Дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы

Дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы

Глава 21. Малые колебания механических систем.

21.1. Колебания систем с одной степенью свободы.

21.1.1. Малые колебания механической системы описываются дифферен­циальным уравнением q + (4π) 2 q = 0, где q — обобщенная координа­та, м. Начальное смещение системы q₀ = 0,02 м, начальная скорость q_o = 2 м/с. Определить амплитуду колебаний. (Ответ 0,160)

21.1.2. Определить период свободных колебаний механической системы, если дифференциальное уравнение колебаний этой системы имеет вид 56q + 825q = 0, где q — обобщенная координата. (Ответ 1,64)

21.1.3. Зубчатый венец 1 массой 40 кг может по­вернуться относительно центра 2, сжимая пружины. В положении равновесия пружины не деформированы. Определить собственную частоту малых колебаний венца. Радиус инер­ции венца 0,24 м, коэффициент жесткости одной пружины 5 • 10 5 Н/м, радиус r = 0,2 м. (Ответ 29,7)

21.1.4. Определить собственную частоту в рад/с малых колебаний однородного жесткого стержня длиной l, если его масса равна 3 кг, коэффициент жесткости пружины 400 Н/м. Стержень движется в горизонтальной плоскос­ти. (Ответ 10)

21.1.5. Квадратная однородная недеформируемая пластина массой 10 кг может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг шарнира О. Определить собственную частоту малых коле­баний пластины, если пружины одинаковы и коэффициент жесткости каждой равен 1 кН/м. (Ответ 2,76)

21.1.6. Определить собственную частоту малых колебаний квадратной однородной недеформируемой пластины. Масса пластины 10 кг, коэффициент жесткости пружины равен 1 кН/м. (Ответ 1,95)

21.1.7. На конце торсионной рессоры 1 с коэф­фициентом угловой жесткости с_φ = 40000 Н • м/рад установлен диск 2 с моментом инер­ции I_z = 25 кг • м 2 относительно оси O_z. Диск совершает угловые колебания вокруг оси O_z. Определить угловую собственную частоту ко­лебаний. (Ответ 40)

21.1.8. Определить период свободных колебаний системы трех одинаковых зубчатых колес, если момент инерции каждого из них относительно его оси вращения равен 0,04 кг • м , а коэффициент угловой жесткости спиральной пружины 10Н • м/рад. (Ответ 0,688)

21.1.9. Определить период свободных колебаний зубчатой пары, если зубчатые колеса одинако­вы, масса каждою равна 5 кг, радиус инерции относительно оси вращения 6 см, а коэффи­циент угловой жесткости спиральной пружи­ны 1Н • м/рад. (Ответ 1,19)

21.1.10. Определить угловую частоту малых сво­бодных колебаний однородного недеформируемого диска, если его масса m = 2 кг, а коэффициенты жесткости пружин c₁ = 900 Н/м, с₂ = 700 Н/м. (Ответ 40)

21.1.11. Однородный цилиндр массой 2 кг может катиться по горизонтальной плоскости. В по­ложении статического равновесия пружина натянута силой 150Н. Определить собствен­ную частоту в рад/с малых колебаний цилинд­ра, если размер l = 0,5 м. (Ответ 10)

21.1.12. Определить момент инерции твердого тела относительно его оси вращения, если собствен­ная частота малых колебаний тела равна 4Гц, расстояние l = 2 м, коэффициент жесткости пружины с = 80 кН/м. (Ответ 507)

21.1.13. Однородный стержень длиной 0.4 м мас­сой 1,2 кг, на конце которого закреплена материальная точка массой 0,8 кг, может вра­щаться о горизонтальной плоскости. Опреде­лить коэффициент угловой жесткости спираль­ной пружины, если собственная частота колебаний этой системы равна 20Гц. (Ответ 3,0.1 • 10 3 )

21.1.14. Кинетическая энергия консервативной ме­ханической системы Т = 60q 2 , где q — обоб­щенная координата, рад. При каком значении коэффициента угловой жесткости спиральной пружины собственная угловая частота коле­баний системы будет равна 10 рад/с?
(Ответ 1,2 • 10 4 )

21.1.15. Свободные колебания жесткого стержня описываются нелинейным дифференциальным уравнением q + 300sinq — 230 sinq/(5-4cosq) 0,5 = 0, где q — обобщенная координата. Опреде­лить собственную частоту стержня в случае ма­лых колебаний.
(Ответ 1,33)

21.1.16. Консервативная механическая система со­вершает малые свободные колебания с часто­той 2Гц. Определить амплитуду колебаний ползуна 1, если в начальный момент система находилась в положении статического равнове­сия, а скорость ползуна 1 была равна v₀ = 0,2 м/с. (Ответ 0,0159)

Теоретическая механика. Малые колебания

Дифференциальное уравнение малых вынужденных колебаний с вязким сопротивлением в общем виде выглядит так

Приводим его к каноническому виду.

— частота собственных колебаний

— амплитуда вынуждающего воздействия.

Решение данного дифференциального уравнения выглядит как сумма общего и частного решений.

Частное решение всегда выглядит одинаково. В общем виде:

— амплитуда вынужденных колебаний

— сдвиг фаз – отставание по фазе установившихся вынужденных колебаний от вынуждающей причины.

В зависимости от условий задачи возможны частные случаи.

При отсутствии вязкого сопротивления (n=0)

Если при этом собственная частота колебаний совпадает с частотой возбуждающей причины (k=p), возникает явление резонанса и амплитуда D стремится к бесконечности.

При наличии сопротивления, но равенстве n=k, резонанс невозможен.

Если по условию задачи возбуждение отсутствует (рассматриваются свободные колебания), т.е. h=0, p=0, то частное решение ДУ нулевое.

Теперь займемся общим решением.

Общее решение дифференциального уравнения зависит от соотношения k и n.

При k>n имеем случай малого сопротивления.

Для этого случая решение однородного уравнения запишем в виде:

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий

Тогда окончательное решение дифференциального уравнения

При k=n имеем случай критического сопротивления.

Для этого случая решение однородного уравнения запишем в виде:

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий

Тогда окончательное решение дифференциального уравнения

При k

Постоянные интегрирования определяем из начальных условий

Тогда окончательное решение дифференциального уравнения