Дифференциальные уравнения однородное уравнение замена переменной

Однородные дифференциальные уравнения

Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y = xu, или, что тоже самое, , где u новая искомая функция. Действительно, тогда y’ = u + u’x и исходное уравнение может быть переписано в виде u + u’x = f(u), или u’x = f(u)u. Из последнего при f(u)u можем записать .

Пример. Решить уравнение (y 2 — 2xy)dx + x 2 dy = 0. Это однородное уравнение, так как y 2 — 2xy и x 2 однородные функции второй степени. Делаем замену y = xu, dy = udx + xdu. Подставляя в уравнение, имеем

(x 2 u 2 — 2x 2 u)dx + x 2 (udx + xdu) = 0.

Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на x 2 , получаем уравнение с разделяющимися переменными

(u 2 — u)dx + xdu = 0

Разделяя переменные, получаем или, что то же самое, Интегрируя последнее соотношение, имеем lnu — ln(u-1) = lnx + lnC. Потенцируя (переходя от логарифмической функции к e x ), можем записать или, делая обратную замену , получаем общий интеграл уравнения

Уравнения вида приводятся к однородным переносом начала координат в точку пересечения прямых a₁x + b₁y +c₁ = 0, a₂x + b₂y +c₂ = 0, если определитель отличен от нуля, и заменой a₁x + b₁y = z, если этот определитель равен нулю.

Решить однородные уравнения онлайн можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.

Однородные дифференциальные уравнения
и приводящиеся к ним

Однородные уравнения

Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество .

Например, функция есть однородная функция второго измерения, так как

При имеем функцию нулевого измерения. Например, есть однородная функция нулевого измерения, так как

Дифференциальное уравнение вида называется однородным относительно и , если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде

Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:

Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).

Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку .

Пример 1. Решить однородное уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде так что данное уравнение оказывается однородным относительно и . Положим , или . Тогда . Подставляя в уравнение выражения для и , получаем . Разделяем переменные: . Отсюда интегрированием находим

Так как , то, обозначая , получаем , где или . Заменяя на , будем иметь общий интеграл .

Отсюда общее решение: .

При разделении переменных мы делили обе части уравнения на произведение , поэтому могли потерять решение, которые обращают в ноль это произведение.

Положим теперь и . Но в силу подстановки , а из соотношения получаем, что , откуда . Непосредственной проверкой убеждаемся, что функции и также являются решениями данного уравнения.

Пример 2. Рассмотреть семейство интегральных кривых однородного уравнения . Показать, что касательные в соответственных точках к кривым, определяемым этим однородным дифференциальным уравнением, параллельны между собой.

Примечание: Будем называть соответственными те точки на кривых , которые лежат на одном луче, выходящем из начала координат.

Решение. По определению соответственных точек имеем , так что в силу самого уравнения , где и — угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым и , в точках и соответственно (рис. 12).

Уравнения, приводящиеся к однородным

А. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

где — постоянные, а — непрерывная функция своего аргумента .

Если , то уравнение (3) является однородным и оно интегрируется, как указано выше.

Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два случая.

1) Определитель . Вводя новые переменные и по формулам , где и — пока неопределенные постоянные, приведем уравнение (3) к виду

Выбирая и как решение системы линейных уравнений

получаем однородное уравнение . Найдя его общий интеграл и заменив в нем на , a на , получаем общий интеграл уравнения (3).

2) Определитель . Система (4) в общем случае не имеет решений и изложенный выше метод неприменим; в этом случае , и, следовательно, уравнение (3) имеет вид . Подстановка приводит его к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Определитель этой системы .

Система имеет единственное решение . Делаем замену . Тогда уравнение (5) примет вид

Это уравнение является однородным уравнением. Полагая , получаем

Интегрируя, найдем или .

Возвращаемся к переменным :

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Система линейных алгебраических уравнений несовместна. В этом случае метод, примененный в предыдущем примере, не подходит. Для интегрирования уравнения применяем подстановку , . Уравнение примет вид

Разделяя переменные, получаем

Возвращаясь к переменным , получаем общий интеграл данного уравнения

Б. Иногда уравнение можно привести к однородному заменой переменного . Это имеет место в том случае, когда в уравнении все члены оказываются одинакового измерения, если переменному приписать измерение 1, переменному — измерение и производной — измерение .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Делаем подстановку , где пока произвольное число, которое мы выберем позже. Подставляя в уравнение выражения для и , получим

Заметим, что имеет измерение имеет измерение , имеет измерение . Полученное уравнение будет однородным, если измерения всех членов одинаковы, т.е. если выполняется условие , или .

Положим ; исходное уравнение принимает вид

Положим теперь . Тогда это уравнение примет вид , откуда .

Разделяем переменные в этом уравнении . Интегрируя, найдем

Заменяя через , получаем общий интеграл данного уравнения

Уравнение имеет еще очевидное решение , которое получается из общего интеграла при , если интеграл записать в виде , а затем перейти к пределу при . Таким образом, функция является частным решением исходного уравнения.

Как решить однородное дифференциальное уравнение

Чтобы решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка, используют подстановку u=y/x, то есть u — новая неизвестная функция, зависящая от икса. Отсюда y=ux. Производную y’ находим с помощью правила дифференцирования произведения: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (так как x’=1). Для другой формы записи: dy=udx+xdu.После подстановки уравнение упрощаем и приходим к уравнению с разделяющимися переменными.

Примеры решения однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка.

1) Решить уравнение

Проверяем, что это уравнение является однородным (см. Как определить однородное уравнение). Убедившись, делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем: u’x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Так как логарифм произведения равен сумме логарифмов, ln(ux)=lnu+lnx. Отсюда

u’x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). После приведения подобных слагаемых: u’x+u=u(1+lnu). Теперь раскрываем скобки

u’x+u=u+u·lnu. В обеих частях стоит u, отсюда u’x=u·lnu. Поскольку u — функция от икса, u’=du/dx. Подставляем,

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные, для чего обе части умножаем на dx и делим на x·u·lnu, при условии, что произведение x·u·lnu≠0

В левой части — табличный интеграл. В правой — делаем замену t=lnu, откуда dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Но мы уже обсуждали, что в таких уравнениях вместо С удобнее взять ln│C│. Тогда

ln│t│=ln│x│+ln│C│. По свойству логарифмов: ln│t│=ln│Сx│. Отсюда t=Cx. ( по условию, x>0). Пора делать обратную замену: lnu=Cx. И еще одна обратная замена:

По свойству логарифмов:

Это — общий интеграл уравнения.

Вспоминаем условие произведение x·u·lnu≠0 (а значит, x≠0,u≠0, lnu≠0, откуда u≠1). Но x≠0 из условия, остается u≠1, откуда x≠y. Очевидно, что y=x ( x>0) входят в общее решение.

2) Найти частный интеграл уравнения y’=x/y+y/x, удовлетворяющий начальным условиям y(1)=2.

Сначала проверяем, что это уравнение является однородным (хотя наличие слагаемых y/x и x/y уже косвенно указывает на это). Затем делаем замену u=y/x, откуда y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Подставляем полученные выражения в уравнение:

u’x=1/u. Так как u — функция от икса, u’=du/dx:

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Чтобы разделить переменные, умножаем обе части на dx и u и делим на x (x≠0 по условию, отсюда u≠0 тоже, значит, потери решений при этом не происходит).

и поскольку в обеих частях стоят табличные интегралы, сразу же получаем

Выполняем обратную замену:

Это — общий интеграл уравнения. Используем начальное условие y(1)=2, то есть подставляем в полученное решение y=2, x=1:

3) Найти общий интеграл однородного уравнения:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Замена u=y/x, откуда y=ux, dy=xdu+udx. Подставляем:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Выносим x² за скобки и делим на него обе части (при условии x≠0):

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Раскрываем скобки и упрощаем:

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Группируем слагаемые с du и dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Выносим общие множители за скобки:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Разделяем переменные:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для этого обе части уравнения делим на xu(u²+1)≠0 (соответственно, добавляем требования x≠0 (уже отметили), u≠0):

В правой части уравнения — табличный интеграл, рациональную дробь в левой части раскладываем на простые множители:

(или во втором интеграле можно было вместо подведения под знак дифференциала сделать замену t=1+u², dt=2udu — кому какой способ больше нравится). Получаем: