Дифференциальные уравнения это какой класс

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

1. Производную функции переписать через её дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

1.

1.

2. а)

2. а)

б)

б)

в)

в)

г)

г)

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v₀t+at 2 /2

Найдем все первообразные функции 4t+4

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

Ответ: х=2t 2 +4t+10

№2. Найдите c при частном решении, у’ = x, если при х = 1 у = 0 .

Найдем все первообразные уравнения у’ , это будет общее решение уравнения :

Найдем число С , такое х = 1 у = 0 .

Подставим х = 1, y = 0 , в общее решение и получим:

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Найдем все первообразные функции 4х+5

Статья о разрыве методической линии преподавания дифференциальных уравнений в 10-11 классах математического профиля

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Роль дифференциальных уравнений в углубленном профиле математики в 10-11 классах

В основу разработки нового ФГОС СОО положена целевая установка, предусматривающая переход от «догоняющей» к «опережающей» модели развития российского образования, предполагающая отказ от прямого копирования западных моделей образования.
Одной из особенностей нового стандарта является принцип образования, создающий индивидуальные траектории для каждого обучающегося.
Итак, новым ФГОС для 10-11 классов определен профильный характер обучения. В свете этого, в общеобразовательных учреждениях появляются индивидуальные образовательные траектории физико-математического профиля. Что делает вопрос наполненности и согласованности программ по алгебре острым.

Раздел дифференциальных уравнений является одним из самых больших элементов теории современной математики. Чтобы охарактеризовать ее место в современной математической науке, прежде всего, необходимо подчеркнуть основные особенности теории дифференциальных уравнений, состоящей из двух обширных секторов математики: теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории уравнений с частными производными.

Воспринимая математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую модель (некую идеализированную форму), то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошных сред, химических реакций, физических явлений и процессов.

Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и пограничных условий, исследователь получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее. Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты. Бывает, что сама природа физического явления подсказывает и подходы, и методы математического исследования. Критерием правильности выбора математической модели является практика, сопоставление данных математического исследования с экспериментальными данными.

Область применения дифференциальных уравнений для решения практических задач физики, химии, астрономии, экономики, медицины обширна. Применение теоретических знаний на практике, практикоориентированное образование, разносторонне развитые личности на пороге окончания школы, обладающие системными, фундаментальными знаниями – это основная цель образования по ФГОС. В классах с углубленным изучением естественных наук уделяется много учебных часов успешному освоению теории и практики, что невозможно без грамотного и полного математического языка. Дифференциальные уравнения дают возможность решать различные задачи, в том числе и задачи на оптимизацию. И хотя, в школьном курсе математики, в профильных физико-математических классах, дифференциальные уравнения изучаются в общих чертах, но важность их изучения отрицать не стоит, так как, в дальнейшем обучении по профилю, выпускники получают возможность более успешно осваивать этот раздел высшей математики в обучении.

Одним из стержневых вопросов в школьном курсе математики является изучение уравнений. Уравнения широко применяются как в самой математике (при решении геометрических и алгебраических задач, при решении текстовых задач), так и в физике, биологии, химии, вычислительной технике, экономике, радиотехнике и других областях. Основным способом, с помощью которого математика применяется в производстве, является составление уравнения задачи; без уравнений нет математики как способа познания природы».

Изучение практики преподавания математики показывает, что в знаниях большинства учеников, всё ещё есть существенный недостаток: непрочная связь общего с конкретным, неумение в полной мере распорядиться знаниями при рассмотрении основных фактов изучения курса алгебры и математического анализа. Главной причиной этого является недостаточное внимание к формированию обобщенных знаний об уравнениях. Формирование знаний является целью и средством обучения, воспитания и развития учащихся. Овладение приемами является одним из необходимых условий успешного обучения и применения знаний.

Изучение уравнений в курсе алгебры и математического анализа средней школы занимает ведущее место не только по содержанию, но и по приемам и способам решения, они используются в процессе решения огромного числа задач теоретического и прикладного характера.

Научить в школе решению всех уравнений, которые могут встретиться, невозможно. Но, можно научить учащихся подходам к решению задач, которые связаны с необходимостью владения общими правилами и приемами. Поэтому, овладение общими подходами к изучению теории и решению задач является неотъемлемым условием творческой работы в любой деятельности учащихся. Следовательно, теоретическое обобщение при изучении математических знаний должно занимать важное место.

По мере продвижения к более сложным типам уравнений необходимость в таком обобщении все увеличивается и становится особенно ясной в последнем классе.

До недавнего времени дифференциальные уравнения не входили в программу математики средней школы, и это делало содержательно-методическую линию уравнений незавершенной.

Теория дифференциальных уравнений, начиная со своего возникновения, развивалась в неразрывной связи с физикой, механикой и математическими проблемами техники.

Введение в содержание математического образования сведений о дифференциальных уравнениях играет большую роль в формировании научного мировоззрения учащихся, в прикладной направленности обучения математике, в реализации межпредметных связей, которые содействуют пониманию строения всей системы наук и роли научного метода в познании и практике.

Изучение темы «Дифференциальные уравнения» расширяет понятие об уравнениях. Для того, чтобы учащиеся понимали общность дифференциальных и ранее изученных уравнении (алгебраических и трансцендентных) ,целесообразно соблюдать преемственность в изложении этих тем.

Преемственность математического образования — понятие многоплановое. Оно связано с реализацией внутрипредметных связей, трактовкой основных понятий, последовательностью изложения учебного материала, уровнями возрастания его сложности и трудности и т. д.

Были изучены вопросы непрерывного образования, вопросы преемственности обучения математике, внутри и межпредметных связей.

Противоречие между объективной потребностью преемственности обучения математике в школе и ее фактическим отсутствием, когда преподавание на разных этапах обучения ведется практически независимо друг от друга, выявило проблему данного исследования и определило ее актуальность.

Дифференциальные уравнения — завершающий этап развития методической линии уравнений в школе. К сожалению, не во всех УМК по алгебре даже в профильных физико-математических классах этот раздел уравнений присутствует. Так в чём же его значимость? В процессе преподавания в профильных классах, учителя естественно — научного профиля сталкиваются с затруднениями в освоении теоретического материала учениками. Одной из причин является неполное освоение курса уравнений в курсе математики. В частности, отсутствие дифференциальных уравнений, делает теоретический раздел алгебры, посвященный производным и первообразной, незавершенным. Тем самым нарушается преемственность между методической линией алгебры в школе в среднеспециальных и высших учебных заведениях. Образуется разрыв программы. Более того, отсутствие хотя бы простейших понятийных знаний об дифференциальных уравнениях, умение решать элементарные из них мешает освоению теоретического и практического материала в физике, химии, экономике. Рассмотрим простой пример. В первом полугодии ученики 10 класса физико-математического профиля (как в прочем и базового, социально-гуманитарного, и химико-биологического) начинают изучать раздел физики «Механика». В этом разделе особую роль отводят понятию «мгновение»: мгновенная скорость, мгновенное ускорение. Это величины характеризующие скорость изменения координаты, или скорость изменения быстроты изменения координаты в отрезке времени, стремящемся к нулю. Можно упрощенно объяснить суть этих понятий на примере бесконечно малой убывающей хорды, стягивающей бесконечно малую убывающую дугу. Но, знание одного понятия не даёт возможности ученику успешно решать практические задачи, ввиду отсутствия очень важного математического инструмента – умения видеть, анализировать, составлять и решать дифференциальные уравнения. Важно так же уметь проанализировать полученный результат. Итог – учитель предметник наряду с объяснением физики, читает курс математики, чтобы подготовить учащихся к успешному восприятию и пониманию содержания учебного материала.

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. На пример, законы механики Ньютона, позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела, свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений. Современное занятие в образовании — это время, когда дети сами ищут, спорят, сопоставляют, обобщают, делают выводы. Одним словом, активно участвуют в обсуждении того, что и как происходит в процессе решения практикоориентированных задач. Введение задач на решение дифференциальных уравнений решает огромный круг задач в образовании.

Образуется преемственность и сохраняется системность в образовании на этапе окончания школы и поступления в высшие и среднеспециальные учреждения образования. Ведь не секрет, что зачастую студенты первого курса технических ВУЗов испытывают значительные сложности в освоении программы по дисциплинам связанным с высшей математикой и решением прикладных задач физики, химии, биологии, статистики, экономики, астрономии. Провал образуется из-за нарушения преемственности в изучении теоретического материала программы алгебры в 10-11 классах. Зачастую изучение производной, дифференциала, графика производной – это, то немногое на чем начинается и заканчивается изучение данного раздела в школе. Такой «обрыв» методической линии сам по себе пагубен. Тем более существует еще одна проблема. Физика профильного уровня в 10-11 классах предполагает, как должное, что для освоения учебного материала программы ученик должен владеть совершенным математическим языком и аппаратом для решения разных функциональных задач. С самого первого раздела 10 класса «Кинематика» подразумевается владение понятием и уверенное применение производных для нахождения мгновенных кинематических величин, нахождение максимумов и минимумов функций.

Естественно, необходимо умение решать хотя бы простейшие дифференциальные уравнения. Несовпадение во времени прохождения смежных и согласующихся тем приводят к тому, что учащимся сложно усвоить учебный материал по физике или химии, а позднее прохождение этих тем в алгебре, лишает учащихся решения интересных практических задач, так как к тому времени по смежным предметам изучение соприкасающихся тем уже закончено. В целом те учебно — методические комплексы, о которых говорилось выше, способны ликвидировать содержательный разрыв в методической линии по решению уравнений в школьном курсе математики начиная с самых простейших, заканчивая функциональными уравнениями. Однако, открыт вопрос о добровольном выборе УМК каждой школой в условиях постоянно меняющихся списков рекомендованных учебников, ведь смена УМК в старшем звене, ведет к смене учебников по всей вертикали, а это не дешево. В условиях, когда в школе есть деление на профили, вопрос обеспечения соответствующими профильной направленности учебниками всех серьезно усложняется.

Аммосова Н.В. Методико-математическая подготовка будущих учителей математики в соответствии с задачами современности: монография. — Астрахань: Изд-во АИПКП, 2-е изд., 2015. — 256 с.

Аммосова Н.В., Коваленко Б.Б. Интеграция деятельности общеобразовательных школ и учреждений дополнительного образования как фактор активизации процессов обучения и воспитания школьников // Проблемы математики, информатики, физики и химии: тезисы докл. XLI Всерос. конф. (Москва, 2005 г.). Педагогические секции. — М.: Изд-во РУДН, 2005. — С. 55-56.

Аммосова Н.В., Коваленко Б.Б. Обучение учащихся решению задач, допускающих неоднозначную трактовку условий / Гуманитарное и естественнонаучное образование // Математика. Компьютер. Образование: Сб. науч. трудов. Выпуск 21, №2. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2014.

Аносов Д.В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем. — М.: МЦНМО, 2008. — 200 с.

Крюкова В.Л. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения уравнений и неравенств в классах с углубленным изучением математики: Автореферат диссертация кандидата пед. наук. — Орел, 2005. — 20 с.

Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. — М: Наука,

Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Книга для учителя. — М.: Просвещение, 1990. — 96 с.

Izvorska D., Kovalenko B.B., Ammosova N.V. Использование мыслительных операций как базы синергетического подхода при обучении математике // Education, science and economics at universities, integration to international educational area: International conference. — Plock, Poland, 2008. — P. 246-250.

Burden P.R., Byrd D.M. Methods for Effective Teaching. — 2 nd ed. — Boston-London: Allyn and Bacon, 1999. — 418 p.

Аммосова Н.В., Лобанова Н.И. Решение неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в системе дополнительного образования // Сибирский педагогический журнал. 2016. №2. С. 24-34.

Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. — Минск: «Высшая школа», 1973. — 560 с.