Дифференциальные уравнения неразрешенные относительно производной онлайн

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Дифференциальные уравнения по-шагам

Результат

Примеры дифференциальных уравнений

• Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
• Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
• Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
• Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
• Уравнения в полных дифференциалах
• Решение дифференциального уравнения заменой
• Смена y(x) на x в уравнении
• Другие

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной

Уравнения 1-го порядка n-ой степени относительно производной

Пусть имеем дифференциальное уравнение

Решаем это уравнение относительно . Пусть

— вещественные решения уравнения (1).

Общий интеграл уравнения (1) выразится совокупностью интегралов:

где есть интеграл уравнения .

Таким образом, через каждую точку области, в которой принимает вещественные значения, проходит интегральных линий.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Разрешим это уравнение относительно :

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Разрешим уравнение относительно переменной :

Положим , где — параметр; тогда получим Дифференцируя, найдем . Но так как , то будем иметь

Рассмотрим два случая:

1) , откуда , где — произвольная постоянная. Подставляя значение , получаем общее решение данного уравнения:

В равенстве нельзя заменить на и интегрировать полученное уравнение (так как при этом появится вторая произвольная постоянная, чего не может быть, поскольку рассматриваемое дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка).

2) , откуда . Подставляя, получим еще одно решение .

Проверим, нарушится ли свойство единственности в каждой точке решения , т.е. является ли оно особым (см. часть 1.11). Для этого возьмем на интегральной кривой произвольную точку , где . Будем теперь искать решение, которое содержится в общем решении и график которого проходит через точку . Подставляя координаты этой точки в общее решение , будем иметь

откуда . Это значение постоянной подставим в . Тогда получим частное решение

которое не совпадает с решением . Для этих решений имеем соответственно . При обе производные совпадают. Следовательно, в точке нарушается свойство единственности, т. е. через эту точку проходят две интегральные кривые с одной и той же касательной. Так как произвольно, то единственность нарушается в каждой точке решения , а это означает, что оно является особым.

2°. Уравнения вида f(y,y’)=0 и f(x,y’)=0

Если уравнения и легко разрешимы относительно , то, разрешая их, получим уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим случаи, когда эти уравнения не разрешимы относительно .

А. Уравнение вида разрешимо относительно :

Полагаем , тогда . Дифференцируя это уравнение и заменяя на , получим

Получаем общее решение уравнения в параметрической форме

Пример 3. Решить уравнение , где — постоянные.

Решение. Положим , тогда , или . Отсюда и .

Общим решением будет .

Б. Если уравнение вида неразрешимо (или трудно разрешимо) как относительно , так и относительно , но допускает выражение и через некоторый параметр :

то поступаем следующим образом. Имеем . С другой стороны, , так что и ; отсюда

Таким образом, получаем общее решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Полагаем , тогда имеем

Отсюда , общее решение .

В. Уравнение вида . Пусть это уравнение разрешимо относительно , то есть .

Полагая , получим . Но и, следовательно, , так что

Таким образом — общее решение уравнения в параметрической форме ( — параметр).

Замечание. В формулах нельзя рассматривать как производную. В них является просто параметром.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Положим , тогда

Итак, — общее решение.

Аналогично случаю Б можно пытаться решать уравнение методом введения параметра .

3°. Уравнения Лагранжа

Уравнение Лагранжа имеет вид

Полагая , дифференцируя по и заменяя на , приводим это уравнение к линейному относительно как функции . Находя решение этого последнего уравнения , получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:

Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь еще особые решения вида , где — корень уравнения .

Пример 6. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Полагаем , тогда . Дифференцируя, находим

Получили уравнение первого порядка, линейное относительно ; решая его, находим

Подставляя найденное значение в выражение для , получим окончательно

Уравнения Клеро

Уравнение Клеро имеет вид .

Метод решения тот же, что и для уравнения Лагранжа. Общее решение уравнения Клеро имеет вид

Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением из уравнений .

Пример 7. Проинтегрировать уравнение .

Решение. Полагая , получаем . Дифференцируя последнее уравнение и заменяя на , найдем

Приравнивая нулю первый множитель, получаем , откуда и общее решение исходного уравнения есть , однопараметрическое семейство прямых. Приравнивая нулю второй множитель, будем иметь . Исключая из этого уравнения и из уравнения , получим — это тоже решение нашего уравнения (особое решение).

С геометрической точки зрения кривая есть огибающая семейства прямых, даваемых общим решением (рис. 14).