Дифференциальные уравнения лекции с задачами

Лекции по теме «Дифференциальные уравнения» Е.Н.01 Математика.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Департамент образования и науки Приморского края

Краевое государственное автономное

профессиональное образовательное учреждение

«Региональный технический колледж»

Учебная дисциплина Е.Н.01 МАТЕМАТИКА

Преподаватель высшей квалификационной категории учебной дисциплины

Лекции изложены в доступном пониманию виде и могут быть использованы студентами при самостоятельной подготовке к занятиям.

Изложение теоретического материала по теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, что позволит подготовиться к выполнению практической работы. В конце лекции представлены вопросы, необходимые для самоподготовки и темы для самостоятельного изучения.

Пособие поможет обучающимся освоить тему «Дифференцированные уравнения» курса высшей математики, подготовиться к сдаче зачётов и экзаменов.

Лекции по теме «Дифференцированные уравнения» рекомендованные для всех специальностей в образовательных учреждениях среднего профессионального образования.

Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.

2.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этих функций. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

х+ уу’=0 – обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка.

— 4 xy = — обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.

О: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у=(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.

О: Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка у’= f ( x ;у) в области D называется функция у=(х,С), обладающая следующими свойствами:

1)она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;

2)для любого начального условия у(х ₀ ) = у ₀ такого, что (х ₀ ;у ₀ ) , существует единственное значение С=С ₀ , при котором решение у=(х,С ₀ ) удовлетворяет заданному начальному условию.

О: Всякое решение у=(х,С ₀ ), получающееся из общего решения у=(х,С) при конкретном значении С=С ₀ , называется частным решением.

О: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения у’ = f ( x ; y ), удовлетворяющих начальному условию у(х ₀ ) = у ₀ , называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у=(х) данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению (х;С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию у(х ₀ ) = у ₀ , — кривая этого семейства, проходящая через точку (х ₀ ;у ₀ ).

2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными

О: Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделяющими переменными.

Если f ₂ ( x ) ≠ 0 и ₁ ( y ) ≠ 0, то его можно представить в виде

В результате почленного интегрирования получаем

Пример 1. Решить уравнение у’ = .

Решение. f ₂ ( x ) = x , ₁ ( y ) = у, = , ydx = xdy . Разделяя переменные, получаем = . Интегрируя, = + С ₁ |, С ₁ 0 или = + С ₁ .

Потенцируя, находим | у| = | С ₁ | |х |, что эквивалентно уравнению у = С ₁ х. Полагая С ₁ = С, окончательно получаем у = Сх.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

(1 + е 2х ) у 2 dy = е х dx и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0.

Решение. Разделим переменные: у 2 dy = . Почленно интегрируя,

Получим : у 3 = arctg е х + С, или у 3 = 3 arctg е х + C , или у = — общее решение дифференциального уравнения.

Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 0: 0 = + С или С = — . Частное решение имеет вид: у 3 = 3 arctg е х — ,

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

х + у у ‘ = 0 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2.

Решение. Разделяя переменные и обозначая у’ = , получим

y = — x ydy = — xdx.

Почленно интегрируя, будем иметь = — + С или х 2 + у 2 = С — общее решение дифференциального уравнения. Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 2 : 0 + 4 = С С = 4. Частное решение имеет вид х 2 + у 2 = 4.

Замечание. Геометрической интерпретацией общего решения данного уравнения является семейство концентрических окружностей х 2 + у 2 = С

С центром в начале координат. Частное решение представляет собой конкретную окружность х 2 + у 2 = 4, проходящую через точку с координатами (0;2).

3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.

О: Дифференциальное уравнение вида у’ + Р(х) у = Q ( x ) называется линейным. Если Q ( x ) 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q ( x ) = 0, то – линейным однородным.

Общее решение линейного однородного уравнения у’ + Р(х) у = 0 легко получается разделением переменных

= — P (x) y = — P (x) y = — dx + = — y = C .

Пример 1. Найти общее решение уравнения у’ + 3у = е 2х .

Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь р(х) = 3; f (х) = е 2х . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение у’ + 3у = 0. Разделяя переменные = — 3 dx и интегрируя, находим

= — 3х + или у = С ₁ е -3х = С е -3х .

Общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в том же виде у = С(х) е -3х , только произвольную постоянную будем считать уже функцией от х. Здесь применен метод вариации постоянной. Дифференцируя, имеем у’ = С’ (х) е -3х – 3С(х) е -3х . Подставляя в данное уравнение выражения для у и у’, получаем

С’ (х) е -3х = е 2х , С’ (х) = е 5х или dC = е 5х d х, откуда С(х) = е 5х + С ₂ , где С ₂ – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид у = С(х) е -3х = ( е 5х + С ₂ ) е -3х или у = е 2х + С ₂ е -3х .

Найдем теперь общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим у = uv . Тогда будем иметь y ‘ = u ‘ v + uv ‘.

Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим

u ‘ v + uv ‘ + 3 uv = е 2х или u ‘ v + u ( v ‘ + 3 v ) = е 2х . ()

Теперь потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы v ‘ + 3 v = 0, откуда = — dx ; = — x ; = e — x ; v = e -3 x .

Подставляя найденное значение v в (), найдем u ‘ e -3 x = e 2 x ; du = e 5 x dx ;

u = е 5х + С. Но у = uv , поэтому у = е -3х ( е 5х + С ) или у = е 2х + С е -3х .

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

ху’ + 2у = и частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Подставляя у и у’ в исходное уравнение, будем иметь

x v u’ + x u v’ + 2u v = ; u ( x v’ + 2v ) + x v u’ = .

Решим оставшееся уравнение:

x v u’ = xv = x = = 1 du = dx u = x + C.

Общее решение уравнения имеет вид y = u v = .

Найдем частное решение: 1 = С = 6 у = .

4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.

некоторые постоянные действительные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Теорема. Если у ₁ (х) и у ₂ (х) — два линейно независимых частных решения уравнения ₀ у» + ₁ у’ + ₂ у = 0, то у = С ₁ у ₁ + С ₂ у ₂ есть общее решение этого уравнения (С ₁ и С ₂ — произвольные постоянные ).

Теорема. Частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ₀ у» + ₁ у’ + ₂ у = 0

может быть найдено в виде у = е kx .

Доказательство. После нахождения у’ = k e kx , y » = k 2 e kx и подстановки в уравнение, получим ₀ k 2 e kx + ₁ k e kx + ₂ e kx = 0 e kx ( ₀ k 2 + ₁ k + ₂ ) = 0.

Поскольку е kx 0, то ₀ k 2 + ₁ k + ₂ = 0.

Это квадратное уравнение определит те значения k , при которых у = е kx

будет решением дифференциального уравнения. Оно называется характеристическим уравнением.

Случай 1. Корни k ₁ и k ₂ квадратного уравнения действительны и различны ( k ₁ k ₂ ) ( D 0). Получим два частных линейно независимых решения у ₁ = ; у ₂ = . Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения будет иметь вид: у = С ₁ + С ₂ .

Пример 3. Найти общее решение уравнения у» – 3у’ +2у’ =0.

Решение. Составляем характеристическое уравнение, заменяя у» на k 2 , у’ на k , а у на 1. Получаем k 2 — 3 k + 2 = 0; k ₁ = 1; k ₂ = 2 y = C ₁ e x + C ₂ e 2 x .

Случай 2. Корни k ₁ и k ₂ квадратного уравнения действительны и одинаковы ( k ₁ = k ₂ = k = — ( D = 0).

В этом случае общее решение имеет вид:

у = C ₁ e kx + C ₂ х e kx = ( C ₁ + C ₂ x ) e kx .

Пример 4. Найти общее решение уравнения у» – 2у’ + 1 = 0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k 2 – 2 k + 1 =0. Корни уравнения k ₁ = k ₂ = 1 действительные и равные.

Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения

у ₁ = е х , у ₂ = х е х ; = const . Общее решение уравнения имеет вид

у = С ₁ е х + С ₂ х е х = е х ( С ₁ + С ₂ х ).

Пример 5. Найти общее решение уравнения у» – 4у’ + 13 =0.

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

k 2 – 4 k + 13 = 0. Корни уравнения k ₁ = 2 + 3 i , k ₂ = 2 – 3 i — комплексные.

Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения у ₁ = е 2х cos 3 x , y ₂ = = е 2х sin 3 x . Общее решение уравнения имеет вид

у = е 2х ( С ₁ cos 3 x + C ₂ sin 3 x ).

Методические рекомендации для преподавателей математики и студентов средних специальных учебных заведений по теме «Дифференциальные уравнения»

Разделы: Математика

I. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и её производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция , которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

Решением этого уравнения является функция y = 5 ln x. Действительно, , подставляя y’ в уравнение, получим – тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция – решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение, получим: , – тождество.

А это и значит, что функция – есть решение этого дифференциального уравнения.

Интегрированием дифференциальных уравнений называется процесс нахождения решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция вида ,в которую входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находится при определённых начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

1.Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения, получим

Замечание. Произвольную постоянную С, полученную в результате интегрирования, можно представлять в любой форме, удобной для дальнейших преобразований. В данном случае, с учётом канонического уравнения окружности произвольную постоянную С удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального уравнения.

Частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 4 при x = 3 находится из общего подстановкой начальных условий в общее решение: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x 2 +y 2 = 5 2 .

Это есть частное решение дифференциального уравнения, полученное из общего решения при заданных начальных условиях.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решением этого уравнения является всякая функция вида , где С – произвольная постоянная. Действительно, подставляя в уравнения , получим: , .

Следовательно, данное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как при различных значениях постоянной С равенство определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой можно убедиться, что функции являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(x,y) удовлетворяющее начальному условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y), удовлетворяющее начальному условию, y(x₀) = y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой геометрический смысл. Действительно, согласно данным определениям, решить задачу Коши y’ = f(x,y) при условии y(x₀) = y₀,, означает найти интегральную кривую уравнения y’ = f(x,y) которая проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) = 0.

В дифференциальное уравнение первого порядка входит первая производная и не входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция вида , которая содержит одну произвольную постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является функция .

Действительно, заменив в данном уравнении, его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция является общим решением уравнения при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(1)=1 Подставляя начальные условия x = 1, y =1 в общее решение уравнения , получим откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из общего подставив в это уравнение, полученное значение C = 0 – частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через дифференциалы , где f(x) и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых , уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению, в котором переменная y присутствует лишь в левой части, а переменная x- лишь в правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y разделим переменные».

Уравнение вида называется уравнением с разделёнными переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения по x, получим G(y) = F(x) + C– общее решение уравнения, где G(y) и F(x) – некоторые первообразные соответственно функций и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Производную функции переписать через её дифференциалы
Разделить переменные.
Проинтегрировать обе части равенства, найти общее решение.
Если заданы начальные условия, найти частное решение.

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’ заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Найти частное решение уравнения

Это—уравнение с разделенными переменными. Представим его в дифференциалах. Для этого перепишем данное уравнение в виде Отсюда

Интегрируя обе части последнего равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1, y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл будет или

Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, получим:

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Используя начальные условия, x = 2 и y = — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’ = f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то линейное дифференциальное уравнение называется однородным и имеет вид: y’ = f(x)y

Если то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой: где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением является y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения вида y’ = kx + b,

где k и b— некоторые числа и частным решением будет являться постоянная функция . Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’ = -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно, где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, где u и v — неизвестные функции от x. Этот метод решения называется методом Бернулли.

Алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ = u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение: u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ + f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы u вынести за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти функцию

Это уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда . .

6. Подставить полученное значение v в уравнение (из п.4):

и найти функцию Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: , т.е. .

Найти частное решение уравнения y’ = -2y +3 = 0 если y =1 при x = 0

Решение. Решим его с помощью подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’ в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое левой части уравнения, вынесем общий множитель u за скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и, решив полученное уравнение, найдем функцию v = v(x)

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части этого уравнения: Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение Получим:

Это уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения: Найдем функцию u = u(x,c) Найдем общее решение: Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение, содержащее производные не выше второго порядка. В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y») = 0

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция вида , в которую входят две произвольные постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется решение, полученное из общего при некоторых значениях произвольных постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида y» + py’ +qy = 0, где pи q— постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое уравнение, обозначив y» через r 2 , y’ через r, yчерез 1: r 2 + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант D = p 2 -4q и найти корни характеристического уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде , где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно, характеристическое уравнение имеет равные действительные корни . Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде