Дифференциальные уравнения математической физики в электротехнике

Дифференциальные уравнения математической физики в электротехнике. Аполлонский С.М.

Учебное пособие соответствует требованиям государственных образовательных стандартов ВПО по направлениям подготовки дипломированных специалистов: 650900 (специальность 140601.65 «Электроэнергетика»), 654500 (специальности: 140601.65 «Электромеханика», 140602.65 «Электрические и электронные аппараты»); 654100 (специальность 210106 «Промышленная электроника») и направлениям подготовки бакалавров: 140200.62, 140600.62, 210100.62 Книга предназначена для студентов всех специальностей 140211/100400, 140601/180100, 140602/180200, 210106/200400, изучающих дисциплину «Высшая математика», раздел «Уравнения математической физики», а также рекомендуется студентам других специальностей, изучающих курс математической физики, инженерам и аспирантам. Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 140400 — «Техническая физика» и 220100 — «Системный анализ и управление»

Оглавление
Предисловие 5
Введение 6
Часть I. Методы математической физики и их использование при решении технических задач 7
Глава 1. Виды полей и их математическое описание 9
1.1. Виды полей и их характеристики 9
1.2. Скалярные поля 11
1.3. Векторные поля 13
1.4. Криволинейные координаты 15
1.5. Основные операторы, используемые при анализе поля 19
1.6. Основные теоремы, используемые при преобразовании векторов 25
1.6.1. Теорема Остроградского-Гаусса 25
1.6.2. Теорема Стокса 25
1.6.3. Теорема Грина 26
1.7. Типовые дифференциальные уравнения, описывающие поля 27
1.7.1. Дифференциальные уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными 27
1.7.2. Дифференциальные уравнения второго порядка со многими независимыми переменными 34
1.7.3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами 36
Контрольные вопросы к главе 1 37
Библиографический список к главе 1 37
Глава 2. Краевые задачи математической физики 42
2.1. Постановка краевых задач математической физики 42
2.1.1. Основные по’нятия 42
2.1.2. Характеристики квазилинейных уравнений второго порядка 43
2.1.3. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка 50
2.1.4. Граничные (краевые) и начальные условия 51
2.1.5. Единственность решения краевых задач 55
2.2. Виды граничных условий 56
2.2.1. Задачи с начальными условиями 56
2.2.2. Начально-краевые задачи 56
2.2.3. Краевые задачи 57
2.3. О корректности постановки задач математической физики 57
2.4. Методы решения дифференциальных уравнений 59
2.4.1. Общие сведения 59
2.4.2. Метод разделения переменных 61
2.5. Теоремы сложения 63
2.6. Специальные функции, используемые при решении дифференциальных уравнений математической физики 65
Контрольные вопросы к главе 2 65
Библиографический список к главе 2 , 65
Глава 3. Дифференциальные уравнения гиперболического типа 68
3.1. Простейшие задачи, моделируемые уравнениями гиперболического типа 68
3.1.1. Уравнения малых колебаний струны 68
3.1.2. Электрические колебания в проводах 71
3.1.3. Уравнения гидродинамики 72
3.1.4. Уравнения акустики 74
3.2. Граничные и начальные условия 76
3.3. Редукция общей задачи 81
3.4. Постановка краевых задач для случая многих переменных 82
3.5. О единственности решения краевых задач, описываемых гиперболическими уравнениями 83
3.6. Метод разделения переменных при решении задач гиперболического типа 86
Контрольные вопросы к главе 3 90
Библиографический список к главе 3 91
Глава 4. Дифференциальные уравнения параболического типа 94
4.1. Простейшие задачи по теплопроводности, приводящие к уравнению параболического типа 94
4.1.1. Линейная задача о распространении тепла 94
4.1.2. Уравнение диффузии 98
4.2. Граничные и начальные условия 99
4.3. Принцип максимального значения 109
4.4. Единственность решения краевых задач, описываемых параболическими уравнениями 107
4.5. Метод разделения переменных 108
4.6. Примеры решения задач, сводящихся к параболическим ПО
4.6.1. Теплопроводность в ограниченном стержне ПО
Контрольные вопросы к главе 4 111
Библиографический список к главе 4 112
Глава 5. Дифференциальные уравнения эллиптического типа 114
5.1. Общий вид уравнений эллиптического типа 114
5.2. Основные граничные задачи 115
5.3. Простейшие задачи, моделируемые уравнениями Лапласа 117
5.3.1. Уравнение Лапласа 117
5.3.2. Стационарное тепловое поле 117
5.3.3. Потенциальное течение несжимаемой жидкости 119
5.3.4. Потенциал стационарного и электростатического поля ;..120
5.3.5. Потенциал магнитостатического поля 121
5.4. Решение задач, описываемых уравнениями Лапласа 122
5.4.1. Методы решений уравнения Лапласа 122
5.4.2. Решение уравнения Лапласа методом разделения переменных 123
5.4.3. Единственность решения граничных задач, описываемых уравнениями Лапласа 127
5.5. Простейшие задачи, моделируемые уравнениями Гельмгольца 131
5.5.1. Задачи, приводящие к уравнению Гельмгольца 131
5.5.2. Связь уравнения Гельмгольца с уравнениями гиперболического и параболического типов 134
5.5.3. Постановка внутренних краевых задач для уравнения Гельмгольца 136
5.5.4. Постановка внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца 137
5.5.5. Методы решения уравнений Гельмгольца 140
Контрольные вопросы к главе 5 142
Библиографический список к главе 5 142
Часть II. Методы математической физики в задачах электротехники 145
Глава 6. Электрические цепи с распределенными параметрами 146
6.1. Установившиеся процессы в цепях с распределенными параметрами 146
6.1.1. Уравнения однородной линии 146
6.1.2. Решение уравнений однородной линии при установившемся синусоидальном режиме 148
6.2. Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами 151
6.2.1. Общее решение уравнений однородной неискажающей линии 151
6.2.2. Волны в неискажающей линии 153
6.2.3. О происхождении и характере волн в линиях 155
6.2.4. Преломление и отражение волн в месте сопряжения двух однородных линий 156
6.2.5. Отражение волн от конца линии 159
6.2.6. Процесс включения однородной линии 163
6.2.7. Прохождение волн при наличии реактивного сопротивления в месте сопряжения однородных линий 165
6.2.8. Прохождение волн при наличии активного сопротивления в месте однородных линий 168
Контрольные вопросы к главе 6 170
Библиографический список к главе 6 171
Глава 7. Математическая модель электромагнитного поля 174
7.1. Векторы электромагнитного поля 174
7.2. Аналитическая связь между электрическими и магнитными явлениями 175
7.2.1. Законы полного тока и Фарадея 175
7.2.2. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме 176
7.2.3. Теорема Гаусса и постулат Максвелла в дифференциальной форме 179
7.3. Принцип непрерывности магнитного потока и тока 182
7.4. Теоремы Остроградского и Стокса 182
7.5. Полная система уравнений Максвелла 183
7.6. Преобразование уравнений Максвелла 184
7.7. Потенциалы ЭМП 185
7.7.1. Векторный и скалярный потенциалы ЭМП 185
7.7.2. Электрический и магнитный потенциалы Герца 186
7.8. Электромагнитное поле в низкочастнтном приближении 187
7.9. Уравнения математической физики, описывающие ЭМП 188
Контрольные вопросы к главе 7 188
Библиографический список к главе 7 189
Глава 8. Частные модели электромагнитного поля 191
8.1. Модели статических электромагнитных полей 191
8.1.1. Общие виды статических моделей и полей 191
8.1.2. Электростатическое поле 192
8.1.3. Магнитостатическое поле 193
8.2. Модели магнитного поля стационарных токов 193
8.2.1. Расчет поля с помощью векторного потенциала 193
8.2.2. Примеры использования векторного потенциала 194
8.3. Модели квазистатических электромагнитных полей 198
8.4. Модель нестационарных электромагнитных полей 199
Контрольные вопросы к главе 8 199
Библиографический список к главе 8 199
Глава 9. Методы расчета статических и квазистатических электромагнитных полей 201
9.1. Метод разделения переменных 201
9.2. Метод конформных отображений 205
Контрольные вопросы к главе 9 213
Библиографический список к главе 9 213
Глава 10. Методы расчета переходных процессов в электромагнитном поле 214
10.1. О расчете переходных процессов в электромагнитном поле 214
10.2. Установление магнитного потока в пластине 215
10.3. Установление тока в проводе круглого сечения 219
10.4. Экранирование импульсного магнитного поля круговой цилиндрической оболочкой 223
Контрольные вопросы к главе 10 229
Библиографической список к главе 10 230
Глава 11. Распространение электромагнитного поля 231
11.1. Уравнения Максвелла в символической форме записи 231
11.2. Уравнения Максвелла в проводящей среде 232
11.3. Плоская электромагнитная волна в проводящей среде 233
11.4. Теорема Умова-Пойнтинга 235
11.4.1. Общие сведения об энергии электромагнитного поля 235
11.4.2. Теорема Умова-Пойнтинга для мгновенных значений 237
11.4.3. Передача энергии от генератора к приемнику по коаксиальному кабелю 238
11.5. Теорема Умова-Пойнтинга в комплексной форме 242
Контрольные вопросы к главе 11 243
Библиографический список к главе 11 243
Глава 12. Расчет электромагнитных полей в анизотропных средах.. 244
12.1. Электромеханические материалы с анизотропными свойствами 244
12.2. Стационарные электрические и магнитные поля 245
12.2.1. Расчеты электрических полей 246
Примеры расчета электрических полей 251
12.2.2. Расчеты магнитных полей 255
12.3. Квазистатические электрические и магнитные поля 257
12.4. Волновые процессы в средах со структурной анизотропией 259
12.5. Расчет анизотропных экранов 260
12.5.1. Сферические экраны 260
12.5.2. Круговые цилиндрические экраны 264
12.5.3. Плоские экраны 270
Контрольные вопросы к главе 12 272
Библиографический список к главе 12 273
Глава 13. Электромагнитные поля в перемещающихся средах 274
13.1. Электромагнитное поле в движущейся среде 274
13.1.1. Особенности уравнений электромагнитного поля в движущейся среде 274
13.1.2. Уравнения электромагнитного поля в движущейся проводящей среде 274
13.1.3. Уравнения электромагнитного поля в движущейся диэлектрической среде 275
13.2. Электромагнитное поле во вращающихся преобразователях 276
13.2.1. Особенности транспортных вращающихся преобразователей 276
13.2.2. Физические основы электромеханического преобразования энергии 277
13.3. Магнитогидродинамические преобразователи 285
13.3.1. Основы магнитной гидродинамики 285
13.3.2. Магнитогидродинамический генератор 288
13.3.3. Магнитогидродинамический двигатель 288
13.4. Расчет электромагнитных полей в перемещающихся средах 289
13.4.1. Движение заряженных частиц в скрещенных полях 289
13.4.2. Движение сплошных проводящих сред в электромагнитном поле 293
13.4.3. Магнитное поле линейного цилиндрического индуктора 295
Контрольные вопросы к главе 13 300
Библиографический список к главе 13 301
Глава 14. Электромагнитное поле в электротехнических устройствах 302
14.1. Поверхностный эффект в электротехнических устройствах 302
14.1.1. Явление поверхностного эффекта 302
14.1.2. Поверхностный электрический эффект в прямоугольной шине 303
14.1.3. Поверхностный электрический эффект в круговом цилиндрическом проводнике 304
14.1.4. Поверхностный магнитный эффект в плоском ферромагнитном листе 307
14.2. Эффект близости для двух параллельных токопроводящих шин 309
14.3. Распространения электромагнитного поля в коаксиальном кабеле 311
Контрольные вопросы к главе 14 315
Библиографический список к главе 14 315
Глава 15. Специальные функции в уравнениях математической физики 316
15.1. Функции Лежандра 316
15.1.1. Дифференциальное уравнение Лежандра 316
15.1.2. Функции Лежандра 1-го рода 317
15.1.3. Функции Лежандра 2-го рода 317
15.2. Цилиндрические функции 318
15.2.1. Уравнение цилиндрических функций 318
15.2.2. Функции Бесселя 1-го и 2-го рода 320
15.2.3. Различные типы цилиндрических функций 324
15.3. Обобщенные функции 328
15.3.1. Общие сведения 328
15.3.2. Дельта-функция Дирака 332
Библиографический список к главе 15 333
Приложения 334
Приложение 1. Наиболее употребительные системы координат 334
Приложение 2. Элементы векторной алгебры 334
Скалярные произведения векторов 335
Векторные произведения векторов 335
Приложение 3. Дифференциальные операторы векторного анализа 336
Приложение 4. Дифференциальные операторы в ортогональных
криволинейных координатах : 337
Приложение 5. Принятые в литературе единицы измерения 337
Приложение 6. Сводка применений дифференциального оператора набла(У) 339
Приложение 7. Уравнения Максвелла в обобщенных ортогональных координатах 340
Список принятых обозначений и сокращений 341
Принятые обозначения 341
Принятые сокращения 341
Общий список литературы 343

Предисловие
Опыт преподавания математических курсов в инженерных вузах показывает, что наибольший эффект в усвоении математических методов и развитии навыков их применения достигается, если изучение соответствующих разделов математики сопровождается решением прикладных задач, относящихся к области интересов будущего специалиста. Такой подход к формированию математического образования полезен и тем, что он усиливает взаимосвязь между математическими и инженерными дисциплинами.
К числу математических дисциплин, изучение которых наиболее полно может быть увязано с прикладными задачами той или иной инженерной специальности, относится математическая физика — третья часть общего курса «Высшая математика», читаемого студентам инженерных специальностей университетов. Изучать его следует после освоения первых двух частей этого курса — «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».
Математическая физика изучает математические модели физических явлений. Основными объектами математической физики являются дифференциальные уравнения с частными производными, Интегро-дифференциальные и интегральные уравнения с краевыми (начальными или начальными и граничными) условиями для них.
В книге рассмотрены методы математической физики, связанные с изучением электротехнических дисциплин. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.
Предлагаемая книга не претендует на всеобъемлющий охват методов математической физики. В ней рассмотрены лишь методы решения тех задач математической физики, которые сводятся к задачам для дифференциальных уравнений с частными производными и совместно с соответствующими краевыми условиями образуют математические модели рассматриваемых физических процессов. Использованы традиционные материалы, излагаемые в аналогичных курсах: виды дифференциальных уравнений математической физики (гиперболические, параболические, эллиптические); постановка краевых задач математической физики; условия существования и единственности их решения. В книгу не входят методы решения интегральных, интегро-дифференциальных уравнений и вариационные методы.
Предполагается, что читателю известны предыдущие разделы втузовского курса высшей математики: дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и многих переменных, векторный анализ, дифференциальные уравнения, ряды, элементы теории аналитических функций комплексного переменного. При подготовке книги использовались как известные фундаментальные учебники и книги, ссылки на которые приведены в каждой главе, так и публикации автора.
Пособие содержит материал, излагаемый в лекциях для специальностей 140211/100400, 140601/180100, 140602/180200, 210106/200400 в Северо-Западном государственном заочном техническом университете. Книга может оказаться полезной и для студентов других специальностей, изучающих курс математической физики.

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «

Дифференциальное исчисление в электротехнике Текст научной статьи по специальности « Прочие технологии»

Аннотация научной статьи по прочим технологиям, автор научной работы — Варнакова Д.В., Хамзин А.А., Шувалова Л.Е.

Рассматриваются некоторые задачи по общей электротехнике и ТОЭ.

Похожие темы научных работ по прочим технологиям , автор научной работы — Варнакова Д.В., Хамзин А.А., Шувалова Л.Е.

Текст научной работы на тему «Дифференциальное исчисление в электротехнике»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №06/2017 ISSN 2410-6070

Д.В. Варнакова А.А. Хамзин

студенты 2 курса факультета Управление и Автомизация

Л.Е. Шувалова старший преподаватель НХТИ (филиал) ФГБОУ ВО «КНИТУ», г. Нижнекамск, РФ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Рассматриваются некоторые задачи по общей электротехнике и ТОЭ.

Электрическая схема, сила тока, напряжение, сопротивление, система МаШСа^

Как известно [1], многие переходные процессы, возникающие при любых изменениях режима электрической цепи, описываются дифференциальными уравнениями.

Классические методы решения с применением различных математических понятий, приводят к множеству вычислений, которые занимают большое количество времени.

В настоящее время существуют и развиваются различные математические пакеты, позволяющие эффективно решать типовые инженерные задачи, связанные с расчетами.

В нашей статье, наряду с аналитическими методами разбираются приближенные методы с численной реализацией в математическом пакете МаШСАБ, который сильно упрощает процесс вычисления.

Рассмотрим группу задач, приводящих к решению дифференциальных уравнений.

Задача 1. В цепи с сопротивлением Я=150 Ом и индуктивностью Ь=30 Гн поддерживается напряжение Е=3000 В. За какое время с момента замыкания цепи возникающий в ней ток < достигнет 99% своей предельной величины?

Рассмотрим аналитический метод решения.

Используя Второй закон Кирхгофа, составим дифференциальное уравнение первого порядка:

Разделяя переменные и интегрируя, получим выражение:

г = -Ь. 1п|Е — я ■ /I+с

Учитывая начальное условие /(0) = 0 , вычислим постоянную С:

Таким образом, закон процесса выражается зависимостью:

Тогда ток i достигает 99% своей предельной величины:

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №06/2017 ISSN 2410-6070

Ниже приведем скрипт решения данной задачи в пакете MathCAD [2] методом Рунге-Кутта:

Из таблицы видно, что результат совпадает с точным решением.

Задача 2. Конденсатор емкостью С=6 мкФ включается в цепь с напряжением Е=20 В и сопротивлением Я=10 Ом. Определить заряд д конденсатора в момент времени 1 после включения.

Заряд в конденсаторе изменяется по закону I =-

Применяя закон Ома, составляем дифференциальное уравнение:

Решение уравнения имеет вид ц = Е-С — С1е кС Так как в начальный момент времени конденсатор не заряжен ц(0) = 0 ^огда С = Е-С рЯД

ц = Е’ С’ (1 — е ) конденсатора вычисляется по формуле » 4 ‘ .

Ниже показано, как можно решить эту задачу, воспользовавшись функцией гкйхе^

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №06/2017 ISSN 2410-6070_

По графикам видно, что точное и приближенное решения совпадают.

Рассмотрим еще одну задачу, сформулированную в учебном пособии [3].

Задача 3. Колебательный контур (см. рис.1), представляющий собой замкнутую цепь, обладает емкостью C=3 мкФ, самоиндукцией L=2 мГн и активным сопротивлением R=30 Ом. При переходе энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки (и обратно) часть энергии контура затрачивается на активных сопротивлениях, в результате чего величина напряжения на конденсаторе постепенно уменьшается. Найти закон изменения заряда конденсатора q.

Рисунок 1 — Колебательный контур

По Второму закону Кирхгофа имеем ис = и Ь + ия. Напряжение на обкладках конденсатора равно

и с = ^Г. Напряжение на катушке равно = Ь ‘ . Напряжение на резисторе — ия =/’ Я . Так как

^ , уравнение для определения заряда будет иметь вид:

В начальный момент времени заряд максимален, ток равен нулю:

Приведем решение поставленной задачи в системе МаШСАБ:

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №06/2017 ISSN 2410-6070_

Как видно из рисунка, при достаточно большом шаге в методе Рунге-Кутта накапливается большая погрешность. Если уменьшить шаг, то найденное решение будет более точным. Список использованной литературы:

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — М.:Гардарики, 2002 — 638 с.

2. Дьяконов В.П. Д93 Mathcad 2001: учебный курс. — Питер, 2001. — 624 с.

3. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений: Учеб. пособие под ред. Ю.С. Богданова.: Издательство «Высшая Школа», Минск, 1973. — 560 с.

© Варнакова Д.В., Хамзин А.А., Шувалова Л.Е., 2017

магистр РГАУ — МСХА имени К.А. Тимирязева

г. Москва, РФ E-mail: dya4encko.anast@yandex.ru

АНАЛИЗ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА КЕФИРА Аннотация

В настоящее время проблема безопасности продуктов питания носит глобальный характер. Безопасность пищевых продуктов является важным фактором для предупреждения заболеваний. Контроль безопасности кефира производится в соответствии с методами контроля, установленными нормативными документами на методы контроля.

Контроль, показатели, регламент, токсичные элементы.

Содержание в кисломолочных продуктах токсичных элементов, пестицидов, радионуклидов, микроорганизмов, не должны превышать норм, установленных федеральным законодательством^-4]. На рисунке 1 представлена классификация показателей безопасности.

Рисунок 1 — Показатели безопасности кефира

В связи с тем, что в настоящее время существуют три документа по безопасности пищевых продуктов, необходимо провести анализ по токсикологическим показателям безопасности и микробиологическим показателям безопасности кефира между следующими нормативными документами:

1. Санитарно-эпидемиологические правила и нормативы СанПиН 2.3.2.1078-01 «Гигиенические требования безопасности и пищевой ценности пищевых продуктов»;

Основные типы уравнений математической физики

Основные типы уравнений

К основным уравнениям математической физики относятся следующие дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.

1. Волновое уравнение:

.

Это уравнение является простейшим уравнением гиперболического типа. К его исследованию приводит изучение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводах и т. д.

2. Уравнение теплопроводности, или уравнение Фурье:

.

Это уравнение является простейшим уравнением параболического типа. К его исследованию приводит рассмотрение процессов распространения тепла, фильтрации жидкости и газа в пористой среде, изучение некоторых вопросов теории вероятностей и т. д.

3. Уравнение Лапласа:

.

Это уравнение относится к простейшим уравнениям эллиптического типа. К его исследованию приводит изучение задач об электрических и магнитных полях, о стационарном тепловом состоянии, задач гидродинамики и т. д.

В выписанных уравнениях искомая функция u зависит от двух переменных t, x или x, y. Рассматриваются также уравнения и для функций с большим числом переменных. Например, волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид

,

и уравнение Лапласа

.

Уравнение колебаний струны.

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0≤x≤l оси Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

.

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

Это – граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией φ(x), т. е.

.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши

для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу – о колебаниях бесконечной струны. Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

при начальных условиях

, ,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

интегралами которых служат прямые

Введем новые переменные ξ=x – at, η=x + at и запишем волновое уравнение для переменных ξ и η.

, ,

,

,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

.

Интегрируя полученное равенство по η при фиксированном ξ, придем к равенству . Интегрируя это равенство по ξ при фиксированном η, получим

,

где φ и ψ являются функциями только переменных ξ и η соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

. (8)

Найдем функции φ и ψ так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

.

,

.

Интегрируя последнее равенство, получим:

,

где х0 и С – постоянные. Из системы уравнений

Таким образом, мы определили функции φ и ψ через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (8) найденные значения φ и ψ, будем иметь

.

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение при начальных условиях , .

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

.

Решение волнового уравнения

методом разделения переменных

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=f(x), . (12),(13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

.

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой – функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

, где λ>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и . (15)

Общее решение этих уравнений

,

,

где A, B, C, D – произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)≠0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и .

Так как B≠0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

,

.

Найденные значения λ называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо – λ взять число λ (λ>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

.

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная , можем записать

.

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

.

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

.

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

.

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и φ(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

, 0