Примеры дифференциальных уравнений с решениями
- Попробуйте решить приведенные ниже дифференциальные уравнения.
- Нажмите на изображение уравнения, и вы попадете на страницу с подробным решением.
Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка
Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков
Найти общее решение дифференциального уравнения, или решение с заданными начальными условиями.
Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка
Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .
Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность
, .
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 28-01-2016 Изменено: 26-11-2021
Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.
Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.
Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).
Примеры решения дифференциальных уравнений
Задание
Решить дифференциальное уравнение xy’=y.
Решение
В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь
переписываем дифференциальное уравнение, получаем
Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем
Далее интегрируем полученное уравнение:
В данном случае интегралы берём из таблицы:
После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение
Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.
Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:
Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:
Если – это константа, то
0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />
– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:
– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.
Получаем общее решение:
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:
Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:
После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.
Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:
В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.
Далее упрощаем общий интеграл:
Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:
Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.
Решение
Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.
Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:
Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.
Получаем общее решение:
Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:
В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.
Решение
Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:
Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
можно выразить функцию в явном виде.
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Проверка
Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:
Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.
Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение
дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:
Подставим полученное частное решение
и найденную производную в исходное уравнение
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Задание
Найти общий интеграл уравнения
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Ответ
Задание
Найти частное решение ДУ.
Решение
Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию
Подставляем в общее решение
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Левую часть интегрируем по частям:
В интеграле правой части проведем замену:
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных.
Разделяем переменные и интегрируем:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятности
Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»
В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
506.
Применяем признак Даламбера:
Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.
В задачах 521-540 дан степенной ряд
Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.
527.
Имеем степенной ряд .
Первые четыре члена ряда:
Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При ряд примет вид — знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в , получим — расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, — область сходимости исследуемого ряда.
В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
558.
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,
В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде
571.
Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство
Где an и bn определяются по формулам
Коэффициент а0:
Определим коэффициенты аn:
Интегрируя по частям, получаем
Определим коэффициенты bn:
Интегрируя по частям, получаем
Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем
Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»
В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
590.
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или — общее решение данного уравнения.
В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
611.
Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид
Тогда при — решение данного уравнения.
При — уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Обратная подстановка у’=р. Тогда
Используя начальные условия , находим С1:
Далее решаем уравнение :
Теперь определим значение С2:
Тогда — искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
622.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 4r = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = 0, r2 = -4.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-4x, y2 = e0x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Правая часть F(x) =
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
Имеет частное решение y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
Где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 0, Q(x) = 0, α = 0, β = 1.
Следовательно, число α+βi=0+1i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные: ,
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Тогда общее решение данного уравнения
Используем начальные условия
. Тогда
Окончательно,
Ответ:
В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
662.
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем
(1)
Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»
691. На химзаводе расположены 5 складов с продукцией. Вероятность возникновения пожара в каждом из них в течение года равна 0,03. Построить график функции распределения для складов, на которых ежегодно бывают пожары.
Используем формулу Бернулли
Если производится п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно т раз, вычисляется по формуле
где есть число сочетаний из п элементов по т.
По условию задачи возникновения пожара в каждом из складов в течение года равна р=0,03; тогда q=0,97; в данном случае п=5 и. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим
При m=0
При m=1
При m=2
При m=3
При m=4
При m=5
В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.
716.
Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле где
Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).
Подставим сюда числовые значения: n=192, p=0,75, m=150.
Определяем значение х при этих данных:
По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим
Ответ:
В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение — s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=30 и b=40. Подставив эти данные, получим
Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=36 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим
Таким образом,
Подставляя имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 34 до 38 см, составляет 0,383
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле
Тогда М(Х) = 18·0,2+22·0,3+23·0,4+26·0,1=3,6+6,6+9,2+2,6=22
Дисперсию D(X) найдём по формуле
Для вычисления составим следующий закон распределения величины :
Тогда и
Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле
Из этой формулы имеем:
Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»
В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
507.
Применяем признак Даламбера:
Таким образом, так как , то данный ряд сходится по признаку Даламбера.
В задачах 521-540 дан степенной ряд
Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.
528.
Имеем степенной ряд .
Первые четыре члена ряда:
Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При ряд Примет вид — знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в , получим — расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, — область сходимости исследуемого ряда.
В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
559.
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,
В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде
572.
Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство
Где an и bn определяются по формулам
Определим коэффициенты аn:
Определим коэффициенты bn:
Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем
Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»
В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
581.
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (первого) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Тогда
Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или — общее решение данного уравнения.
В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
612.
Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид — уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Обратная подстановка у’=р. Тогда
Используя начальные условия , находим С1:
Далее решаем уравнение :
Теперь определим значение С2:
Тогда — искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
623.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 –r-2 = 0
Корни характеристического уравнения: r1 = -1, r2 = 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e-1x, y2 = e2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Правая часть F(x) =
Поиск частного решения.
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные: ,
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Тогда общее решение данного уравнения
Используем начальные условия
.
Тогда решим систему:
Окончательно,
Ответ:
В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
663.
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем
(1)
Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»
692. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,5. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,06. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,07. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.
В соответствии с Формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:
В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.
Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,5. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,06; Р(А/Н2)=0,07. Полная вероятность попадания в цель Р(А)= 0,5*0,06+0,5*0,07=0,065
Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна
;
Ответ:
В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.
717.
Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле
где
Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).
Подставим сюда числовые значения: n=225, p=0.8, m=165.
Определяем значение х при этих данных:
По таблице находим, что j(2,5)=0,0175. Подставив это значение в получим
Ответ:
В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение — s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где а=М(Х) и . По условию s=5, a=54 и b=70. Подставив эти данные, получим
Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=60 и d=8. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим
Таким образом,
Подставляя имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 52 до 68 см, составляет
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле
Тогда М(Х) = 78·0,2+80·0,3+84·0,1+85·0,4=15,6+24+8,4+34=82.
Дисперсию D(X) найдём по формуле
Для вычисления составим следующий закон распределения величины :
Тогда и
Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле
Из этой формулы имеем:
Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»
В задачах 511-520 исследовать сходимость рядов, пользуясь интегральным признаком сходимости Коши.
516.
Применяем интегральный признак Коши, для этого посчитаем соответствующий несобственный интеграл:
Следовательно, исходный ряд сходится по интегральному признаку Коши.
В задачах 521-540 дан степенной ряд
Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.
537.
Имеем степенной ряд .
Первые четыре члена ряда:
Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При ряд примет вид — знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в , получим — расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, — область сходимости исследуемого ряда.
В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
548.
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции cos(x), будем иметь , тогда ,
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,
В задачах 561-572 разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x), заданную на интервале-периоде
561.
Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство
Где an и bn определяются по формулам
Определим коэффициенты аn:
Определим коэффициенты bn:
Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу , получаем
Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»
В задачах 591-600 Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
600.
Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию У и ее производную У’ в первой степени и не содержит их произведений.
Применяем подстановку У=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Если У=Uv, то Y’=(Uv)’=U’V+Uv’ и данное уравнение примет вид Или (1)
Так как искомая функция У представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию U так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию U так, чтобы имело место равенство (2)
При таком выборе функции U уравнение (1) примет вид (3)
Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно U и Х. Решим это уравнение:
(Чтобы равенство(2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0). Подставив в (3) найденное выражение для U, получим:. Тогда — общее решение данного уравнения.
Используем условие
Окончательно
В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
601.
Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию У. Положим У’=Р, где Р – некоторая функция аргумента Х. Если У’=Р, то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных Р и Х. Решим это уравнение.
Применяем подстановку Р=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Р’=(Uv)’=U’V+Uv’ и данное уравнение примет вид
Подставив в уравнение получим
Тогда . Обратная подстановка
Определим численное значение С При указанных начальных условиях. Имеем . Теперь решаем уравнение первого порядка :
Определим численное значение С2 при указанных начальных условиях. Имеем .
Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
639.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2 + 6r +9= 0
Корни характеристического уравнения: r1 = -3, r2 = -3.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Правая часть F(x) =
Уравнение имеет частное решение вида:
,
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
,
Частное решение имеет вид:
Тогда общее решение данного уравнения
Используем начальные условия
.
Окончательно,
Ответ:
В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
672.
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем
(1)
Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»
681. Автоматическая пожарная сигнализация установлена в помещениях. Вероятность возникновения пожара в каждом из помещений в течение года равна РП=0,05. Сигнализация обнаруживает загорание с вероятностью РС=0,85. Вероятность срабатывания без пожара равна РОШ=0,012. Найти вероятность наличия загорания при условии, что сигнализация сработала.
В соответствии с формулой Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:
В нашей задаче событие А – сигнализация сработала; гипотезы Н1 – возник пожар; Н2 – пожара не было.
Априорные (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,05; Р(Н2)=1-Р(Н1)=1-0,05=0,95. Условные вероятности срабатывания сигнализации при этом даны: Р(А/Н1)=0,85; Р(А/Н2)=0,012. Полная вероятность попадания в цель
Тогда апостериорная (послеопытная) вероятность гипотезы Н1 – возник пожар будет равна
;
Ответ:
705. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 6 новорожденных: а) 4 мальчика; б) не более двух девочек.
Используем формулу Бернулли
Если производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события равна q=1-p, то вероятность того, что при этом событие осуществляется ровно m раз, вычисляется по формуле где есть число сочетаний из n элементов по m.
По условию задачи вероятности рождения мальчика и девочки одинаковы, тогда р=0,5; тогда q=0,5;Подставляя эти данные в формулу Бернулли, получим
Б) не более двух девочек.
Ответ: а) 4 мальчика б) не более двух девочек
В задачах 721-730 дана вероятность Р появления события А в каждом из П независимых испытаний. Пользуясь интегральной теоремой Лапласа, найти вероятность того, что в этих испытаниях событие А появится не менее M1 раз и не более M2 раза.
724.
Так как вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна р=0,4, а число n=600 достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, вычисляется приближенно по формуле
, где
Эта функция является нечетной, т. е. Ф(-х)=-Ф(х). Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу можно записать так:
По таблице находим Ф(1)=0,3413; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения, получим искомую вероятность:
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле
+
Тогда М(Х) = 24·0,2+26·0,2+28·0,5+30·0,1=4,8+5,2+14+3=27
Дисперсию D(X) найдём по формуле
Для вычисления составим следующий закон распределения величины :
Тогда и
Среднее квадратическое отклонение найдём по формуле
Из этой формулы имеем:
Контрольная работа № 5 «Числовые и функциональные ряды»
В задачах 501-510 исследовать сходимость рядов, пользуясь признаком сходимости Даламбера.
510.
Применяем признак Даламбера:
Таким образом, так как , то данный ряд расходится по признаку Даламбера.
В задачах 521-540 дан степенной ряд
Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b и k даны.
521.
Имеем степенной ряд .
Первые четыре члена ряда:
Применяем признак Даламбера:
Как видно, ряд будет сходиться для тех значений х, для которых
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При ряд Примет вид — знакочередующийся; его общий член по абсолютному значению стремиться к нулю при n®¥. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов заключаем, что ряд сходится. Следовательно, значение принадлежит области сходимости данного ряда.
Подставив в , получим — расходится (для этого достаточно сравнить его с гармоническим рядом). Следовательно, значение не принадлежит области сходимости данного ряда. Таким образом, — область сходимости исследуемого ряда.
В задачах 541-560 требуется вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.
552.
Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Используя известное разложение в степенной ряд функции , будем иметь
Тогда ,
Мы получили знакочередующийся ряд, который удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Так как в полученном ряде третий член по абсолютному значению меньше 0,001, то ограничиваемся только первыми двумя членами. Итак,
575. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд синусов.
Так как по условию ряд заданной функции должен содержать только синусы кратных дуг, то продолжим функцию в интервале (-1;0) нечетным образом. В результате будет получена нечетная функция, которая совпадает с заданной на интервале (0;1). Известно, что ряд Фурье для нечетной функции имеет вид где bn определяется по формуле
Определим коэффициенты bn:
Подставляя найденное значение коэффициентов Фурье в формулу , получаем
Контрольная работа № 6 «Дифференциальные уравнения»
В задачах 581-590 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
584.
Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при dx и dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных х и у. Применяем подстановку у=хt, где t – некоторая функция аргумента х.
Если у=хt, то дифференциал dy=d(xt)=tdx+xdt, и данное уравнение примет вид
Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно х и t. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:
Из введенной подстановки следует, что у=хt. Следовательно, или — общее решение данного уравнения.
В задачах 601-620 даны дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
615.
Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента х. Положим у’=р, где р – некоторая функция переменной у. Если у’=р, то . Тогда данное уравнение примет вид — уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
Обратная подстановка у’=р. Тогда
Используя начальные условия , находим С1:
Далее решаем уравнение :
Теперь определим значение С2:
Тогда — искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
В задачах 621-640 даны линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
626.
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: r2–4=0
Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = -2.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Уравнение имеет частное решение вида:
Вычисляем производные: ,
Которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем систему уравнений:
Частное решение имеет вид:
Тогда общее решение данного уравнения
Используем начальные условия
.
Тогда решим систему:
Окончательно,
Ответ:
В задачах 661-680 при указанных начальных условиях найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции y=f(x), являющейся решением заданного дифференциального уравнения.
666.
Положим, что у(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если у(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем
(1)
Свободный член разложения (1), т. е. у(0), дан по условию. Чтобы найти значения y'(0), y’’(0), y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной х и затем вычислить значения производных при х=0.
Значение у’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:
Подставив найденные значения производных при х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения:
или
Контрольная работа № 7 «Вероятность и законы распределения»
695. На территории региона работают 4 атомных станции. Расчетная вероятность возникновения в течение года инцидентов, связанных с пожарами, составляет 0,03; с выходом из строя электрооборудования – 0,05; прорывом трубопроводов – 0,08. Найти вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам.
Вероятность того, что в течение года не будет инцидентов, связанных с пожарами , с выходом из строя электрооборудования ; прорывом трубопроводов .
По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что в течение года не будет инцидентов по этим причинам:
Ответ:
В задачах 711-720 дано, что на заводе рабочий за смену изготовляет n деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта равна р. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет m штук.
720.
Применим локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой искомая вероятность вычисляется приближенно по формуле
где
Так как функция j(х) четная, то j(-х)=j(х).
Подставим сюда числовые значения: .
Определяем значение х при этих данных:
По таблице находим, что j(1)=0,2420. Подставив это значение в получим
Ответ:
В задачах 731-740 дано, что детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина диаметра детали (математическое ожидание) равна а мм, среднее квадратическое отклонение — s мм. Найти: 1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали будет больше a мм и меньше b мм; 2) вероятность того, что диаметр детали отклонится от стандартной длины не более чем на d мм. Значения а, s, a, b, d даны.
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где а=М(Х) и . По условию s=4, a=27 и b=37. Подставив эти данные, получим
Если Х – длина диаметра детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (а-d, а+d), где а=35 и d=2. Подставив в формулу A=а-d и b=а+d, получим
Таким образом,
Подставляя имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 33 до 37 см, составляет
В задачах 741-760 задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений).
Найти: 1) математическое ожидание М(Х); 2) дисперсию D(X); 3) среднее квадратическое отклонение s.
http://nauchniestati.ru/spravka/primery-resheniya-differenczialnyh-uravnenij-s-otvetami/
http://matica.org.ua/primery/primery/differentcialnye-uravneniia-riady-teoriia-veroiatnosti