Дифференциальные уравнения и экономические модели
webkonspect.com — сайт, с элементами социальной сети, создан в помощь студентам в их непростой учебной жизни.
Здесь вы сможете создать свой конспект который поможет вам в учёбе.
Чем может быть полезен webkonspect.com:
- простота создания и редактирования конспекта (200 вопросов в 3 клика).
- просмотр конспекта без выхода в интернет.
- удобный текстовый редактор позволит Вам форматировать текст, рисовать таблицы, вставлять математические формулы и фотографии.
- конструирование одного конспекта совместно с другом, одногрупником.
- webkonspect.com — надёжное место для хранения небольших файлов.
Дифференциальные модели в экономике, биологии и медицине
В этом параграфе мы разберем несколько классических моделей, предложенных за последние 200 лет в различных областях науки: экономике, биологии и медицине. Общим при построении этих моделей является использование дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, которые несложно решить, прочитав §59 данного справочника.
п.1. Экономика. Равновесная цена в модели Вальраса
Начальные сведения о модели рыночного равновесия, кривых спроса и предложения – см. §18 справочника для 9 класса.
Рассмотрим поведение рыночной цены при небольшом отклонении от точки равновесия по методу, предложенному Леоном Вальрасом (1874 г.)
Пусть p — цена товара, D(p) — спрос на него, S(p) — предложение.
Пусть спрос и предложение на рынке уравновешены, равновесная цена равна \(p_0\).
Если спрос начнет немного превышать предложение, то цена начнет расти: $$ \frac
=0,\ \ D(p_0)-S(p_0)=0 $$ Разложим каждую из функций с помощью дифференциала (см. §52 данного справочника) с точностью до линейного множителя: \begin
Например:
Пусть \(D(p)=9-\frac
<6>,\ S(p)=\frac
<12>\)
\(\sqrt
Тогда равновесная цена \(9-\frac
Значения производных: \begin
\(p(0)=7:\ p(t)=6+e^<-t>\)
\(p(0)=9:\ p(t)=6+3e^<-t>\)
Все три кривые постепенно сходятся к равновесной цене \(p_0=6\).
Устойчивое схождение к \(p_0\) будет наблюдаться только при условии: $$ D'(p_0)-S'(p_0)\lt 0 $$ Т.е кривая спроса должна быть более крутой в своем спуске, чем кривая предложения на подъеме. Говорят, что эластичность спроса по цене в точке равновесия должна быть выше, чем эластичность предложения по цене.
Если степень при экспоненте будет положительной, \(D'(p_0)-S'(p_0)\gt 0\) решение уходит на бесконечность. Говорят, что такое решение неустойчиво.
Если степень при экспоненте будет равна нулю, \(D'(p_0)-S'(p_0)=0\), цена не будет меняться и останется неравновесной.
п.2. Биология. Логистическое уравнение Ферхюльста для роста популяции
Пусть \(P(t)\) – численность популяции. Построим модель её изменения со временем.
Логично предположить, что прирост потомства в популяции пропорционален количеству особей, из чего получаем:
Закон Мальтуса (1798 г.): $$ \frac |
Решением этого уравнения будет \(P(t)=P_0e^
Закон Ферхюльста (1838 г.): $$ \frac \(K\)- максимальный размер популяции в условиях ограниченных ресурсов. |
Решение уравнения Ферхюльста (логистическая кривая): $$ P(t)=\frac |
Например:
Пусть популяция растет со скоростью \(r=0,1\) тыс/год
Начальное количество особей \(P_0=1\) тыс
Максимальное количество, которое способна прокормить данная территория, \(K=10\) тыс
Модель показывает, что через 70 лет популяция займет всю нишу, и её рост фактически прекратится.
На начальном этапе преобладает r-стратегия: бурное размножение и короткая продолжительность жизни.
Исчерпание ресурсов заставляет переходить на K-стратегию: низкий темп размножения и долгую жизнь.
Экспериментально рост популяции по кривой Ферхюльста был подтвержден в лабораторных условиях для мух-дрозофил. В естественных условиях для животных – и тем более, в рамках социума для людей – закономерность нарушается.
п.3. Медицина. Модель развития эпидемии SIR
Традиционной моделью, описывающей процесс развития эпидемии, является модель SIR (Susceptible/Infected/Recovered), предложенная У. Кермаком и А. Маккендриком в 1927 г.
Вся популяция в модели делится на три группы:
- \(S(t)\)— восприимчивые к инфекции, здоровые на момент времени \(t\);
- \(I(t)\)— уже инфицированные;
- \(R(t)\)— выздоровевшие, больше невосприимчивые к инфекции.
Популяция считается постоянной, т.е. \(N=S(t)+I(t)+R(t)=const\).
Рождаемость и смертность не учитывается.
Получаем следующую систему дифференциальных уравнений: $$ \begin
Начальные условия в момент времени \(t=0\): $$ S(0)=S_0\geq 0,\ \ I(0)=I_0\geq 0,\ \ R(0)=R_0\geq 0 $$ Переход из одной группы в другую можно изобразить линейной схемой:
№ | Переход одного человека из одной группы в другую | Скорость перехода |
1 | $$ (S;I)\rightarrow (S-1;\ I+1) $$ | $$ \beta\frac |
2 | $$ (I;R)\rightarrow (I-1;\ R+1) $$ | $$ \gamma I $$ |
Полученная система уравнений не является линейной и не имеет точного аналитического решения. Но её можно решить с использованием численных методов.
$$ \begin
Например:
Пусть общее количество населения N=10 тыс.чел.
В начальный момент инфицирован 1% населения: $$ S(0)=0,99N,\ \ I(0)=0,01N,\ \ R(0)=0 $$ Параметры: \(\beta=0,128;\ \gamma=0,096\) в расчете на день (эти параметры были рассчитаны по фактическим данным для лихорадки Эбола в Сьерра-Леоне).
Результат моделирования в MATLAB:
Красная кривая – это количество болеющих в данный момент. Как мы видим, к концу года она стремится к 0. Пик приходится на 70-80 дней с начала эпидемии и составляет 413 чел. или 4,13% населения.
Зеленая кривая – количество переболевших, к концу года выходит на асимптоту в 4700 чел. или 47,0% населения.
Синяя кривая – количество так и не заболевших, к концу года спускается на асимптоту в 5300 чел. или 53,0% населения.
Чем больше больных у вас будет в начале эпидемии и чем больше параметр \(\beta\), тем выше будет пик \(I_
Модель SIR – это начальный этап для исследований. На практике для моделирования эпидемий могут использоваться модели с десятками переходов и параметров, с постепенным усложнением по мере накопления данных.
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/differencialnye-modeli-v-ekonomike-biologii-i-medicine/