Дифференциальные уравнения математика 11 класс

Пезентация на тему — Дифференциальные уравнения (11 класс)
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Пезентация на тему — Дифференциальные уравнения (11 класс)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Дифференциальные уравнения ГБОУ №1392 им. Д. Рябинкина Давтян Римма Артемовна

Порядок дифференциального уравнения

Линейное дифференциальное уравнение

Однородное дифференциальное уравнение

Решение дифференциального уравнения

Общее и частное решение

Уравнение первого порядка

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок по теме:»Решение уравнений» 5 класс

Урок математики в 5 классе по теме:»Решение уравнений» представлен в виде виртуального путешествия по планетам солнечной системы. В уроке просматривается межпредметная связь с астрономией, рисованием.

Разработка урока по теме «Логарифмические уравнения», 10 класс

Логарифмические уравнения. Меркулова Ирина Николаевна, МОУ СОШ №2 р.п. Мокроус, учитель математики, Саратовская область. Предмет (направленность): математика. Возраст детей: 16 лет, 10 класс. Мест.

Обощающий урок по теме «Решение уравнений» 7 класс

В форме дидактической игры повторение понятия корень уравнения, решение уравнения. Закрепление умения решать и исоставлять уравнения.

Презентация к уроку математики по теме «Решение уравнений» ( 5 класс)

Презентация по теме «Решение уравнений» ( 5 класс) подготовлена к уроку обьяснения решения усложнённых уравнений на основании зависимостей между компонентами и свойств арифметических.

разработка факультатива по теме «Дифференциальный уравнения первого порядка»

в данном материале дан развернутый материал, который поможет преподавателю Алгебры и начала анализа.

Конспект урока алгебры в 9 классе по теме «Рациональные уравнения» ( для классов с углубленным изучением математики)

Урок-КВН, основная часть — математическая эстафета, где ответ предыдущего задания является условием следующего.

Урок-лекция «Дифференциальные уравнения», 11 класс (углубление).

Урок разработан для классов с углубленным изучением математики. Материал математического анализа подаётся на доступном для школьников уровне. Знания полученные обучающимися на этом уроке не будут вост.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №26. Простейшие дифференциальные уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение области применения дифференциальных уравнений

2) Определение дифференциального уравнения

3) Решение простейших дифференциальных уравнений

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные.

Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком данного уравнения. ( Пример: y’ – y = 0 – дифференциальное уравнение 1-го порядка; y’’ + y = 0 – дифференциальное уравнение 2-го порядка).

Решением дифференциального уравнения называется любая функция y = f(x), которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тело движется по оси абсцисс, начиная движение от точки А(10; 0) со скоростью v=4t+4 Найдите уравнение движения тела, и определите координату х через 1 с

Воспользуемся определением первообразной, т.к. х(t)=v₀t+at 2 /2

Найдем все первообразные функции 4t+4

При этом с=10, т.к. это есть начальная координата тела из условия задачи.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

Подставим t=1c в данное уравнение и найдем координату тела за данное время х = 2+4+10=16

Ответ: х=2t 2 +4t+10

№2. Найдите c при частном решении, у’ = x, если при х = 1 у = 0 .

Найдем все первообразные уравнения у’ , это будет общее решение уравнения :

Найдем число С , такое х = 1 у = 0 .

Подставим х = 1, y = 0 , в общее решение и получим:

№3. Используя уравнение у'(x)= 4х+5, найди его решение и определи число С, если у(-2)=10

Найдем все первообразные функции 4х+5

Интегрированный урок в 11-м классе по теме: «Дифференциальные уравнения показательного роста и показательного убывания»

Разделы: Математика

Цели урока:

• Повысить уровень знаний учащихся по предмету, сделать более понятной важную тему высшей математики, привлекая к уроку учителей биологии и физики.
• Выделить разные виды решения задач, расширить кругозор учащихся.
• Повысить интерес к предмету, уровень культуры речи, культуры ведения записей.
• Учить мыслить, анализировать, приучать к самостоятельности.

Начинает урок учитель математики, объясняя смысл темы: Дифференциальное уравнение – это уравнение, в котором неизвестной является функция от одного неизвестного переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков.

Термин “дифференциальные уравнения” был предложен Г.Лейбницем. Первые исследования уравнений были проведены в конце XVII века в связи с изучением механики и некоторых геометрических задач.

Дифференциальные уравнения имеют большое прикладное значение, являясь мощным орудием исследования задач естествознания и техники, они широко используются в механике, астрономии, физике, во многих задачах химии, биологии. Это объясняется тем, что весьма часто объективные законы, которым подчиняются те или иные явления (процессы), записываются в форме дифференциальных уравнений, а сами эти уравнения являются средством для количественного выражения этих законов. Например, законы механики Ньютона позволяют механическую задачу описания движения системы материальных точек или твердого тела свести к математической задаче нахождения решений дифференциальных уравнений. Расчет радиотехнических схем и вычисление траектории спутников, исследование устойчивости самолета в полете и выяснение течения химических реакций – все это производится путем изучения и решения дифференциальных уравнений.

Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид:

F’(x) = f(x) … (1), где f(x) – данная функция, а F(x) – решение этого уравнения.

Мы будем рассматривать дифференциальное уравнение вида:

Смысл дифференциального уравнения … (2) заключается в том, что скорость изменения функции в точке x пропорциональна значению самой функции в этой точке.

Приведем примеры, в которых величины изменяются по указанному закону.

Объяснение продолжает учитель физики. Она рассматривает задачу 1 о радиоактивном распаде вещества: Если m’(t) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то скорость уменьшения массы пропорциональна его количеству.

Значит, решением уравнения … (1) является функцией m’(t) = Сe. С найдем из условия, что в начальный момент времени масса радиоактивного вещества была равна:

m(0) = Сe,

Отсюда, m(t) = m_o · e

Промежуток времени T, через который масса радиоактивного вещества уменьшится в 2 раза называют “периодом полураспада”. Зная Т, можно найти k:

m(T) = m_o ,

m_o · e= m_o,

e=

Логарифмируя по основанию е, получаем

k =

Например, для радия Т 1550 лет. Поэтому, k 0,000447

Следовательно, через 1 млн. лет от начальной массы m_o останется (вычисления проводит учитель математики).

m(10)m_o · e m_o · e0,6 · 10 m_o

Пусть e= y, ln y = – 447, y = 7,37 · 10 = 0,7 · 10

lg y = – 447 lg e = – 447 · 0,4343 = – 194,1321 = – 195 + 0,8679.)

Задача 2. От m_мг радия С через t мин. радиоактивного распада остается n_мг. Найдите период полураспада радия С, т. е. через сколько минут останется 0,5 m_мг радия С.

В урок включается учитель биологии. У нее интересный материал о размножении бактерий.

m’(t) = km(t), где k > 0, зависящее от вида бактерий и внешних условий. Решениями этого уравнения являются функции m(t) = C · e. Постоянную C можно найти из условия, что в момент t = 0 масса m_o бактерий известна, тогда m(t) = m_o · e.

Задача 4. Культуре из 100 бактерий представляется возможность размножаться при благоприятных условиях. Через 12 часов число бактерий достигло 500. Сколько бактерий будет через 2 суток после начала опыта?

N (48)Решение:

N(t) = N_oe,

500 = 100 · e,

e = 5,

Значит: N (48) = 100e = 100e = 100 · 626 = 62600

Вычисления проводит учитель математики.

e = y

ln y = 4ln 5 · lg e = 4 · 1,6094 · 0,4343 = 2,7958

Ответ: 62600

В работу включается учитель физики.

Задача 5. Два тела имеют одинаковую температуру – 100 o . Они вынесены на воздух, его температура 0 o . Через 10 мин. температура одного тела стала 80 o , а второго – 64 o . Через сколько минут после начала остывания разность их температур будет равна 25 o .