Дифференциальные уравнения геометрические и физические задачи

Геометрические и физические задачи

56. . 57. .

58. .

Проинтегрировать следующие уравнения, для которых интегрирующий множитель или :

59. . 60. .

61. . 62. .

63. .

64. .

65. .

10.4. Геометрические и физические задачи,

уравнений первого порядка

1°. Геометрические задачи. В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используются геометрическое истолкование производной – угловой коэффициент касательной – и интеграла с переменным верхним пределом – площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой, а также общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали n, подкасательной и поднормали :

. (10.39)

Пример 1. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если в каждой ее точке подкасательная в k раз меньше поднормали .

Ñ Пусть – уравнение искомой кривой. Используя
выражения подкасательной и поднормали из (10.39), получаем дифференциальное уравнение или . Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие , получаем искомые уравнения: (две прямые). #

Пример 2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1), если для любого отрезка площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, в два раза больше произведения координат точки кривой .

Ñ По условию задачи, . Дифференцируя это ра-венство по x, получаем дифференциальное уравнение , или . Интегрируя его, с учетом начального условия , получаем уравнение искомой кривой: . #

2°. Задачи с физическим содержанием. При составлении дифференциальных уравнений первого порядка в физических задачах используют метод дифференциалов, по которому приближенные соотношения между малыми приращениями величин заменяются соотношениями между их дифференциалами. В конкретных задачах используется тот или иной физический закон (некоторые из них приведены ниже при формулировании условия задачи), а также физическое истолкование производной как скорости протекания физического процесса.

Пример 3. В резервуаре первоначально содержится A кг вещества, растворенного в В литрах воды и вытекает N литров раствора (M > N), причем однородность раствора достигается путем перемешивания. Найти массу вещества в резервуаре через T минут после начала процесса.

Ñ Обозначим через массу вещества в резервуаре через t минут после начала процесса и через – в момент . Заметим, что при , т. е. раствор обедняется.

Пусть– объем смеси в момент . Концентрация вещества в момент t равняется, очевидно, . За бесконечно малый промежуток времени масса вещества изменяется на бесконечно малую величину (так как процесс непрерывен), для которой справедливо приближенное равенство

(10.40)

Заменяя в (10.40) приращения и дифференциалами dx и dt, получаем дифференциальное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя и считая
M > N, запишем общее решение: . Используя начальное условие: , находим частное решение: . Решение задачи получается из него при t = T. #

З а м е ч а н и е. Случай требует отдельного рассмотрения.

Задачи для самостоятельного решения

66. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если сумма длин ее касательной и подкасательной равна произведению координат точки касания.

67. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

68. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

69. Найти уравнение кривых, у которых длина отрезка нормали постоянна и равна a.

70. Найти уравнения кривых, у которых поднормаль имеет постоянную длину а.

71. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 2), если площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой этой кривой, в два раза больше длины соответствующей дуги.

72. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1/2), если для любого отрезка [1; x] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна отношению абсциссы x концевой точки к ординате.

73. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 3), если подкасательная в любой точке равна сумме абсциссы точки касания и расстояния от начала координат до точки касания (ограничиться рассмотрением случая ).

74. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого ее нормалью, на 2 ед. больше абсциссы точки касания.

75. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если для любого отрезка площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна кубу ординаты концевой точки дуги.

76. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами , если угол между ее касательной и радиус-вектором точки касания есть постоянная величина: .

77. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной, равна длине этой касательной.

78. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), если длина отрезка, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.

79. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до оси Ox лежит на параболе .

80. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0), если площадь трапеции, образованной касательной, осью координат и ординатой точки касания, постоянна и равна 3/2.

81. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна 1.

82. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью Ox равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.

83. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами , если площадь сектора, ограниченного этой кривой, полярной осью и переменным полярным радиусом, в шесть раз меньше куба полярного радиуса.

84. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры T от времени t, если тело, нагретое до , градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусам.

85. Через сколько времени температура тела, нагретого до
100 °С, понизится до 25 °С, если температура помещения равна 20°С и за первые 10 мин тело охладилось до 60 °С?

86. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух минут вращается со скоростью 3 об/с. Через сколько времени он будет иметь угловую скорость 1 об/мин?

87. Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?

88. Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие оп- ределяется формулой , где h – высота уровня воды над отверстием, g – ускорение свободного падения (принять g = 10 м/с2). За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром и высотой H = 1,5 м через отверстие в дне диаметром м?

89. Количество света, поглощаемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. Зная, что при прохождении слоя воды толщиной 2 м поглощается 1/3 первоначального светового потока, найти, какая часть его дойдет до глубины 12 м.

90. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через 4 секунды 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?

91. Пуля, двигаясь со скоростью км/с, пробивает стену толщиной h = 20 см и вылетает, имея скорость 100 м/с. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время прохождения пули через стену.

92. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин и смесь вытекает из него с той же скоростью. Однородность раствора достигается путем перемешивания. Сколько соли останется в баке через час?

93. Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить: а) массу вещества в начале процесса; б) через сколько времени после начала процесса останется лишь 1 % первоначальной массы исходного вещества?

94. В помещении цеха вместимостью 10800 м3 воздух содержит 0,12 % углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04 % углекислоты, со скоростью 1500 м/мин. Предполагая, что углекислота распределяется по помещению равномерно в каждый момент времени, найти объемную долю углекислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов.

95. Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и напряжением u удовлетворяет уравнению . Найти силу тока i в момент времени t, если и i = 0 при t = 0 (L, R, E, w – постоянные).

10.5. Дифференциальные уравнения высших порядков

10.5.1. Основные понятия и определения. Задача Коши

Задачей Коши для дифференциального уравнения (10.2) называется задача определения решения , удовлетворяющего заданным начальным условиям:

. (10.41)

Определение 1. Общим решением уравнения (10.1) или (10.2) называется такая функция , которая при любых допустимых значениях параметров является решением этого уравнения и для любой задачи Коши с условиями (5.1) , определяемые из системы уравнений:

(10.42)

Определение 2. Уравнение

, (10.43)

определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши [(10.2); (10.41)]. Если дифференциальное уравнение (10.2) таково, что функция в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные , то для любой точки существует такой интервал , на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (10.41).

Определение 3. Решение уравнения (10.2) называется частным решением, если в каждой точке его сохраняется единственность решения задачи Коши.

З а м е ч а н и е. Если есть общее решение уравнения (10.2) в области D, то всякое решение, содержащееся в этой формуле при конкретных допустимых числовых значениях произвольных постоянных , является частным решением.

Определение 4. Решение уравнения называется особым, если в каждой точке его нарушается единственность решения задачи Коши.

В случае уравнения второго порядка

(10.44)

задача Коши состоит в нахождении решения уравнения (10.44), удовлетворяющего начальным условиям

при . (10.45)

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, которая проходит через заданную точку и имеет в этой точке заданную касательную, образующую с положительным направлением оси Ox такой угол , что .

Механический смысл задачи Коши заключается в следующем. Запишем уравнение движения материальной точки в проекции на ось Ox:

(10.46)

Здесь t – время, – соответственно координата, проекции скорости и ускорения на ось Ox в момент t; – проекция силы на ось Ox, действующей на точку. Решение (координата x) уравнения (10.46) называется движением точки, определяемое этим уравнением. Задача Коши заключается в определении движения, удовлетворяющего начальным условиям: при , где числа и (начальные данные) есть соответственно начальный момент времени, начальная координата и проекция скорости в (начальный) момент времени .

Пример 1. Показать, что есть общее решение дифференциального уравнения .

Ñ 1. Покажем, что удовлетворяет данному уравнению при любых . Имеем 2. Пусть заданы произвольные начальные условия . Покажем, что постоянные можно подобрать так, что эти начальные условия будут удовлетворены. Составим систему: , из которой однозначно определяются . Таким образом, решение удовлетворяет поставленным начальным условиям. Заметим, что запись означает, что решение задачи записано в форме Коши. #

«Я.С. Гриншпон ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ Учебное пособие Томск Издательство Томского государственного . »

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ

И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ,

СВОДЯЩИЕСЯ

К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ

Учебное пособие Томск Издательство Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники УДК 517.91, 51.7 ББК 22.161.6я73 Г85

Рецензенты:

канд. физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики Томск.

гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники А.А. Ельцов;

канд. физ.-мат. наук, доц. каф. мат. анализа Томск. гос. ун-та Э.Н. Кривякова Гриншпон Я.С.

Г85 Геометрические, физические и экономические задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям: учеб. пособие / Я.С. Гриншпон. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр.

и радиоэлектроники, 2011. – 74 с.

ISBN 978-5-86889-547-0 Приведены геометрические, физические и экономические задачи, сводящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Все задачи снабжены подробными решениями. Может использоваться как дополнительное учебное пособие при изучении дифференциальных уравнений в курсах высшей математики и математического анализа для технических и экономических специальностей вузов.

УДК 517.91, 51.7 ББК 22.161.6я73 Учебное издание Гриншпон Яков Самуилович

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ

И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ

К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Учебное пособие Корректор Л.И. Кирпиченко Компьютерная верстка Я.С. Гриншпона Подписано в печать. Формат 6084/16.

Усл. печ. л. 4,42. Заказ. Тираж экз.

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники.

634050, г. Томск, пр. Ленина, 40.

Тел. 8 (3822) 533018.

© Гриншпон Я.С., 2011 ISBN 978-5-86889-547-0 © Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр. и радиоэлектроники, 2011 Предисловие Многие студенты технических специальностей, проходящие курс высшей математики на младших курсах, высказывают мнение, что «математика — это сухая теория, не имеющая практического значения». Конечно же, впоследствии, постоянно сталкиваясь с математическим аппаратом на специальных предметах, они изменят свое мнение. Но для лучшего усвоения материала и усиления заинтересованности в процессе обучения важно объяснить практическую ценность математических знаний именно в период их получения, т.е. на первом и втором курсах.

Данное пособие призвано хотя бы частично помочь в решении поставленной проблемы. В нем рассматриваются достаточно простые прикладные задачи, сводящиеся к дифференциальным уравнениям. Отметим, что для решения всех предложенных задач не требуется никаких дополнительных знаний из области физики, геометрии или экономики, так как все необходимые сведения из этих областей приводятся в начале каждого параграфа. Однако так как данное пособие предназначено для использования в курсе высшей математики, то сведения из других наук не претендуют на полноту и общность и для более глубокого их изучения следует воспользоваться специализированной литературой по данным предметам.

Пособие подготовлено с использованием работ [1–12].

Задача 3. Записать уравнения кривых, для которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.

Начертить все непрерывные кривые, удовлетворяющие условию задачи и проходящие через точку (–1; 1).

1.2. Задачи на площадь криволинейной трапеции Напомним, что криволинейной трапецией называют плоскую фигуру, которая в декартовой системе координат ограничена осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком непрерывной функции y = f ( x). Если a b, то площадь криволинейной трапеции равна значению определенb – &nbsp– &nbsp–

Из указанных формул видно, что задачи, связанные с криволинейной трапецией, как правило, сводятся к интегральным уравнениям. Однако дифференцирование обеих частей уравнения и использование факта, что производная от интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, позволяет в большинстве случаев перейти от интегральных уравнений к дифференциальным.

Задача 8. Записать уравнения кривых, обладающих следующим свойством: если через любую точку данной кривой провести прямые, параллельные осям координат, до пересечения с этими осями, то площадь полученного прямоугольника делится кривой в отношении 1:3.

Начертить все непрерывные кривые, удовлетворяющие условию задачи и проходящие через точку (1; –1).

Решение. Выберем точку A ( x0 ; y0 ) на кривой. Условие задачи подразумевает, что x0 и y0 отличны от нуля и что дуга искомой кривой от начала координат O до точки A не выходит за рам- у ки прямоугольника с вершинами в этих A точках. Тогда кривая делит прямоугольник на две части, одной из которых является криволинейная трапеция O х (рис. 10). Находим, что площадь пря- Рис. 10 моугольника равна x0 y0, а площадь x0 0

отрицательных x0, при этом площадь трапеции должна составлять 1/4 или 3/4 от площади прямоугольника.

Возможны четыре случая. Если точка A лежит в первой x x четверти, то 4 ydx = xy или 4 ydx = 3 xy. Дифференцируя,

Задача 9. Записать уравнения кривых, для любой точки которых абсцисса центра тяжести криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, дугой этой кривой и отрезком, соединяющим данную точку с ее проекцией на ось абсцисс, составляет 90 % от абсциссы этой точки.

уравнение. Приведем подобные и еще раз продифференцируем: y + xy = 9 y — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Общее решение имеет вид y = cx8. Легко проверить, что уравнение 10 xy dx = 9 x y dx, верное для отрицательных x0, привоx x дит к этому же ответу. Итак, задача решена для положительных y, т.е. для c 0, но, как было отмечено выше, ответ верен и для отрицательных y, т.е. для c 0. Однако при нулевом y, т.е. c = 0, задача теряет смысл.

Ответ: y = cx8, где x 0 и c 0, — общее решение.

Глава 2. Физические задачи

2.1. Задачи на движение При прямолинейном движении мгновенные скорость и ускорение определяются как первая и вторая производные соответственно от перемещения (пути), т.е. скорость v(t ) = s(t ) и ускорение a (t ) = s(t ) = v(t ), где s(t) — перемещение точки за время t. Напомним, что если при прямолинейном движении тело не меняет направления движения, то понятия перемещения и пройденного пути совпадают.

Пусть теперь данное движение вызвано силой F, направленной вдоль прямой движения. Тогда по второму закону Ньютона F = ma = ms. В обычно встречающихся задачах сила зависит от расстояния s или скорости v, что приводит к дифференциальному уравнению ms = F ( s) или mv = F (v). Далее мы рассмотрим три примера действующей силы: силу сопротивления, силу упругости и центробежную силу.

Сила сопротивления. Как показывает опыт, если тело при движении испытывает сопротивление среды, то сила этого сопротивления возрастает при увеличении скорости тела. При этом если скорость движения невелика и тело имеет малые размеры, то силу сопротивления можно считать пропорциональной скорости (например, сопротивление воды при движении плавучего средства по ее поверхности или при погружении небольшого объекта в воду).

Если же скорость и размеры предмета велики, то сопротивление становится пропорциональным квадрату скорости (например, свободное падение большого тела в воздухе). Итак, сила сопротивления Fr = v или Fr = v 2, где — коэффициент сопротивления. Часто для удобства коэффициент уменьшают в m раз, где m — масса движущегося тела, т.е. записывают Fr = mv или Fr = mv 2, что позволяет сократить на ненулевой множитель второй закон Ньютона. Действительно, если, например, на тело действует только сила сопротивления, то получаем уравнения mv = mv или mv = mv 2, которые сокращаются до v = v или v = v 2. Знак минус в этих уравнениях показывает, что сила сопротивления (а значит, и вызываемое ею ускорение) имеет направление, противоположное скорости движения тела.

Сила упругости. Если пружина находится в состоянии покоя, то по первому закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на нее, равна нулю. Однако закон Гука утверждает, при небольшой деформации пружины, т.е. при изменении ее длины, возникает сила упругости, пропорциональная величине этого изменения, которая стремится вернуть пружину в исходное положение. Следовательно, при рассмотрении колебаний пружины достаточно рассматривать силу упругости Fe = ks, где k — коэффициент жесткости пружины; s — отклонение от положения равновесия, и, возможно, силу сопротивления движению пружины, остальные же силы (в том числе сила тяжести) уравновешивают друг друга. Таким образом, второй закон Ньютона приводит к дифференциальному уравнению второго порядка ms = ks, или ms = s ks, или ms = ( s) 2 ks. Здесь через m обычно обозначают массу груза, прикрепленного к пружине, массой же самой пружины, как правило, пренебрегают. Знак минус указывает на то, что сила упругости направлена в сторону, противоположную отклонению пружины, а сила сопротивления противоположна вектору скорости.

Центробежная сила. На тело массой m, движущееся по окружности радиуса r с угловой скоростью, действует центробежная сила Fc = m2 r, направленная от центра окружности вращения.

Также заметим, что если тело движется не по прямой, а в плоскости или в пространстве, то задача обычно сводится уже не к одному дифференциальному уравнению, а к системе двух или трех уравнений соответственно. Связано это с тем, что описанные выше соотношения приходится рассматривать для проекций векторов перемещения, скорости, ускорения и силы на оси координат. Например, векторное равенство v = s приводит к трем скалярным равенствам vx = x, v y = y и vz = z, где vx, vy и vz — проекции скорости; x, y и z — координаты движущейся точки.

Задача 10. Под действием сопротивления воды лодка за 1 мин замедлила свое движение с 6 до 1 км/ч.

Какой путь пройдет лодка до полной своей остановки?

Решение. Пусть v(t) — это скорость лодки в момент времени t.

Лодка замедляет свое движение за счет силы сопротивления воды, пропорциональной скорости лодки:

Fr = mv. Тогда второй закон Ньютона приводит к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными v = v, решение которого имеет вид v = cet. Воспользовавшись условиями v(0) = 6 и v = 1, получим, 60 что c = 6 и 6e = 1, откуда e = 660. Следовательно, скорость движения лодки задается уравнением v = 6160t.

Из данного равенства видно, что теоретически в любой конечный момент времени скорость лодки положительна и остановка может произойти только при t =. Итак, путь

Отметим, что функция v = 6160t очень быстро приближается к нулю. Например, уже через 10 мин скорость будет составлять меньше одной десятой миллиметра в час, т.е. практически равной нулю. Поэтому при расчете пути лодки до ее полной остановки несобственный интеграл можно заменить определенным s = 6160t dt, при этом погрешность будет крайне незначительной, меньшей, чем одна тысячная миллиметра.

Ответ: 55 м 81 см.

Задача 12. Груз массой 320 г подвешен на легкой пружине и выведен из состояния покоя вытягиванием пружины на 8 см, при этом возникла сила упругости 1 Н.

Затем груз подбросили вертикально вверх, придав ему начальную скорость 0,5 м/с. Найти период и амплитуду свободных колебаний груза, если движение происходит без сопротивления.

Задача 14. Трубка с находящимся в ней шариком равномерно вращается вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси, причем за десять минут трубка делает три полных оборота.

Чему станет равным расстояние от шарика до оси через минуту после начала вращения, если изначально оно равнялось 4 см и шарик имел нулевую скорость?

Решение. Пусть r(t) — это расстояние от шарика до оси вращения в момент времени t. Угловая скорость вращения = 0, 01 рад/c. Учитывая действующую трубки равна на шарик центробежную силу Fc = (0, 01) 2 mr, где m — масса шарика, составим уравнение mr = (0, 01) 2 mr, или r (0, 01) 2 r = 0. Характеристическое уравнение (0, 01) = 0 имеет корни 1,2 = ±0, 01, значит, r = c1e0,01t + c2 e0,01t.

Из начальных условий r (0) = 0, 04 и r (0) = 0 видно, что c1 = c2 = 0, 02 и r = 0, 04 ch 0, 01t. Подставляя в качестве времени 60 с, получим r = 0, 04 ch 0, 6 0,135 м.

Ответ: 13 см 5 мм.

Задача 15. Горизонтальная трубка вращается с угловой скоростью 0,2 рад/c вокруг вертикальной оси.

В трубке находится пружина длиной 10 см и коэффициентом жесткости 0,48 кг/c2, к концам которой прикреплены грузики массой 600 г и 400 г, причем в момент начала вращения пружина не растянута и грузики одинаково удалены от оси вращения. Найти зависимость изменения длины пружины от времени.

Решение. Пусть r1(t) и r2(t) — это расстояния в метрах от оси вращения до первого и второго грузиков соответственно (первым будем считать грузик в 600 г, а вторым — грузик в 400 г) в момент времени t.

В процессе вращения под действием центробежных сил Fc1 = 0, 6 0, 22 r1 = 0, 024r1 и Fc 2 = 0, 4 0, 22 r2 = 0, 016r2 грузики начинают удаляться от оси вращения, что приводит к растягиванию пружины. Возникает сила упругости. Заметим, что удлинение пружины равно разности между длиной пружины в текущий момент времени и первоначальной длиной, т.е. (r1 + r2 0,1) м. Следовательно, сила упругости составляет Fe = 0, 48(r1 + r2 0,1) Н, причем она направлена в сторону оси вращения, т.е. противоположна направлению центробежных сил.

Задача 16. Однородная цепь длиной 2,5 м соскальзывает с горизонтального стола, причем в начальный момент времени со стола свисает конец длиной 10 см.

Пренебрегая трением и считая ускорение свободного падения равным 10 м/c2, найти время соскальзывания всей цепи.

Решение. Пусть l(t) — это длина в метрах свисающей со стола части цепи в момент времени t. Силой, под действием которой движется цепь, является сила тяжести свисающей части Fg = mg = 10l, где через обозначена линейная плотность цепи. Из второго закона Ньютона следует, что Fg = Ma = 2,5l (здесь m = l — масса свисающей части цепи, а M = 2,5 — масса всей цепи). Получаем 10l = 2,5l, дифференциальное уравнение или 2,5l 10l = 0 — это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка.

Характеристическое уравнение 2,5 2 10 = 0 имеет корни 1,2 = ±2, значит, l = c1e 2t + c2e 2t. Неизвестные константы можно найти, исходя из начальных условий l (0) = 0,1 и l (0) = 0, которые приводят к системе уравнеc + c = 0,1 ний 1 2, откуда c1 = c2 = 0, 05, и решение приниc1 2c2 = 0 мает вид l = 0, 05 ( e 2t + e 2t ) = 0,1ch 2t.

Для нахождения времени соскальзывания всей цепи надо принять длину l равной 2,5 0,1 = 2, 4 м. Получим

2.2. Задачи на реактивное движение При движении тела с переменной массой (например, космический корабль) второй закон Ньютона не применим, так как он справедлив только для тел с постоянной массой.

В этом случае используют так называемое уравнение Мещерского mv = F + um, где m(t) — масса тела; v(t) — его скорость; F(t) — действующая на него сила в момент времени t. Через u(t) обозначена относительная (относительно самого движущегося тела) скорость частиц, присоединяющихся к телу, или, наоборот, отсоединяющихся от него.

При движении космической ракеты u — это скорость истечения продуктов горения из сопла ракеты, причем в этом случае ускорение v и скорость истечения газов u имеют противоположные направления.

Величину m, характеризующую скорость изменения массы тела, называют секундным расходом массы. Заметим, что если масса тела постоянна, то секундный расход равен нулю и уравнение Мещерского превращается во второй закон Ньютона. В случае же летательного аппарата с реактивным двигателем секундный расход отрицателен, так как масса аппарата уменьшается в ходе движения. В простейших моделях секундный расход топлива считают постоянным.

Комментарий. Отметим, что в ходе решения данной задачи мы фактически вывели формулу скорости космического аппараM та v = u ln, которая впервые была получена Циолковским в m 1897 году и сейчас носит его имя. В этой формуле через M и m обозначены начальная и конечная (после выработки топлива) массы космического аппарата, через u — скорость газовой струи. Скорость ракеты v, вычисляемую по формуле Циолковского, называют характеристической. Реальная же скорость, как правило, ниже характеристической из-за влияния сил гравитации и сопротивления среды, а также из-за потерь, вызванных затратами на управление движением космического корабля.

Задача 19. Ракета с начальной массой 250 т движется вертикально вверх под действием силы тяги реактивного двигателя.

Скорость истечения газов и секундный расход топлива постоянны и равны 3 км/c и 1 т/с соответственно.

На какую высоту поднимется ракета через минуту после старта, если на поверхности Земли скорость ракеты равна нулю? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Пусть m(t) и v(t) — это масса и скорость ракеты соответственно в момент времени t. На движение ракеты оказывают влияние сила тяги двигателя ракеты и сила тяжести Земли Fg = mg. Значит, уравнение Мещерского запишется в виде mv = 0, 01m 3m (ускорение свободного падения считаем равным 0,01 км/с2, численное значение расхода топлива пока не подставляем). Выразим ускореm ние: v = 0, 01 3, и проинтегрируем обе части по вреm мени: v = 0, 01t 3ln m + c. Так как в момент старта скорость ракеты нулевая, а масса составляет 250 т, то c = 3ln 250 и v = 3ln 0, 01t.

m Итак, для нахождения скорости ракеты в произвольный момент времени осталось выразить массу ракеты через время. Так как секундный расход топлива m = 1 т/с, то, интегрируя, находим, что m = c t, где при t = 0 видно, что c = 250 и m = 250 t. Подставив выражение для массы ракеты в выведенную нами формулу скорости, получим v = 3ln 0, 01t = 3ln(1 0, 004t ) 0, 01t.

250 t Высоту подъема ракеты за одну минуту найдем как инh = 3 ln(1 0, 004t )dt 0, 01 tdt = теграл от скорости:

= (750 3t ) ln(1 0, 004t ) 0 + 3t 0 0, 005t = 570 ln 0, 76 + +180 18 5,571 км.

Ответ: 5 км 571 м.

Комментарий. Достаточно небольшая высота подъема ракеты показывает, что напрямую использование аппаратов с реактивным двигателем для преодоления силы тяжести Земли нерационально. На практике в современной космонавтике используются более сложные многоступенчатые ракеты-носители. При этом расчеты скорости и высоты подъема каждой отдельной ступени осуществляются по тем же принципам, что и в приведенных в данном параграфе задачах.

2.3. Задачи на радиоактивный распад Радиоактивным распадом называют самопроизвольное превращение ядер атомов некоторых элементов в ядра других элементов. Радиоактивный распад носит статистический характер: ядра атомов распадаются не одновременно все сразу, а в течение времени существования данного изотопа. Экспериментальным путем установлено, что мгновенная скорость радиоактивного распада пропорциональна количеству вещества, имеющемуся в данный момент, т.е.

m = m, где m — масса нераспавшегося вещества; — постоянная распада. Знак минус берется потому, что масса вещества уменьшается, а значит, скорость его изменения отрицательна. Время, в течение которого распадается половина имеющегося вещества, называется периодом полураспада. Периоды полураспада основных радиоактивных изотопов приводятся в физических справочниках, например для радона он составляет около четырех суток, для радия — 16 веков, для плутония — более 24 тысячелетий, а для урана-238 — 4,5 миллиарда лет.

Задача 20. Согласно опытам в течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг.

Через сколько лет распадется четверть имеющегося радия?

Решение. Пусть m(t) — это масса оставшегося радия к моменту времени t, где время измеряется в годах. Закон радиоактивного распада приводит к уравнению с разделяющимися переменными m = m, общее решение которого имеет вид m = cet. Подставив t = 0, увидим, что константа c совпадает с величиной массы радия в начальный момент времени, т.е. c = m(0), и m = m(0)e t — частное решение. Из условия задачи следует, что за год распадается 0,044 % имеющегося радия, следовательно, к концу первого года останется 99,956 % радия, т.е.

m(1) = 0,99956 m(0). Подставляя в частное решение, находим, что e = 0,99956 и m = m(0) 0,99956t.

Если ко времени t распалась четверть радия, то m(t ) = 0, 75m(0). Получим 0, 75m(0) = m(0) 0,99956t, откуда, t = log 0,99956 0, 75 653, 679 года, т.е. примерно 653 года 8 месяцев и 4 дня.

Ответ: 653 года 8 месяцев и 4 дня.

Задача 21. В куске горной породы содержится 100 мг урана и 13 мг уранового свинца.

Известно, что при полном распаде 240 г урана образуется 208 г уранового свинца.

Считая, что в момент образования горная порода не содержала свинца, определить возраст этой горной породы.

Решение. Пусть m(t) — это масса в миллиграммах нераспавшегося изотопа урана через t лет после формирования породы. Тогда m = m и m = m(0)e t. В момент образования породы, кроме 100 мг урана, в ней также содержалось некоторое количество урана, превратившегося затем в свинец. Следовательно, m(0) = 100 + 13 = 115 мг и m = 115et.

Зная, что период полураспада урана составляет около 4,5 миллиардов лет, вычислим, что через этот срок останется 0,5 115 = 57,5 мг урана, а значит, 57,5 = 115e 4,510.

Отсюда e = 24,5 10 и m = 115 24,5 10 t. Осталось в эту формулу массы урана подставить m = 100 и выразить время: t = 4,5 109 ( log 2 100 log 2 115 ) 907 106 лет.

Ответ: 907 миллионов лет.

2.4. Задачи на смеси В сводящихся к дифференциальным уравнениям задачах на смеси обычно делается следующее допущение: перемешивание компонентов смеси происходит настолько интенсивно, что в любой момент времени смесь можно считать однородной, т.е концентрация ее компонентов одинакова во всей смеси. Если бы при этом концентрация p некоторого компонента была постоянной во времени, то, зная скорость изменения объема смеси v (л/с), можно было бы найти, что за время t объем компонента изменится на V = pvt литров. Однако, как правило, концентрация зависит от времени, и поэтому можно лишь записать, что изменение объема компонента лежит в промежутке между числами p (t ) vt и p (t + t ) vt. Если теперь эти неравенства разделить на t и перейти к пределу при t 0, то получим дифференциальное уравнение V = pv.

Из начального условия V (0) = 50 = 40 л находим частное решение V = 50 10e0,004t. Осталось в данную формулу подставить V = 50 = 45 л и найти время t = 250 ln 2 173,3 с, т.е. немного меньше трех минут.

Ответ: 2 мин 53 с.

2.5. Задачи на охлаждение и нагревание В задачах на охлаждение или нагревание тела при взаимодействии с окружающей средой температуру окружающего пространства Tc принято считать постоянной. Согласно закону, установленному Ньютоном, скорость охлаждения или нагревания тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, т.е. T = k (T Tc ), при этом если в начальный момент времени температура тела T больше температуры окружающего пространства Tc, то происходит охлаждение и скорость T отрицательна, а если T Tc, — нагревание и T 0. Сделанное замечание объясняет, почему коэффициент пропорциональности k обычно записывают со знаком минус. Само значение величины k зависит как от физических свойств тела, так и от его геометрической формы. Для нахождения коэффициента, как правило, измеряют температуру тела в некоторый промежуточный момент времени.

Часто встречаются задачи о нагревании жидкости погруженным в нее электрическим прибором (металлический стержень, спираль, кипятильник и т.д.) с силой тока, мало меняющейся во времени. В этом случае опираются на явление, называемое Джоулевым теплом: если сила тока постоянна, то вся электрическая энергия превращается в тепловую.

Для нахождения тепловой энергии пользуются формулой E = cmT, где c — удельная теплоемкость жидкости (в частности, для воды c 4200 Дж/(кг°C)); m — масса жидкости; T — изменение температуры, а для нахождеU 2 t ния электрической энергии — формулой E =, где R U — напряжение, подаваемое на прибор; R — сопротивление прибора; t — продолжительность протекания тока.

Как правило, считают, что температура не оказывает заметного влияния на теплоемкость жидкости, изменение же сопротивления прибора иногда учитывают, а иногда нет. В действительности сопротивление проводников немного увеличивается с повышением температуры, а именно верна формула R = R0 (1 + (T T0 ) ), где R0 — сопротивление при начальной температуре T0; — температурный коэффициент сопротивления. В большинстве справочников приводятся значения сопротивления R0 при температуре T0 = 20 °C.

Задача 24. Тело охладилось за 10 мин от 70 до 40 °C.

Температура окружающей среды поддерживается равной 25 °C. Сколько еще минут понадобится, чтобы тело остыло до 30 °C?

Решение. Пусть T(t) — это температура тела в момент времени t, где температура измеряется в градусах Цельсия, а время — в минутах. Тогда по закону Ньютона T = k (T 25) — это уравнение с разделяющимися переdT = kt, ln(T 25) = ln c kt и менными.

Решаем его:

T 25 T = ce kt + 25. Из условий T (0) = 70 и T (10) = 40 находим, что c = 45 и ek = 30,1, и закон охлаждения приобретает вид T = 45 30,1t + 25. Подставив в этот закон T = 30 °C, получим t = 20 мин. Так как требуется найти время, прошедшее с момента охлаждения тела до 40 °C, то окончательный ответ 20 10 = 10 мин.

2.6. Задачи на давление Давлением называют отношение силы, действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхноF сти, т.е. p =, где p — давление; F — сила; S — площадь.

S Единицей измерения давления в системе СИ является паскаль, Па = кг/(мс2). Однако традиционно применяются и некоторые другие единицы измерения: миллиметр ртутного столба (1 мм рт. ст. 133,322 Па) и атмосфера (1 атм = 760 мм рт. ст. 101,325 кПа).

В случае атмосферного давления действующей силой является сила тяжести столба воздуха, находящегося над рассматриваемой поверхностью. Следовательно, в этом mg случае p =, где m — масса столба воздуха; g — ускоS рение свободного падения. На уровне моря стандартным принято считать давление в одну атмосферу, т.е. чуть более 100 кПа. При удалении от поверхности Земли давление, очевидно, уменьшается.

При решении задач на давление полезен закон Бойля– Мариотта, одна из формулировок которого гласит, что при постоянной температуре давление и плотность газа пропорциональны друг другу, т.е. = kp, где —плотность;

p — давление газа. Также отметим, что по международному стандарту плотность воздуха у поверхности Земли считают равной 1,225 кг/м3.

Комментарий. В ходе решения задачи нами фактически была выведена формула вычисления атмосферного давления на любой высоте без учета понижения температуры: p = p0 e0,00012 h, называемая также барометрической формулой.

Задача 28. Воронка имеет форму конуса радиусом 9 см и высотой 25 см, обращенного вершиной вниз.

За какое время вся вода вытечет из воронки через круглое отверстие со спрямленными краями диаметром 6 мм, расположенное в вершине конуса?

Решение. Пусть h(t) — это высота жидкости в воронке в момент времени t. По закону Торричелли через отверстие 0, 0062 = 9 106 за время t выльется не боплощадью лее 9 10 0,85 20h(t )t = 1,53 105 5h(t )t и не менее

2.8. Задачи на электрические цепи Под электрической цепью понимают совокупность элементов, образующих путь для электрического тока. К числу важнейших элементов относят: резистор (сопротивление), конденсатор (емкость), катушку (индуктивность) и источник напряжения (ЭДС). Все эти элементы являются двуполюсниками, т.е. имеют два вывода (полюса), которые подсоединяются к полюсам других элементов.

Основными характеристиками любого участка цепи в момент времени t являются сила тока I(t), протекающего через данный участок, и падение напряжение U(t) от начала участка к концу. Для пассивных (т.е. поглощающих энергию) элементов связь между этими характеристиками задается следующими соотношениями: для резистора — U = RI, где R — постоянный коэффициент, называемый сопротивлением; для конденсатора — I = CU, где C — постоянный коэффициент, называемый емкостью; для катушки — U = LI, где L — постоянный коэффициент, называемый индуктивностью. Формулу U = RI называют законом Ома. Соотношение для конденсатора также часто q записывают в виде U =, где q (t ) — заряд конденсатора C в момент времени t, при этом q = I.

Между двумя катушками может наблюдаться явление взаимоиндукции, характеризующееся постоянным по времени коэффициентом взаимоиндукции M. В этом случае напряжение на катушках вычисляется по формулам U 1= L1 I1 + MI 2 и U 2 = L2 I 2 + MI1, где U1 и U2, L1 и L2, I1 и I2 — напряжение, индуктивность и ток для первой и второй катушек соответственно. Для коэффициента M всегда выполняется неравенство M 2 L1 L2, причем, чем больше взаимодействие двух катушек, тем ближе величина M к значению выражения L1 L2.

В СИ заряд измеряется в кулонах (Кл), сила тока — в амперах (А), напряжение — в вольтах (В), сопротивление — в омах (Ом), емкость — в фарадах (Ф), индуктивность и коэффициент взаимоиндукции — в генри (Гн).

Активный (т.е. обладающий способностью отдавать энергию подключенным к нему элементам) элемент ЭДС, как правило, генерирует либо постоянное напряжение U = U 0, либо переменное гармоническое напряжение U = U 0 sin(t + ), где — частота; — начальная фаза.

В основе решения задач по описанию работы электрических цепей лежат законы Кирхгофа. Из первого закона Кирхгофа, в частности, вытекает, что при последовательном соединении двухполюсников сила тока на любом участке цепи одна и та же. Этот факт позволяет в задачах данного параграфа вводить одну переменную для силы тока независимо от рассматриваемого участка цепи. Из второго же закона Кирхгофа следует, что в цепи, представляющей собой замкнутый контур с единственным источником напряжения, сумма падений напряжений на пассивных элементах равна напряжению, вырабатываемому источником ЭДС. Второй закон Кирхгофа вместе с приведенными выше соотношениями для пассивных элементов, как правило, приводит к дифференциальному уравнению относительно силы тока цепи.

Установившемся режимом называется такое состояние электрической цепи, при котором сила тока либо постоянна, либо изменяется периодически.

Задача 29. В цепь последовательно включены резистор сопротивлением 5 Ом и конденсатор емкостью 2 мкФ, заряд которого в момент замыкания цепи равен 3 Кл.

Найти силу тока в цепи в момент ее замыкания и через тысячную долю секунды после замыкания.

Решение. Пусть I(t) — это сила тока в цепи, а q(t) — заряд конденсатора в момент времени t. По следствию из первого закона Кирхгофа сила тока, протекающего через резистор и конденсатор, одинакова, а значит, I = q. Тогда по закону Ома напряжение на резисторе равно 5I = 5q, а q = 5 105 q.

на конденсаторе — Так как активные элементы в цепи отсутствуют, то верно равенство 5q + 5 105 q = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными, общее решение которого имеет вид ln q = 105 t + ln c, или q = ce 100000t. Начальное условие q (0) = 3 позволяет нам записать частное решение q = 3e 100000t.

Для нахождения силы тока продифференцируем последнее равенство: I = 300000e100000t (мы не учитываем направление тока, а рассматриваем только его абсолютное значение). Подставляя t = 0 и t = 0, 001, находим, что I (0) = 300000 А и I (0, 001) = 300000e 100 0 A, т.е. за тысячную долю секунды ток фактически падает до нуля (происходит почти мгновенная разрядка конденсатора).

Ответ: 30 кА и 0 А.

Комментарий. На примере рассмотренной задачи поясним смысл понятия «установившийся режим». Если бы мы выбрали другое частное решение при c 0, то сила тока записывалась бы как сумма двух слагаемых: гармонического колебания 50(sin 50t 10cos50t ) и достаточно быстро приближающегося к нулю при t выражения ce 5t. Таким образом, при любых начальных условиях сила тока с течением времени становится мало отличима от установившегося режима цепи.

Задача 31. К источнику постоянного напряжения 60 В подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивностью 5 Гн, резистора сопротивлением 40 Ом и конденсатора емкостью 2 нФ.

Найти ток в цепи как функцию времени, если в начальный момент ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю.

Решение. Пусть I(t) — это сила тока в цепи, а q(t) — заряд конденсатора в момент времени t. Тогда падения напряжения на катушке, резисторе и конденсаторе соответq ственно равны 5I, 40I и = 5 108 q. Из второго закона Кирхгофа вытекает равенство 5 I + 40 I + 5 108 q = 60.

Дифференцируя это равенство и сокращая его на пять, получим линейное однородное уравнение второго порядка I + 8I + 108 I = 0. Характеристическое уравнение + 8 + 10 = 0 имеет корни 1,2 = 4 ± 28i 127551, и зна

Комментарий. Цепь, описанную в данной задаче, называют колебательным контуром (другими словами, колебательный контур — это замкнутая цепь с последовательно подсоединенными катушкой, резистором и конденсатором). Действительно, как показывает ответ задачи, источник постоянного напряжения формирует в данной цепи затухающие гармонические колебания тока. Отметим, что в идеальном случае отсутствия сопротивления (в том числе и внутреннего сопротивления всех элементов цепи) колебания имели бы постоянную амплитуду, т.е. были бы незатухающими. Такой контур называют идеальным.

Задача 32. Идеальный колебательный контур с индуктивностью 1 Гн и емкостью 100 пФ подключается к источнику переменного напряжения U = U 0 sin t.

При какой частоте источника колебания тока будут иметь неограниченно возрастающую со временем амплитуду?

Решение. Пусть I(t) — это сила тока в цепи, а q(t) — заряд конденсатора в момент времени t. Тогда напряжение на катушке составляет I, а на конденсаторе — q = 1010 q, и по второму закона Кирхгофа I + 1010 q = U 0 sin t. Дифференцируя, получаем линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами I + 1010 I = U 0 cos t. Характеристическое уравнение 2 + 108 = 0 1,2 = ±10000i, имеет корни и значит, I = c1 cos10000t + c2 sin 10000t — это общее решение однородного уравнения, представляющее собой колебания с c12 + c2.

амплитудой Если 10000, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде I = A cos t + B sin t. Это также незатухающие колебания постоянной амплитуды A2 + B 2. Следовательно, данный случай не удовлетворяет условию задачи.

Если же = 10000, то можно подобрать числа A и B, при которых частное решение запишется в виде I = t ( A cos10000t + B sin10000t ). Полученное выражение задает колебания, имеющие непрерывно возрастающую с течением времени амплитуду t A2 + B 2. Значит, и сила тока в цепи I = (c1 + At ) cos10000t + (c2 + Bt ) sin10000t будет иметь неограниченно возрастающую амплитуду. Итак, источник ЭДС должен генерировать напряжение частотой = 10 кГц.

Комментарий. Описанное в задаче явление неограниченного возрастания амплитуды гармонических колебаний называется резонансом. Фактически мы показали, что резонанс наступает в том случае, когда собственная частота колебательного контура =, где L — индуктивность; C — емкость, совпадает с LC частотой колебаний источника тока.

Задача 33. Имеются два контура.

Первый контур состоит из источника переменного напряжения с амплитудой 200 В и индуктивности 0,8 Гн, а второй — из индуктивности 5 Гн и сопротивления. Катушки находятся в состоянии взаимоиндукции с коэффициентом 2 Гн. Найти амплитуду напряжения на сопротивлении второго контура.

Комментарий. В задаче представлена схема идеального трансформатора, т. е. трансформатора, в котором пренебрегают внутренним сопротивлением катушек и коэффициент взаимоиндукции считают равным среднему геометрическому между индуктивностями катушек. На практике две катушки реализуют в виде двух обмоток, навитых на общей сердечник. Контур, содержащий источник ЭДС, называют первичной обмоткой, а контур, содержащий полезную нагрузку (резистор), называют вторичной обмоткой трансформатора. Фактически в задаче доL2 казано, что амплитуда напряжения на нагрузке в раз L1 больше, чем амплитуда напряжения, генерируемого источником. Эту характеристику называют коэффициентом трансформации.

имеет вид I 2 0, 002 cos 40t 0,3426sin 40t + ce 6750t, а установившийся режим достигается при c = 0 и в этом случае I 2 0, 002 cos 40t 0,3426 sin 40t. По закону Ома напряжение на резисторе вычисляется по формуле 200 I 2 0, 4 cos 40t + 68,52 sin 40t и его амплитуда составляет 0, 42 + 68,522 68,52 (т.е. можно пренебречь первым слагаемым, так как 0,4 много меньше, чем 68,52).

Глава 3. Экономические задачи

3.1. Задачи на проценты Если некоторая денежная сумма за одинаковые промежутки времени изменяется на одно и то же число процентов, то такой процесс называют начислением накопительных или сложных процентов. Такая ситуация наблюдается при размещении денежных вкладов в банках и при кредитовании с фиксированной процентной ставкой.

Как правило, проценты начисляются дискретно, т.е. в конце каждого временного периода. В этом случае по истечении n периодов денежная сумма достигнет величины n p a (1 + p %) = a 1 + n, где a — начальная сумма. Однако 100 если предположить, что начисление происходит непрерывно, то мгновенная скорость изменения денежной суммы будет составлять фиксированное число процентов от суммы, рассчитанной на данный момент времени. Другими словами, если a(t) — это та денежная сумма, которая непрерывно изменяется на p% за единицу времени, то верно p соотношение a = a p% = a, представляющее собой дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Задача 35. Кредит в сто тысяч рублей взят на пять лет под 15 % годовых.

Какую сумму нужно будет погасить кредитору, если накопительные проценты начисляются:

а) каждый год; б) каждый месяц; в) непрерывно?

Решение. а) По формуле сложных процентов через пять лет кредит достигнет 105 (1 + 0,15)3 = 152087,5 руб.

б) Теперь, в отличие от случая а), процентная ставка сов месяц и проценты будут начислятьставит ся в течение 120 месяцев. Следовательно, величина кредита получится равной 105 (1 + 0, 0125)36 156394,38 руб.

в) В данном случае придется решить дифференциальное уравнение a = 0,15a, где через a(t ) обозначена сумма кредита в момент времени t, а время измеряется в годах.

da = 0,15dt, и проинтегрируем:

Разделим переменные:

a ln a = 0,15t + c, или a = ce0,15t. Так как a (0) = 105, то частное решение имеет вид a = 105 e0,15t. Для нахождения окончательной суммы кредита остается подставить t = 3. Тогда a (3) = 105 e0,45 156831, 22 руб.

Ответ: а) 152087 руб. 50 коп.; б) 156394 руб. 38 коп;

в) 156831 руб. 22 коп.

Комментарий. Полученные ответы показывают, что при уменьшении временного промежутка начисления процентов сумма кредита возрастает и приближается к наибольшему непрерывному случаю, а значит, при выборе кредита более выгодны те условия, в которых проценты начисляются реже. Однако в любом из предложенных в задаче случаев переплата по кредиту весьма значительна: более половины занятой суммы.

Задача 36. Какая сумма будет находиться на счету через пятьсот лет, если сегодня открыть сберегательный вклад в один рубль под 5 % годовых с непрерывным начислением процентов?

Решение. Пусть a(t ) — это сумма вклада в момент времени t. Тогда, решая задачу Коши a = 0, 05a и a(0) = 1, получим, что a = e0,05t. Подставляя t = 500, находим ответ a (500) = e 25 72004899337 руб., т.е. более 72 миллиардов рублей.

Ответ: 72004899337 руб.

Комментарий. Данная задача показывает, что массовое использование населением банковских депозитов достаточно быстро приводит к бесконтрольному увеличению денежной массы государства, что в свою очередь может спровоцировать сильную инфляцию. Это является одной из причин проведения денежных реформ.

3.2. Задачи на выпуск продукции В простейших задачах по расчету количества выпускаемой предприятием продукции предполагается возможность моментальной реализации практически любого количества продукции по предложенной производителем цене, т.е. при отсутствии конкуренции на рынке наблюдается дефицит данной группы товаров или же производится товар первой необходимости. В условиях же конкуренции или быстрого насыщения рынка количество реализованной продукции задается кривой спроса p(y), выражающей зависимость цены p от количества предлагаемого товара y.

Если в результате реализации продукции предприятие получает прибыль, то ему выгодно некоторую ее часть направлять на расширение производства, причем принято считать, что рост инвестиций приводит к пропорциональному увеличению скорости производства (под скоростью производства подразумевается величина изменения объема выпускаемой продукции за единицу времени). Отношение величины инвестиций к общему доходу предприятия называют долей или нормой инвестиций, а отношение скорости производства к величине инвестиций — показателем отдачи инвестиций. Кроме внутренних инвестиций, выделяемых из прибыли самого предприятия, могут привлекаться и внешние инвестиции (например, государственная поддержка, выпуск ценных бумаг, взносы учредителей и т.д.).

Одновременно с инвестированием, повышающим производственные показатели, происходит объективный процесс убывания скорости производства, вызванный уменьшением производительности или полным выходом из строя оборудования предприятия за счет его постепенного изнашивания. Этот процесс характеризуется коэффициентом выбытия фондов, равным модулю отношения скорости производства к объему выпущенной продукции.

Таким образом, деятельность предприятия можно описать дифференциальным уравнением y = l (mpy + u ) ky, где y(t) — объем выпущенной в момент времени t продукции; p ( y ) — цена за единицу продукции; m — норма инвестиций; l — показатель отдачи инвестиций; k — коэффициент выбытия фондов; u(t) — внешние инвестиции.

Величина mpy представляет собой объем внутренних инвестиций.

Также отметим, что объем выпущенной за промежуток времени [t1 ; t2 ] продукции находится как определенный t2

Задача 38. Единственная хлебопекарня поселка выпекает и продает тысячу буханок хлеба в сутки стоимостью 8 рублей за одну буханку.

В течение месяца 3 % выручки от реализации хлеба будет направляться на расширение производства. Известно, что удвоение вложений в производство приводит к увеличению скорости выпечки хлеба в полтора раза. Сколько буханок хлеба в день будет выпекать пекарня к концу месяца?

Решение. Пусть y (t ) — это количество испеченного в момент времени t хлеба, причем время измеряется в сутках. Выручка от его реализации составит 8y рублей, из которых 0, 03 8 y = 0, 24 y рублей направляется на расширение производства, что приводит к увеличению скорости 1,5 выпечки хлеба y в 0, 24 y = 0,18 y раз. Следовательно, верно уравнение с разделяющимися переменными y = 0,18y, общее решение которого имеет вид y = ce0,18t.

Из условия y (0) = 1000 найдем частное решение y = 1000e0,18t. Остается подставить t = 30 суток, чтобы получить окончательный ответ y (30) = 1000e5,4 221406 буханок хлеба.

Ответ: 221406 буханок.

Комментарий. Ответ задачи показывает, что если даже не очень большую часть прибыли постоянно вкладывать в производство дефицитного товара, то очень быстро можно добиться огромного роста объема его выпуска (экспоненциальный рост).

Разумеется, данная модель является весьма упрощенной и редко наблюдается в реальности, так как в ней не учитывается насыщение рынка и износ оборудования.

Задача 40. Государство решило оказать поддержку остановившему производство предприятию-банкроту.

В течение года на счет предприятия непрерывно будут поступать денежные средства, причем кризисный управляющий может выбрать одну из схем господдержки: либо перечисленные средства равномерно возрастают и к концу года достигают некоторого фиксированного значения, либо средства равномерно убывают от данного фиксированного значения до нуля к концу года. Какая из предложенных схем приведет к выпуску большего объема продукции, если известно, что из-за ветхости оборудования коэффициент выбытия фондов за год равен двум, а показатель отдачи инвестиций в данной отрасли составляет 40 %?

Решение. Пусть y (t ) — это объем продукции в момент времени t, причем время измеряется в годах. Тогда скорость производства y за счет износа оборудования уменьшается на 2 y, а за счет господдержки увеличивается на 0, 4u, где u(t) — величина перечисляемых государством средств. Следовательно, верно тождество y = 0, 4u 2 y.

Если через a обозначить максимальное значение поступающих средств, то в первой схеме инвестирования u1 = at, а во второй — u2 = a at. Имеем линейные уравнения y + 2 y = 0, 4at и y + 2 y = 0, 4(a at ). Соответствующее однородное уравнение y + 2 y = 0 имеет общее решение y = ce 2t. Варьируя константу, для первой схемы получаем ce 2t = 0, 4at, c = 0, 4ate 2t и c = 0, 4a te 2t dt = = 0, 2ate 2t 0,1ae 2t + c.

Аналогично для второй схемы:

ce 2t = 0, 4(a at ), c = 0, 4(a at )e 2t, c = 0, 4a (1 t )e 2t dt = = 0,3ae 2t 0, 2ate 2t + c. Итак, найдены общие решения y1 = 0, 2at 0,1a + ce 2t и y2 = 0,3a 0, 2at + ce 2t. Так как в начальный момент времени предприятие не выпускало продукцию, то y (0) = 0 и частные решения принимают вид y1 = 0, 2at 0,1a + 0,1ae 2t и y2 = 0,3a 0, 2at 0,3ae 2t.

К концу года объем выпущенной продукции по первой схеме достигнет значения 0, 2a tdt 0,1a dt + 0,1a e2t dt = 21 2 t 1 = 0,1at 0,1at 0 0, 05ae = 0, 05a (1 e ) 0, 043a, а по второй схеме — 0,3a dt 0, 2a tdt 0,3a e2t dt = 0,3at 0 21 2 t 1 = 0, 2a + 0,15a (e 2 1) 0, 07 a. Видно, 0,1at + 0,15ae что в первом случае объем продукции получился меньшим, чем во втором.

Ответ: вторая схема.

Комментарий. Из решения данной задачи видно, что при одинаковой общей сумме внешних инвестиций убывающая схема инвестирования оказывается более выгодной по сравнению с возрастающей схемой. Это доказывает известный в экономике факт, что вложения в производство наиболее эффективны в первоначальный период становления предприятия.

Приложение Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения Здесь представлены только те типы дифференциальных уравнений, к которым сводятся задачи из данного пособия.

Это некоторые уравнения первого порядка (уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и линейные уравнения), уравнения второго порядка, не содержащие независимую переменную, и линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общий вид дифференциального уравнения n-го порядка F ( x, y, y,…, y ( n ) ) = 0, где x — независимая переменная;

y(x) — искомая неизвестная функция. Соответственно уравнения первого порядка имеют вид F ( x, y, y) = 0, а уравнения второго порядка — F ( x, y, y, y) = 0.

Функцию y = ( x), которая обращает уравнение в тождество при замене y и его производных на (x) и ее производные, называют частным решением дифференциального уравнения. Функцию y = ( x, c1, c2,…, cn ), которая при замене констант c1, c2,…, cn на конкретные числовые значения становится частным решением уравнения, называют общим решением данного уравнения. Решения, заданные неявно, также называют интегралом (частным или общим) дифференциального уравнения.

Уравнениями с разделяющимися переменными (задачи 1, 2, 5, 8, 9, 10, 11, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 35, 36, 37, 38, 39) называются уравнения вида y = f ( x) g ( y ). Такие уравнения решают методом разделения переменных, а именно их записывают в виде dy = f ( x)dx и интегрируют обе части. Общий интеграл g ( y) dy уравнения g ( y) = f ( x)dx.

Однородные уравнения (задачи 3, 6, 7) — это уравнения вида y = f ( x, y ), где функция f(x, y) для любого параметра k удовлетворяет условию f (kx, ky ) = f ( x, y ). Заменой y = xu и y = u + xu, где u — функция от переменной x, однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные уравнения первого порядка (задачи 4, 30, 34,

40) имеют вид a ( x) y + b( x) y = f ( x), причем при f ( x) = 0 линейные уравнения называют однородными, а при f ( x) 0 — неоднородными. Линейные однородные уравнения решаются как уравнения с разделяющимися переменными. Для неоднородных уравнений применяют метод вариации произвольной постоянной (иногда его называют методом Лагранжа). Сначала решается соответствующее однородное уравнение a ( x) y + b( x) y = 0, а затем в найденном общем решении y = ( x, c) константа c заменяется функцией c(x) и выражение y = ( x, c( x)) подставляется в исходное неоднородное уравнение вместо y. Из уравнения выражают производную c( x), интегрируют и подставляют полученное c(x) в общее решение y = ( x, c( x)).

Замена y = p и y = pp, где p — функция от переменной y, понижает на единицу порядок уравнения второго порядка, не содержащего независимую переменную x, и тем самым сводит его к уравнению первого порядка (задача 17).

Для решения линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами ay + by + cy = 0 (задачи 12, 13, 14, 15, 16, 31) составляется характеристическое уравнение a 2 + b + c = 0. Если корни 1 и 2 полученного квадратного уравнения действительны и различны, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид y = c1e1x + c2 e2 x. Если 1 = 2, то y = c1e1x + c2 xe1x. А если 1,2 = ± i — комплексные сопряженные корни, то y = c1ex cos x + c2 ex sin x.

Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка ay + by + cy = f ( x) (задачи 15, 32) находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. При этом если правая часть имеет вид f ( x) = ex ( P( x) cos x + Q( x)sin x ), где P(x) и Q(x) — произвольные многочлены, и числа 1,2 = ± i не являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение неоднородного уравнения вида y = ex ( A( x) cos x + B( x)sin x ), где A(x) и B(x) — некоторые многочлены, степени которых не превышают наибольшую из степеней многочленов P(x) и Q(x). Если же характеристическое уравнение имеет сопряженные корни 1,2 = ± i, то y = xex ( A( x) cos x + B( x)sin x ). Аналогично если f ( x) = P( x) ch x + Q( x)sh x и ±, то y = A( x) ch x + B( x) sh x. В частном случае, когда правая часть является константой и 0, частное решение также будет являться некой константой.

1. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов/ А.М. Ахтямов. – М.: Физматлит, 2004.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа/ Г.Н. Берман. – М.: Наука, 1975.

3. Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов/ А.Ф. Бермант. – М.: Изд-во физ.-мат.

4. Гутер Р.С. Дифференциальные уравнения/ Р.С. Гутер, А.Р. Янпольский. – М.: Высшая школа, 1976.

5. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениям/ А.И. Егоров. – М.: Физматлит, 2005.

6. Ельцов А.А. Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения/ А.А. Ельцов, Т.А. Ельцова. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники, 2007.

7. Ельцов А.А. Практикум по интегральному исчислению и дифференциальным уравнениям/ А.А. Ельцов, Т.А. Ельцова. – Томск: Изд-во Томск.

гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники, 2005.

8. Высшая математика для экономистов/ Н.Ш. Кремер,

Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. – М.:

9. Кухлинг Х. Справочник по физике/ Х. Кухлинг. – М.: Мир, 1985.

10. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ Л.С. Понтрягин. – М.: Наука, 1974.

11. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям/ А.Ф. Филиппов. – М.: Наука, 1979.

12. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2/ Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1969.

Глава 1. Геометрические задачи

1.1. Задачи на положение касательной.

1.2. Задачи на площадь криволинейной трапеции. 16 Глава 2. Физические задачи.

2.1. Задачи на движение.

2.2. Задачи на реактивное движение.

2.3. Задачи на радиоактивный распад.

2.4. Задачи на смеси.

2.5. Задачи на охлаждение и нагревание.

2.6. Задачи на давление.

2.7. Задачи на истечение жидкости.

2.8. Задачи на электрические цепи.

Глава 3. Экономические задачи

3.1. Задачи на проценты.

3.2. Задачи на выпуск продукции.

Приложение. Простейшие дифференциальные уравнения и методы их решения

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА КАФЕДРА ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ И СОЦИАЛЬНО-ГУМАНИТАРНЫХ ДИСЦИПЛИН ПСИХОЛОГИЯ Рабочая программа дисциплины Психология по направлению подготовки 38.03.01 ЭКОНОМ. »

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Монография Москва УДК 34 ББК 67.404я73 Р92 Рецензенты: Л.В. Андреева, д.ю.н., проф., Н.И. Косякова, д.ю.н., проф. Коллектив авторов: Г.Ф. Ручкина, д.ю.н., проф. (глава 3, совместно с Ве. »

«ВЗАИМОСВЯЗЬ УРОВНЯ КРЕАТИВНОСТИ С ФУНКЦИОНАЛЬНО-РОЛЕВЫМИ ПОЗИЦИЯМИ Автор – Телушкина Екатерина Александровна, Новикова Екатерина Алексеевна, студенты 2 курса Института права (кафедра философии и юридической психологии), направле. »

«272 Economics: Yesterday, Today and Tomorrow. 9`2016 УДК 339.94 Publishing House ANALITIKA RODIS ( analitikarodis@yandex.ru ) http://publishing-vak.ru/ Анализ ключевых факторов, определяющих инвестиционную привлекательность интернет-компаний Притуманнов Александр Алексеевич Аспирант. »

«Информация об условиях предоставления, использования и возврата потребительского займа в ООО МФО «СКБ-Инвест» № Информация Содержание п/ п Наименование кредитора Полное наименование: Общество с ограниченной ответственностью микрофинансовая организация «Инвестиционная Компания Содействие коммерции и Биз. »

«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации Под редакцией заслуженного деятеля науки Российской Федерации, доктора экономических наук, профессора О.И. Лаврушина Рекомендовано УМО по образов. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию РФ Владивостокский государственный университет экономики и сервиса _ Е.Г. ФЛИК ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ Учебная прог. »

«ПРОГРАММНО-АППАРАТНЫЙ КОМПЛЕКС «ТРИНИТИ» для защиты информационных систем На сегодняшний день вопросы безопасности корпоративных информационных систем приобретают все большую актуальность. С одной стороны, растет количес. »

«Государственная политика в сфере бюджетных инвестиций – обзор Астана, 2012 Данный сборник подготовлен в рамках проекта при финансовой поддержке Revenue Watch Institute. ОФ «Центр экономических исследований, мониторинга и оценки» пре. »

«1 М. М. Буркин, С. В. Горанская Основы наркологии Учебное пособие Петрозаводск «Карелия» 2002 Федеральная целевая программа «Культура России» (подпрограмма «Поддержка полиграфии и книгоиздания России») Авторы выражают искреннюю п. »

«Экономическая социология. 2005. Т. 6. № 4 http://ecsoc.msses.ru Новые тексты VR Мы публикуем первую часть текста Т.Р. Калимуллина, посвященного рынку диссертационных услуг. О существовании такого рынка известно всей академической публике. Но дело, как правило, огранич. »

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет путей сообщения» Кафедра «Транспортный бизнес» П.В. Куренков, О.Н. Мазуркина Транспортное право (железнодорожный транспорт) Рек. »

«1991 г. А.А. РАЗУМОВ ПОМОЖЕТ ЛИ РЫНОК ВОЗРОДИТЬ ДЕРЕВНЮ? РАЗУМОВ Александр Александрович — кандидат экономических наук, заведующий отделом уровня жизни НИИ труда Госкомтруда СССР. В нашем журнале публикуется впервые. Осуществление радикальной экономической реформы, основным замыслом которой является переход к экономике рыно. »

«МИКРОЭКОНОМИКА Лекторы: проф. Куманин Г.М., доц. Деленян А.А., доц. Текеева А.Х., ст. преп. Бандилет А.Н. Аннотация В курсе изучаются микроэкономические закономерности функционирования рыночной экономики; основные принципы. »

2017 www.pdf.knigi-x.ru — «Бесплатная электронная библиотека — разные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Электронная лекция на тему:

«Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

Общие и частные решения»

Студентка: Мирошина Виктория

Преподаватель: Литвинова И.А.

Дифференциальные уравнения геометрические и физические задачи

Геометрические и физические задачи

уравнений первого порядка

Задачи для самостоятельного решения

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ

И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ,

СВОДЯЩИЕСЯ

К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ, ФИЗИЧЕСКИЕ

И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ

К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Рекомендуемые файлы