Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов

Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Курганский государственный университет

Кафедра математического анализа

Курсовая работа по дифференциальным уравнениям

(методические рекомендации для студентов)

Курган, 2012г.

Составитель: кандидат педагогических наук, доцент А.Е. Мухин.

При составлении рекомендаций использованы источники:

1. Курсовые работы. Математика. – М.: Учпедгиз, 1963.

2. Проекты (работы) дипломные и курсовые. Руководящий материал по правилам оформления. – Курган, 1997.

3. Сборник тем курсовых работ по математике (математический анализ, методология и история математики). – М.: Просвещение, 1985.

4. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. – М.: Просвещение, 1988.

I.

Курсовая работа – самостоятельная работа студента, основной целью и содержанием которой является развитие навыков выполнения научных исследований теоретического, экспериментального или практического характера, всестороннего анализа какого-либо вопроса в области дифференциальных уравнений.

Курсовая работа направлена на расширение и углубление знаний студентов по дифференциальным уравнениям.

Курсовая работа должна включать в себя:

— список использованных источников;

— приложение (при необходимости).

Оформление титульного листа курсовой работы имеется на кафедре математического анализа.

Основную часть курсовой работы обычно разбивают на разделы, подразделы, пункты и подпункты.

Разделы имеют порядковую нумерацию в пределах всей основной части (используются арабские цифры с точкой). Подразделы имеют порядковую нумерацию в пределах каждого раздела. Пункты нумеруются по порядку в пределах подраздела, а подпункты – в пределах пункта. Например:

1. Первый раздел.

1.1. Первый подраздел первого раздела

1.1.1. Первый пункт первого подраздела первого раздела

1.1.1.1. Первый подпункт первого пункта первого подраздела первого раздела

Формулы в тексте нумеруются либо во всей основной части, либо в каждом разделе основной части. Номер формулы указывается в круглых скобках справа от формулы. Например:

Ссылки на источники оформляются с указанием номера источника по списку. Например: см. [4], с. 38.

Рисунки, чертежи нумеруются либо по всей основной части, либо – по ее разделам. Например: Рис. 1; Рис. 1.1.

Цифровой материал оформляют в виде таблиц. Таблицы могут иметь заголовки. Таблицы нумеруются над правым верхним углом либо по всей основной части, либо по ее разделам. Например: Таблица 1; Таблица 2.1.

Справочный или дополнительный материал выносится в приложения. Приложения нумеруются. У них могут быть заголовки. В основной части на приложения указываются ссылки.

Требования к оформлению списка использованных источников имеются на кафедре математического анализа или в библиографическом отделе библиотеки.

Во введении указывают цель выполнения работы, задачи реализации цели.

В заключении указывают основные выводы: достигнута ли цель работы, решены ли поставленные задачи, что сделано самостоятельно, отмечаются перспективы дальнейшей работы над темой.

Работа над курсовой начинается с выбора темы (руководителя). Руководитель работы дает задание ознакомления с литературой по теме; затем совместно с руководителем составляется план работы: какие основные вопросы должны быть рассмотрены в работе, какие теоретические аспекты должны быть отражены в работе, какие практические задачи должны быть решены в работе.

После написания чернового варианта работы и решения задач, предложенных руководителем, студент сдает работу на проверку. Если руководитель работы считает, что материала достаточно и все поставленные задачи решены, оформляется чистовой вариант с соблюдением всех требований к оформлению курсовых работ, студент допускается к защите.

На защите студент излагает основные положения теории рассматриваемого вопроса, показывает решение задач по изученному материалу, отвечает на вопросы членов комиссии и студентов, присутствующих на защите.

После обсуждения работы и выступления на защите студенту выставляется оценка за выполненную курсовую работу, что фиксируется протоколом защиты курсовой работы.

II.

Примерная тематика и содержание курсовых работ по дифференциальным уравнениям

Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов

Цель работы – дать понятие о математической модели реального процесса и показать на примерах использование дифференциальных уравнений в качестве математических моделей.

В курсовой работе должны быть раскрыты следующие вопросы:

1. Понятие о математической модели процесса.

2. Основные требования, предъявляемые к математической модели.

3. Понятие о дифференциальном уравнении и задаче Коши (начальной задаче).

4. Мировоззренческое значение единообразия дифференциальных уравнений, описывающих различные процессы.

5. Использование дифференциальных уравнений в качестве математических моделей реальных процессов. Примеры.

1. Жаутыков О.А. Математика и научно-технический прогресс. – Алма-Ата, 1978, с. 9-16, 131-140.

2. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. – М., 1979, с. 12-29, 176-187, 194-197.

3. Тростников В.Н. Дифференциальные уравнения в современной науке. – М., 1966, с. 3-38.

4. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. – М., 1980, с. 9-23.

5. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. – М., 1980, с. 7-16.

6. Сойер У. Путь в современную математику. – М., 1972, с. 133-158.

7. Избранные вопросы математики: Х кл. Факультативный курс /Под ред. В.В. Фирсова. – М., 1980, с. 5-59.

8. Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Дифференциальные уравнения и их значение в естествознании. – МШ, 1978, № 6, с. 42-50.

9. Земляков А.Н. Дифференциальные уравнения как математические модели физических процессов. – МШ, 1979, № 1, с. 55-62.

Дифференциальные уравнения и математическое моделирование

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

научный руководитель канд. физ.-мат. наук, проф.

Лесосибирский педагогический институт – филиал ФГАОУ «Сибирский федеральный университет»

Для изучения объектов или процессов, протекающих в окружающем нас мире, широко используются методы математического моделирования. Математические модели являются мощным средством познания окружающего мира. При этом следует заметить, что построенная математическая модель не может отразить все многообразные и сложные черты изучаемого явления. При моделировании что-то является главным, а что-то – второстепенным, чем можно пренебречь.

Изучение большого круга задач естествознания, техники и механики, биологии, медицины и других отраслей научных знаний показывает, что решение многих из них сводится к математическому моделированию процессов в виде формулы, т. е. в виде функциональной зависимости.

Так, например, некоторые процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамика биологических популяций, движение космических объектов, модели экономического развития исследуются с помощью уравнений, в которых кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержатся производные неизвестных функций (или их дифференциалы). Такие уравнения называются дифференциальными.

Вот почему возможности применения дифференциальных уравнений для решения задач по дисциплинам естественно – научного цикла довольно широки. Обыкновенные дифференциальные уравнения моделируют явления и процессы, которые описываются одной функцией или вектор-функцией одного переменного.

В математическое исследование любой задачи реального мира можно выделить три основных этапа:

1. построение математической модели явления;

2. изучение этой математической модели и получение решения соответствующей математической задачи;

3. приложение полученных результатов к практическому вопросу, из разрешения которого возникла данная математическая модель, и отыскание других вопросов, к которым она применима.

В таблице представлены основные области наук, в которых какое-либо явление или процесс можно записать в виде дифференциального уравнения.

Характеристика составления математической модели

Пример математической модели

1. Установить величины, изменяющиеся в данном явлении, и выявить физические законы, связывающие их.

2. Выбрать независимую переменную и функцию этой искомой переменной.

3. Исходя из условий задачи, определить начальные или краевые условия.

4. Выразить все фигурирующие в условии задачи величины через независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции.

5. Исходя из условий задачи и физического закона, которому подчиняется данное явление, составить дифференциальное уравнение.

6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

7. По начальным или краевым условиям найти частное решение.

8. Исследовать полученное решение.

А) Первый закон Ньютона:

Б) Уравнение показательного роста и показательного убывания:

где – некоторая константа.

В) Уравнение гармонического колебания:

где – положительная постоянная.

где – радиус Земли, – расстояние между центрами метеороида и Земли, – ускорение свободного падения.

1. Сделать чертёж и ввести обозначения;

2. Отделить условия. Имеющие место в произвольной точке искомой линии, от условий, выполняющихся лишь в отдельных точках;

3. Выразить все упомянутые в задаче величины через координаты произвольной точки и через значение производной в этой точке, учитывая геометрический смысл производной;

4. По условию задачи составить дифференциальное уравнение;

5. Найти общее решение этого уравнения и получить из него с помощью начальных условий уравнение искомой линии.

Формула зеркала, собирающего все параллельные лучи в одну точку:

При создании математической модели используют физические закономерности, выявленные при экспериментальном изучении объекта моделирования. Так, например, математическая модель кровообращения основано на законах гидродинамики.

Модель хищник – жертва:

где – положительные константы, – число хищников, – число жертв.

Сущность химических реакций сводится к разрыву связей в исходных веществах и возникновению новых связей в продуктах реакции. При этом общее число атомов каждого элемента до и после реакции остаётся постоянным.

Закон действующих масс:

где – концентрации веществ

– коэффициент пропорциональности.

Базовая математическая модель в области финансов формулируется в терминах стохастических процессов, приводящих, таким образом, к стохастическим дифференциальным уравнениям. Время и недостоверность являются главными элементами моделирования финансового поведения экономических агентов.

Модель фондового (биржевого) ценообразования:

где и – постоянные коэффициенты, связанные с характеристиками модели.

Компартментальное моделирование распространено в медицине и биологии. Согласно определению американского фармаколога и биохимика Шеппарда компартмент — это некоторое количество вещества, выделяемое в биологической системе и обладающее свойством единства, поэтому в процессах транспорта и химических преобразований его можно рассматривать как целое. Например, в качестве особых компартментов рассматривают весь кислород в легких, всю углекислоту в венозной крови, количество введенного препарата в межклеточной жидкости, запас гликогена в печени и т. п. Модели, в которых исследуемая система представляется в виде совокупности компартментов, потоков вещества между ними, а также источников и стоков всех веществ, называются компартментальными.

Модель роста опухоли:

где – концентрация опухолевых клеток, – внеклеточная матрица (например, IV тип коллагена).

В заключение отметим, что математическая модель является основой математически оформленной теории того или иного явления, а аппарат дифференциальных уравнений нашел большое применение в математическом моделировании.
Результативность математического моделирования подтверждена всей человеческой практикой, это сильное средство научного исследования, которое используют в каждой конкретной области науки.

Читать курсовая по математике: «Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов» Страница 1

Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов Введение Понятия, созданные современной математикой, часто кажутся весьма далекими от реального мира. Но именно с их помощью людям удалось проникнуть в тайны строения атомного ядра, рассчитать движение космических кораблей, создать весь тот мир техники, на котором основано современное производство. Одним из основных методов познания природы является опыт, эксперимент. С помощью экспериментов были установлены многие законы природы (закон сохранения вещества и энергии, периодическая система элементов Д.И. Менделеева и т.д.). Однако не всегда целесообразно проводить эксперимент. За последнее столетие в самых различных областях науки и техники все большую роль стал играть метод математического моделирования.

Чтобы изучить какое-нибудь явление природы или работу машины, предварительно изучают всевозможные связи между величинами, их характеризующими. Затем полученные связи выражают математически и приходят к системе уравнений. Решая эти уравнения или системы уравнений, ученые и инженеры делают выводы о том, как в дальнейшем будет развиваться это явление или как будет работать машина, что надо сделать, чтобы получить требуемые результаты.

При этом уравнения и системы уравнений бывают алгебраическими и дифференциальными. Чтобы получить уравнения, допускающие решения, приходиться упрощать задачу, отбрасывая некоторые величины как несущественные. Но чем точнее нужен результат, тем больше величин приходиться учитывать, тем сложнее получается математическая модель.

Математические модели, которые строили в XIX веке, были сравнительно простыми. Но возрастающие требования к точности ответа, развитие техники, познание разнообразных явлений привели к построению все более сложных математических моделей.

Целью данной курсовой работы является изучение математических моделей, построенных на основе различных процессов, таких как модель рекламной компании — это модель экономического процесса и моделей физических процессов: истечение жидкости из сосудов (водяные часы), кривая погони, невесомость и прогиб балок.

Все эти модели построены помощью теории дифференциальных уравнений. Это говорит о том, что дифференциальные уравнения выступают как мощное средство моделирования. Развитие теории дифференциальных уравнений позволяло и позволяет двигаться научному прогрессу вперед, а использование в процессе моделирования ЭВМ делает модели еще более сложными, полными и гибкими.

1. Теоретические основы математического моделирования.1 Определения математических моделей

математический дифференциальный уравнение

Никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Несмотря на это, определения полезны тем, что в них делается попытка выделить наиболее существенные черты.

Определение модели по А.А. Ляпунову: Моделирование — это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель):

1) находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым