Дифференциальные уравнения к задачам на движение

Задачи на тему Дифференциальные уравнения движения

Динамика:
Динамика материальной точки
§ 27. Дифференциальные уравнения движения

Задачи с решениями

27.1 Камень падает в шахту без начальной скорости. Звук от удара камня о дно шахты услышан через 6,5 с от момента начала его падения. Скорость звука равна 330 м/с. Найти глубину шахты.
РЕШЕНИЕ

27.2 Тяжелое тело спускается по гладкой плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту. Найти, за какое время тело пройдет путь 9,6 м, если в начальный момент его скорость равнялась 2 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.3 При выстреле из орудия снаряд вылетает с горизонтальной скоростью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велико среднее давление пороховых газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 м? Сколько времени движется снаряд в стволе орудия, если считать давление газов постоянным?
РЕШЕНИЕ

27.4 Тело массы m вследствие полученного толчка прошло по негладкой горизонтальной плоскости за 5 с расстояние s=24,5 м и остановилось. Определить коэффициент трения f.
РЕШЕНИЕ

27.5 За какое время и на каком расстоянии может быть остановлен тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному пути со скоростью 10 м/с, если сопротивление движению, развиваемое при торможении, составляет 0,3 веса вагона.
РЕШЕНИЕ

27.6 Принимая в первом приближении сопротивление откатника постоянным, определить продолжительность отката ствола полевой пушки, если начальная скорость отката равна 10 м/с, а средняя длина отката равна 1 м.
РЕШЕНИЕ

27.7 Тяжелая точка поднимается по негладкой наклонной плоскости, составляющей угол α=30° с горизонтом. В начальный момент скорость точки равнялась v0=15 м/с. Коэффициент трения f=0,1. Какой путь пройдет точка до остановки? За какое время точка пройдет этот путь?
РЕШЕНИЕ

27.8 По прямолинейному железнодорожному пути с углом наклона α=10° вагон катится с постоянной скоростью. Считая сопротивление трения пропорциональным нормальному давлению, определить ускорение вагона и его скорость через 20 с после начала движения, если он начал катиться без начальной скорости по пути с углом наклона β=15°. Определить также, какой путь пройдет вагон за это время.
РЕШЕНИЕ

27.9 Найти наибольшую скорость падения шара массы 10 кг и радиуса r=8 см, принимая, что сопротивление воздуха равно R=kσv2, где v скорость движения, σ площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его движения, и k численный коэффициент, зависящий от формы тела и имеющий для шара значение 0,24 Н*с2/м4.
РЕШЕНИЕ

27.10 Два геометрически равных и однородных шара сделаны из различных материалов. Плотности материала шаров соответственно равны γ1 и γ2. Оба шара падают в воздухе. Считая сопротивление среды пропорциональным квадрату скорости, определить отношение максимальных скоростей шаров.
РЕШЕНИЕ

27.11 При скоростном спуске лыжник массы 90 кг скользил по склону в 45°, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег f=0,1. Сопротивление воздуха движению лыжника пропорционально квадрату скорости лыжника и при скорости в 1 м/с равно 0,635 Н. Какую наибольшую скорость мог развить лыжник? Насколько увеличится максимальная скорость, если подобрав лучшую мазь, лыжник уменьшит коэффициент трения до 0,05?
РЕШЕНИЕ

27.12 Корабль движется, преодолевая сопротивление воды, пропорциональное квадрату скорости и равное 1200 Н при скорости в 1 м/с. Сила упора винтов направлена по скорости движения и изменяется по закону T=12*10^5(1-v/33) Н, где v скорость корабля, выраженная в м/с. Определить наибольшую скорость, которую может развить корабль.
РЕШЕНИЕ

27.13 Самолет летит горизонтально. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,5 Н при скорости в 1 м/с. Сила тяги постоянна, равна 30760 Н и составляет угол в 10° с направлением полета. Определить наибольшую скорость самолета.
РЕШЕНИЕ

27.14 Самолет массы 10^4 кг приземляется на горизонтальное поле на лыжах. Летчик подводит самолет к поверхности без вертикальной скорости и вертикального ускорения в момент приземления. Сила лобового сопротивления пропорциональна квадрату скорости и равна 10 Н при скорости в 1 м/с. Подъемная сила пропорциональна квадрату скорости и равна 30 Н при скорости в 1 м/с. Определить длину и время пробега самолета до остановки, приняв коэффициент трения f=0,1.
РЕШЕНИЕ

27.15 Самолет начинает пикировать без начальной вертикальной скорости. Сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. Найти зависимость между вертикальной скоростью в данный момент, пройденным путем и максимальной скоростью пикирования.
РЕШЕНИЕ

27.16 На какую высоту H и за какое время T поднимется тело веса p, брошенное вертикально вверх со скоростью v0, если сопротивление воздуха может быть выражено формулой k2pv2, где v величина скорости тела?
РЕШЕНИЕ

27.17 Тело массы 2 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью 20 м/с, испытывает сопротивление воздуха, которое при скорости v м/с равно 0,4v Н. Найти, через сколько секунд тело достигнет наивысшего положения.
РЕШЕНИЕ

27.18 Подводная лодка, не имевшая хода, получив небольшую отрицательную плавучесть p, погружается на глубину, двигаясь поступательно. Сопротивление воды при небольшой отрицательной плавучести можно принять пропорциональным первой степени скорости погружения и равным kSv, где k коэффициент пропорциональности, S площадь горизонтальной проекции лодки, v величина скорости погружения. Масса лодки равна M. Определить скорость погружения v, если при t=0 скорость v0=0.
РЕШЕНИЕ

27.19 При условиях предыдущей задачи определить путь z, пройденный погружающейся лодкой за время T.
РЕШЕНИЕ

27.20 Какова должна быть постоянная тяга винта T при горизонтальном полете самолета, чтобы, пролетев s метров, самолет увеличил свою скорость с v0 м/с до v1 м/с. Тяга винта направлена по скорости полета. Сила лобового сопротивления, направленная в сторону, противоположную скорости, пропорциональна квадрату скорости и равна α Н при скорости в 1 м/с. Масса самолета M кг.
РЕШЕНИЕ

27.21 Корабль массы 10^7 кг движется со скоростью 16 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости корабля и равно 3*10^5 Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет корабль, прежде чем скорость его станет равной 4 м/с? За какое время корабль пройдет это расстояние?
РЕШЕНИЕ

27.22 Тело падает в воздухе без начальной скорости. Сопротивление воздуха R=k2pv2, где v величина скорости тела, p вес тела. Какова будет скорость тела по истечении времени t после начала движения? Каково предельное значение скорости?
РЕШЕНИЕ

27.23 Корабль массы 1,5*10^6 кг преодолевает сопротивление воды, равное R=αv2 Н, где v скорость корабля в м/с, а α постоянный коэффициент, равный 1200. Сила упора винтов направлена по скорости в сторону движения и изменяется по закону T=1,2*106(1-v/33) Н. Найти зависимость скорости корабля от времени, если начальная скорость равна v0 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.24 В предыдущей задаче найти зависимость пройденного пути от скорости.
РЕШЕНИЕ

27.25 В задаче 27.23 найти зависимость пути от времени при начальной скорости v0=10 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.26 Вагон массы 9216 кг приходит в движение вследствие действия ветра, дующего вдоль полотна, и движется по горизонтальному пути. Сопротивление движению вагона равно 1/200 его веса. Сила давления ветра P=kSu2, где S площадь задней стенки вагона, подверженной давлению ветра, равная 6 м2, u скорость ветра относительно вагона, a k=1,2. Абсолютная скорость ветра v=12 м/с. Считая начальную скорость вагона равной нулю, определить: 1) наибольшую скорость vmax вагона; 2) время T, которое потребовалось бы для достижения этой скорости; 3) на каком расстоянии x вагон наберет скорость 3 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.27 Найти уравнение движения точки массы m, падающей без начальной скорости на Землю. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости. Коэффициент пропорциональности равен k.
РЕШЕНИЕ

27.28 Буер, весящий вместе с пассажирами Q=1962 H, движется прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности льда вследствие давления ветра на парус, плоскость которого ab образует угол 45° с направлением движения. Абсолютная скорость w ветра перпендикулярна направлению движения. Величина силы давления ветра P выражается формулой Ньютона: P=kSu2 cos2 φ, где φ угол, образуемый относительной скоростью ветра u с перпендикуляром N к плоскости паруса, S=5 м2 площадь паруса, k=0,113 опытный коэффициент. Сила давления P направлена перпендикулярно плоскости ab. Пренебрегая трением, найти: 1) какую наибольшую скорость vmax может получить буер; 2) какой угол α составляет при этой скорости помещенный на мачте флюгер с плоскостью паруса; 3) какой путь x1 должен пройти буер для того, чтобы приобрести скорость v=2/3 w, если его начальная скорость равна нулю.
РЕШЕНИЕ

27.29 Вожатый трамвая, выключая постепенно реостат, увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на 1200 Н в течение каждой секунды. Найти зависимость пройденного пути от времени движения вагона при следующих данных: масса вагона 10000 кг, сопротивление трения постоянно и составляет 0,02 веса вагона, а начальная скорость равна нулю.
РЕШЕНИЕ

27.30 Тело массы 1 кг движется под действием переменной силы F=10(1-t) Н, где время t в секундах. Через сколько секунд тело остановится, если начальная скорость тела v0=20 м/с и сила совпадает по направлению со скоростью тела? Какой путь пройдет тело до остановки?
РЕШЕНИЕ

27.31 Материальная точка массы m совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону F=F0 cos ωt, где F0 и ω постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость x0=v0. Найти уравнение движения точки.
РЕШЕНИЕ

27.32 Частица массы m, несущая заряд электричества e, находится в однородном электрическом поле с переменным напряжением E=A sin kt (А и k заданные постоянные). Определить движение частицы, если известно, что в электрическом поле на частицу действует сила F=eE, направленная в сторону напряжения E. Влиянием силы тяжести пренебречь. Начальное положение частицы принять за начало координат; начальная скорость частицы равна нулю.
РЕШЕНИЕ

27.33 Определить движение тяжелого шарика вдоль воображаемого прямолинейного канала, проходящего через центр Земли, если принять, что сила притяжения внутри земного шара пропорциональна расстоянию движущейся точки от центра Земли и направлена к этому центру; шарик опущен в канал с поверхности Земли без начальной скорости. Указать также скорость шарика при прохождении через центр Земли и время движения до этого центра. Радиус Земли равен R=6,37*10^6 м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли принять равным g=9,8 м/с2.
РЕШЕНИЕ

27.34 Тело падает на Землю с высоты h без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебречь, а силу притяжения Земли считать обратно пропорциональной квадрату расстояния тела от центра Земли. Найти время T, по истечении которого тело достигнет поверхности Земли. Какую скорость v оно приобретет за это время? Радиус Земли равен R; ускорение силы тяжести у поверхности Земли равно g.
РЕШЕНИЕ

27.35 Материальная точка массы m отталкивается от центра силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент пропорциональности mk2). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности 2mk1). В начальный момент точка находилась на расстоянии a от центра, и ее скорость в этот момент равнялась нулю. Найти закон движения точки.
РЕШЕНИЕ

27.36 Точка массы m начинает двигаться без начальной скорости из положения x=β прямолинейно (вдоль оси x) под действием силы притяжения к началу координат, изменяющейся по закону R=α/x2. Найти момент времени, когда точка окажется в положении x1=β/2. Определить скорость точки в этом положении.
РЕШЕНИЕ

27.37 Точка массы m начинает двигаться из состояния покоя из положения x0=a прямолинейно под действием силы притяжения, пропорциональной расстоянию от начала координат: Fx=-c1mx, и силы отталкивания, пропорциональной кубу расстояния: Qx=c2mx3. При каком соотношении c1, c2, a точка достигает начала координат и остановится?
РЕШЕНИЕ

27.38 При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону F=-2v2/(3+s) Н, где v скорость тела в м/с, а s пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v0=5 м/с.
РЕШЕНИЕ

27.39 Морское орудие выбрасывает снаряд массы 18 кг со скоростью v0=700 м/с, действительная траектория снаряда в воздухе изображена на рисунке в двух случаях: 1) когда угол, составляемый осью орудия с горизонтом, равен 45° и 2) когда этот угол равен 75°. Для каждого из указанных двух случаев определить, на сколько километров увеличилась бы высота и дальность полета, если бы снаряд не испытывал сопротивления воздуха.
РЕШЕНИЕ

27.40 Самолет А летит на высоте 4000 м над землей с горизонтальной скоростью 140 м/с. На каком расстоянии x, измеряемом по горизонтальной прямой от данной точки B, должен быть сброшен с самолета без начальной относительной скорости какой-либо груз для того, чтобы он упал в эту точку? Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.41 Самолет A летит над землей на высоте h с горизонтальной скоростью v1. Из орудия B произведен выстрел по самолету в тот момент, когда самолет находится на одной вертикали с орудием. Найти: 1) какому условию должна удовлетворять начальная скорость v0 снаряда для того, чтобы он мог попасть в самолет, и 2) под каким углом α к горизонту должен быть сделан выстрел. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.42 Наибольшая горизонтальная дальность снаряда равна L. Определить его горизонтальную дальность l при угле бросания α=30° и высоту h траектории в этом случае. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.43 При угле бросания α снаряд имеет горизонтальную дальность lα. Определить горизонтальную дальность при угле бросания, равном α/2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.44 Определить угол наклона ствола орудия к горизонту, если цель обнаружена на расстоянии 32 км, а начальная скорость снаряда v0=600 м/с. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.45 Решить предыдущую задачу в том случае, когда цель будет находиться на высоте 200 м над уровнем артиллерийских позиций.
РЕШЕНИЕ

27.46 Из орудия, находящегося в точке O, произвели выстрел под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Одновременно из точки A, находящейся на расстоянии l по горизонтали от точки O, произвели выстрел вертикально вверх. Определить, с какой начальной скоростью v1 надо выпустить второй снаряд, чтобы он столкнулся с первым снарядом, если скорость v0 и точка A лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.47 Найти геометрическое место положений в момент t материальных точек, одновременно брошенных в вертикальной плоскости из одной точки с одной и той же начальной скоростью v0 под всевозможными углами к горизонту.
РЕШЕНИЕ

27.48 Найти геометрическое место фокусов всех параболических траекторий, соответствующих одной и той же начальной скорости v0 и всевозможным углам бросания.
РЕШЕНИЕ

27.49 Тело веса P, брошенное с начальной скоростью v0 под углом α к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и сопротивления R воздуха. Определить наибольшую высоту h тела над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: R=kPv.
РЕШЕНИЕ

27.50 В условиях задачи 27.49 найти уравнения движения точки.
РЕШЕНИЕ

27.51 При условиях задачи 27.49 определить, на каком расстоянии s по горизонтали точка достигнет наивысшего положения.
РЕШЕНИЕ

27.52 В вертикальной трубе, помещенной в центре круглого бассейна и наглухо закрытой сверху, на высоте 1 м сделаны отверстия в боковой поверхности трубы, из которых выбрасываются наклонные струи воды под различными углами φ к горизонту (φ<π/2); начальная скорость струи равна v0=√(4g/(3 cos φ)) м/с, где g ускорение силы тяжести; высота трубы 1 м. Определить наименьший радиус R бассейна, при котором вся выбрасываемая трубой вода падает в бассейн, как бы мала ни была высота его стенки.
РЕШЕНИЕ

27.53 Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна m, притягиваемой к неподвижному центру O силой, прямо пропорциональной расстоянию. Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния равна k2m; в момент t=0: x=a, x =0, y=0, y =0, причем ось Oy направлена по вертикали вниз.
РЕШЕНИЕ

27.54 Точка массы m движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра O, изменяющейся по закону F=k2mr, где r радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в M0(a, 0) и имела скорость v0, направленную параллельно оси y. Определить траекторию точки.
РЕШЕНИЕ

27.55 Упругая нить, закрепленная в точке A, проходит через неподвижное гладкое кольцо O; к свободному концу ее прикреплен шарик M, масса которого равна m. Длина невытянутой нити l=AO; для удлинения нити на 1 м нужно приложить силу, равную k2m. Вытянув нить по прямой AB так, что длина ее увеличилась вдвое, сообщили шарику скорость v0, перпендикулярную прямой AB. Определить траекторию шарика, пренебрегая действием силы тяжести и считая натяжение нити пропорциональным ее удлинению.
РЕШЕНИЕ

27.56 Точка М, масса которой равна m, притягивается к n неподвижным центрам C1, С2, . Сn силами, пропорциональными расстояниям; сила притяжения точки M к центру Сi (i=1, 2, . n) равна kim*MCi Н; точка М и притягивающие центры лежат в плоскости Оху. Определить траекторию точки М, если при t=0: x=х0, y=y0, х =0, у =v0. Действием силы тяжести пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.57 Точка M притягивается к двум центрам C1 и C2 силами, пропорциональными расстояниям: km*MC1 и km*MC2; центр C1 неподвижен и находится в начале координат, центр C2 равномерно движется по оси Ox, так что x2=2(a+bt). Найти траекторию точки M, полагая, что в момент t=0 точка M находится в плоскости xy, координаты ее x=y=a и скорость имеет проекции x = z = b, y = 0.
РЕШЕНИЕ

27.58 Частица массы m, несущая заряд отрицательного электричества e, вступает в однородное электрическое поле напряжения E со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что в электрическом поле на нее действует сила F=eE, направленная в сторону, противоположную напряжению E; действием силы тяжести пренебречь.
РЕШЕНИЕ

27.59 Частица массы m, несущая заряд отрицательного электричества e, вступает в однородное магнитное поле напряжения H со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что на частицу действует сила F=-e(v×H). При решении удобно пользоваться уравнениями движения точки в проекциях на касательную и на главную нормаль к траектории.
РЕШЕНИЕ

27.60 Определить траекторию движения частицы массы m, несущей заряд e электричества, если частица вступила в однородное электрическое поле с переменным напряжением E=A cos kt (A и k заданные постоянные) со скоростью v0, перпендикулярной направлению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебречь. В электрическом поле на частицу действует сила F=-eE.
РЕШЕНИЕ

27.61 По негладкой наклонной плоскости движется тяжелое тело M, постоянно оттягиваемое посредством нити в горизонтальном направлении, параллельно прямой AB. С некоторого момента движение тела становится прямолинейным и равномерным, причем из двух взаимно перпендикулярных составляющих скорости та, которая направлена параллельно AB, равна 12 м/с. Определить вторую составляющую v1 скорости, а также натяжение T нити при следующих данных: уклон плоскости tg α=1/30, коэффициент трения f=0,1, масса тела 30 кг.
РЕШЕНИЕ

27.62 Точка M массы m находится под действием двух сил притяжения, направленных к неподвижным центрам O1 и O2 (см. рисунок). Величина этих сил пропорциональна расстоянию от точек O1 и O2. Коэффициент пропорциональности одинаков и равен c. Движение начинается в точке A0 со скоростью v0, перпендикулярной линии O1O2. Определить, какую траекторию опишет точка M. Найти моменты времени, когда она пересекает направление линии O1O2, и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Расстояние от точки A0 до оси y равно 2a.
РЕШЕНИЕ

27.63 На точку A массы m, которая начинает движение из положения r=r0 (где r радиус-вектор точки) со скоростью v0, перпендикулярной r0, действует сила притяжения, направленная к центру O и пропорциональная расстоянию от него. Коэффициент пропорциональности равен mc1. Кроме того, на точку действует постоянная сила mcr0. Найти уравнение движения и траекторию точки. Каково должно быть отношение c1/c, чтобы траектория движения проходила через центр O? С какой скоростью точка пройдет центр О?
РЕШЕНИЕ

27.64 Тяжелая точка массы m падает из положения, определяемого координатами x0=0, y0=h при t=0, под действием силы тяжести (параллельной оси y) и силы отталкивания от оси y, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэффициент пропорциональности c). Проекции начальной скорости точки на оси координат равны vx=v0, vy=0. Определить траекторию точки, а также момент времени t1 пересечения оси x.
РЕШЕНИЕ

27.65 Точка M массы m движется под действием силы тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиуса r. В начальный момент угол φ0=π/2, а скорость точки равнялась нулю. Определить скорость точки M и реакцию поверхности цилиндра при угле φ=30°.
РЕШЕНИЕ

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в теоретической механике

Содержание:

Дифференциальные уравнения движения материальной точки:

Используя основной закон динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить дифференциальные уравнения движения и несвободной точки так же, как и для свободной, только ко всем приложенным к точке силам надо добавить силы реакций связей.

Силы реакций связей при движении точки могут зависеть в общем случае не только от вида наложенных на точку связей и приложенных к ней сил, но и от характера ее движения, например от ее скорости при движении в воздухе или в какой-либо другой сопротивляющейся среде. В дальнейшем не будем делать различия между свободной и несвободной материальными точками. Обозначая равнодействующую всех заданных сил и сил реакций связей

Из кинематики точки известно, что ускорение выражается через радиус-вектор (рис. 3):

Дифференциальное уравнение движения материальной точки в векторной форме имеет вид

Если спроецировать обе части уравнений (7) или (8) на координатные оси, то можно получить дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси.

В декартовой системе координат в общем случае

Проекции ускорения на координатные оси можно выразить через вторые производные по времени от координат движущейся точки:

Рис. 3

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат имеют вид

Частные случаи дифференциального уравнения движения материальной точки

Если известно, что материальная точка движется в одной и той же плоскости, то, принимая ее за координатную плоскость , имеем

Так как , то, следовательно, . В случае движения точки по прямой линии, направив по ней координатную ось , получим одно дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки

Так как при движении , то, следовательно, . Для естественных подвижных осей координат (рис. 4), проецируя обе части (7) на эти оси, получаем:

где и — соответственно проекции ускорения и равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль к траектории в рассматриваемом положении движущейся точки. Учитывая, что

где — радиус кривизны траектории, дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси имеют вид

Второе уравнение из (12) можно преобразовать:

где — угловая скорость вращения касательной к траектории движущейся точки и, следовательно, — угол смежности между касательными в двух бесконечно близких точках.

Дифференциальные уравнения (12) можно представить в виде

Рис. 4

Эта форма дифференциальных уравнений движения точки удобна при исследовании некоторых случаев полета снарядов и ракет, особенно по траектории, лежащей в плоскости. Тогда будет углом между касательной к траектории и любой осью, лежащей в плоскости траектории.

Дифференциальные уравнения движения точки можно представить в любой другой системе координат. Для этого надо знать выражения проекций ускорения на эти оси координат.

Дифференциальные уравнения относительного движения точки

Кориолисовыми силами инерции называют две векторные величины, имеющие размерность силы и добавляемые к силам, приложенным к материальной частице, для определения ее относительного ускорения

Все дифференциальные уравнения движения, с которыми мы ознакомились в этой главе, относятся к абсолютному движению, т. е. к движению по отношению к инерциальной системе отсчета. Для написания дифференциальных уравнений движения точки (или частицы) относительно подвижных осей подставим в основное уравнение динамики (123) вместо абсолютного ускорения точки его выражение (110):

(153)

имеющую размерность силы, равную произведению массы материальной частицы на ее переносное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют переносной силой инерции Кориолиса.

(154)

равную произведению массы материальной частицы на ее кориолисово ускорение и направленную противоположно этому ускорению, называют поворотной силой инерции Кориолиса.

(155 / )

или в проекциях на оси координат:

(155)

Таким образом, относительное движение материальной точки можно описать такими же (по форме) дифференциальными уравнениями, как и абсолютное, но к действующим на точку силам нужно прибавить две кориолисовы силы инерции: переносную и поворотную.

Эти величины следует отличать от даламберовых сил инерции (см. гл. XX), введение которых позволяет решать задачи динамики методом статики.

Пример решения задачи №1

Определить амплитуду вынужденных колебаний в относительном движении вибрографа для записи вертикальных колебаний фундамента (рис. 171), совершающего вместе с фундаментом колебания по закону χ = a sin pt, если вес груза равен G и жесткость пружины с.

Рис. 171

Решение. Рама жестко соединена с фундаментом и участвует в его колебаниях, как и вращающийся барабан В, на котором груз G, перемещаясь вверх и вниз, записывает колебания фундамента. Вертикальные перемещения х’ груза G по отношению к раме являются относительными и по отношению к барабану, если пренебречь его вращением. Уравнение этих относительных перемещений можно составить как уравнение абсолютного движения, если к заданным силам добавить переносную кориолисову силу, равную и противоположную произведению вектора переносного ускорения на массу груза. Переносная сила инерции груза равна

Напишем дифференциальное уравнение относительных колебаний груза, сократив на m:

x’ + k 2 χ’ = ар 2 sin pt.

где Пренебрегая свободными колебаниями груза, напишем уравнение (149′) установившегося вынужденного колебания груза:

Амплитуда этих колебаний тем менее отличается от амплитуды колебаний фундамента, чем меньше собственная частота k прибора сравнительно с частотой р, т. е. чем меньше жесткость пружины и чем больше масса груза.

Ответ.

Пример решения задачи №2

Ползун G (рис. 172) может скользить по хорде AB равномерно вращающегося горизонтального диска, к точкам А и В которой он прикреплен двумя одинаковыми пружинами жесткостью каждая. Принимая ползун за точку массы т и пренебрегая трением, определить зависимость периода τ его колебаний в относительном движении по хорде от угловой скорости ω диска.

Рис. 172

Решение. Построим оси подвижной системы координат с началом в точке О (в положении относительного равновесия ползуна), направив Ox’ но хорде.

Определим силы, действующие на ползун. Если ползун отклонится от равновесного положения О на величину х’, то одна из пружин сожмется, а другая растянется. Согласно закону Гука сила каждой из пружин пропорциональна деформации х’ и направлена к точке О. Следовательно, на ползун действует активная сила

Кроме активной силы, надо учесть действие кориолисовых сил: Φ_e—переносной и Φ_c-поворотной.
Переносная сила инерции равна произведению массы т ползуна на его переносное ускорение: и направлена против переносного ускорения, т. е. от центра C диска. Чтобы определить проекцию этой силы на Ox’, надо ее модуль умножить на направляющий косинус, который при OG = х’ равен .

Поворотная сила Кориолиса равна произведению массы ползуна иа кориолисово ускорение 2ωx’ и направлена против этого ускорения. Таким образом, чтобы определить направление поворотной силы Кориолиса, надо вектор относительной скорости повернуть на 90° против переносного вращения. Находим, что поворотная сила инерции действует перпендикулярно AB и проекция ее на Ox’ равна нулю.

При найденных значениях активных сил и кориолисовых сил дифференциальное уравнение относительного движения ползуна по хорде имеет вид:

mх’ = — cx’ + mω 2 x’= — (с—mω 2 )x’.

Это уравнение выражает гармоническое колебание с периодом

Ответ. и не зависит от положения хорды.

Пример решения задачи №3

Составить дифференциальное уравнение относительного движения ползуна, описанного в предыдущей задаче, считая, что при его движении вдоль хорды AB возникает трение, пропорциональное нормальному давлению на хорду.

Решение. Нормальное давление обусловлено поворотной силой инерции и нормальной составляющей переносной силы инерции.

Поворотная сила ползуна Φ_с=2mωx’ переменна по величине и направлению. Она направлена перпендикулярно к хорде AB, но в сторону положительных значений у’, если точка G движется в сторону отрицательных значений х’, т. е, если х’ 2 h. Эта составляющая в рассматриваемом механизме всегда направлена в сторону положительных у’, а потому в суммарном давлении обе кориолисовы силы складываются при х’ 0, и дифференциальное уравнение относительного движения точки имеет вид

mх’ =— (с—mω 2 ) x’ — fm (2ωx’ ± ω2h),

причем знак второго слагаемого в скобках надо брать положительным при х’ 0. Решение такого уравнения при движении точки G влево и вправо получается, конечно, различным. Если Л — 0 и хорда является диаметром, то вместо кулонова трения получается вязкое демпфирование, зависящее от скорости.

• Две основные задачи динамики точки
• Прямолинейное движение точки
• Криволинейное движение материальной точки
• Движение несвободной материальной точки
• Сложное движение точки
• Сложение движение твердого тела
• Кинематика сплошной среды
• Аксиомы классической механики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Техническая механика

Динамика

Принцип независимости действия сил

Принцип независимости действия сил формулируется так: при одновременном действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение равно векторной сумме ускорений, которые эта точка получила бы от действия каждой силы в отдельности .

Пусть к материальной точке А приложены силы F₁ и F₂ равнодействующая которых равна F на основании аксиомы параллелограмма запишем:

Разделив обе части равенства на массу точки m , получим:

Применяя последовательно аксиому параллелограмма, можно показать, что при одновременном действии на материальную точку нескольких сил ее ускорение будет таким, как если бы действовала одна равнодействующая сила F = ΣF_i .

Пользуясь изложенным выше принципом независимости действия сил, выведем уравнение движения материальной точки в дифференциальной форме.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Пусть материальная точка А массой m движется в плоскости чертежа под действием равнодействующей силы F = ΣF_i с ускорением а , тогда:

Спроецируем это векторной равенство на две взаимно-перпендикулярные оси координат x и y (оси и вектор силы F лежат в одной плоскости) и получим уравнение плоского движения материальной точки в координатной форме:

Применяя теорему о проекции ускорения на координатную ось, эти уравнения можно записать в виде дифференциальных уравнений плоского движения точки:

ΣX = m(d 2 x/dt 2 ) ; ΣY = m(d 2 y/dt 2 ) ,

где ΣX и ΣY – алгебраические суммы проекций сил, действующих на точку, на соответствующие координатные оси; x и y – текущие координаты точки.

С помощью полученных дифференциальных зависимостей решаются две основные задачи динамики :

• по заданному движению точки определяют действующие на нее силы;
• зная действующие на точку силы, определяют ее движение.

В тех случаях, когда при решении задач имеем дело с несвободной материальной точкой, необходимо применять принцип освобождаемости, т. е. отбросить связи и заменить их реакциями, учитывая последние в уравнении движения наравне с действующими на точку активными силами.

Пример решения первой задачи динамики

Задача: движение тела массой m = 0,5 кг выражается уравнениями:

x = 2t ; y = 3 + t – 5t 2 ,

где x и y (в сантиметрах) – координаты точки в момент времени t (в секундах) .

Определить силу, действующую на тело.

Решение.
Данный пример относится к первой задаче динамики. Прежде всего, пользуясь теоремой о проекции ускорения на координатную ось, определим проекции ускорения на оси x и y :

a_x = d 2 x/dt 2 = 0 ; a_y = d 2 y/dt 2 = — 10 см/с 2 = — 0,1 м/с 2 .

Подставив эти значения в уравнение движения материальной точки, получим:

X = ma_x = 0,5×0 = 0 Н ; Y = ma_y = 0,5×(- 0,1) = — 0,05 Н .

По полученным значениям проекций силы на координатные оси можно сделать вывод, что она параллельна оси ординат, направлена в сторону отрицательных ординат и по модулю равна:

F = √(X 2 + Y 2 ) = |Y| = 0,05 Н.

Пример решения второй задачи динамики

Задача: на материальную точку массой m = 4 кг , лежащую на гладкой горизонтальной плоскости, действует горизонтальная сила F = 12 Н .
С какой скоростью будет двигаться материальная точка через время t = 10 с , если до приложения силы точка находилась в состоянии покоя?

Решение.
Данный пример относится ко второй задаче динамики.
Так как данная материальная точка лежит на гладкой горизонтальной плоскости, то под действием горизонтальной постоянной силы F точка будет двигаться прямолинейно равноускоренно. Направив координатную ось x вдоль траектории движения точки (вдоль вектора силы F) , запишем уравнение ее движения:

Спроецировав на ось x действующие на точку силы, и подставив в это уравнение значение массы m , определим ускорение точки:

a = ΣX/m = F/m = 12/4 = 3 м/с 2 .

Применим формулу скорости равноускоренного движения и подставим в нее значения, получим:

v = v₀ + at = at = 3×10 = 30 м/с.