетической энергии.
Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном перемещении.
О первых интегралах (законы сохранения).
Из дифференциальных уравнений: функция координат, их производных по времени, являющаяся постоянной в силу уравнений (то есть её производная по времени равна нулю) => называется первым интегралом.
Получим такие условия.
Если — первый интеграл, то и
1) Если Fx = 0, то , — интеграл количества движения (закон сохранения количества движения).
2) Если (то есть проекция момента силы на ось z),
,
— интеграл момента количества движения (закон сохранения момента количества движения).
3) Получим интеграл энергии.
.
Пусть правая часть есть полный дифференциал некоторой скалярной функции – потенциала силового поля .
, , .
.
Чтобы было полным дифференциалом:
1) — то есть поле стационарно (не зависит от t).
2) , с условиями из высшей математики:
; ;
; ;
Иначе: если и , то и уравнение кинетической энергии будет в полных дифференциалах:
.
.
Введём потенциальную энергию:
.
Тогда: — интеграл энергии (закон сохранения механической энергии).
Если силовое поле потенциально и стационарно, то сумма кинетической и потенциальной энергий свободной материальной точки равна постоянной.
Е0 – механическая энергия; находится из начальных условий.
Энергия сохраняется, то есть консервируется => поле называется консервативным.
Покажем, что работа сил консервативного поля не зависит от вида траектории, а равна разности значений функции П в конце и начале перемещения (рис.51).
,
что и требовалось доказать.
.
Работа сил консервативного поля на замкнутом перемещении равна нулю (рис.52).
1. Сформулируйте прямую и обратную задачи динамики.
2. Напишите уравнение момента количества движения точки.
3. Что называется перовым интегралом дифференциального уравнения?
4. Какое силовое поле называется консервативным?
http://www.evkova.org/differentsialnyie-uravneniya-dvizheniya-materialnoj-tochki-v-teoreticheskoj-mehanike
http://toehelp.ru/theory/ter_meh/lecture16.htm