Дифференциальные уравнения первого порядка лагранж

Метод Лагранжа (вариации постоянной). Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Существует три способа решения этого уравнения:

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа.

Метод вариации постоянной (Лагранжа)

В методе вариации постоянной мы решаем уравнение в два этапа. На первом этапе мы упрощаем исходное уравнение и решаем однородное уравнение. На втором этапе мы заменим постоянную интегрирования, полученную на первой стадии решения, на функцию. После чего ищем общее решение исходного уравнения.

Шаг 1 Решение однородного уравнения

Ищем решение однородного уравнения:

Это уравнение с разделяющимися переменными

Разделяем переменные — умножаем на dx , делим на y :

Интегрируем:

Интеграл по y — табличный:

Тогда

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и уберем знак модуля, что сводится к умножению на постоянную ±1 , которую включим в C :

Шаг 2 Заменим постоянную C на функцию

Теперь заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )
То есть, будем искать решение исходного уравнения (1) в виде:
(2)
Находим производную.

По правилу дифференцирования сложной функции:
.
По правилу дифференцирования произведения:

.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Два члена сокращаются:
;
.
Интегрируем:
.
Подставляем в (2):
.
В результате получаем общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка:
.

Пример решения линейного дифференциального уравнения первого порядка методом Лагранжа

Решаем однородное уравнение:

Разделяем переменные:

Умножим на :

Интегрируем:

Интегралы табличные:

Потенцируем:

Заменим постоянную e C на C и убираем знаки модуля:

Отсюда:

Заменим постоянную C на функцию от x :
C → u ( x )

Находим производную:
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
;
Или:
;
.
Интегрируем:
;
Решение уравнения:
.

Общее решение уравнения:
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 27-07-2012 Изменено: 01-03-2015

Уравнение Лагранжа

Вы будете перенаправлены на Автор24

Общий метод решения уравнения Лагранжа

Предположим, что некоторое дифференциальное уравнение первого порядка $F\left(x,y,y’\right)=0$, не разрешенное относительно производной, удалось разрешить относительно $y$, то есть представить в виде $y=f\left(x,y’\right)$.

Частным случаем дифференциального уравнения такого вида является уравнение Лагранжа $y=x\cdot \phi \left(y’\right)+\psi \left(y’\right)$, в котором $\phi \left(y’\right)\ne y’$.

Дифференциальное уравнение Лагранжа решают методом введения параметра $y’=p$.

При этом исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.

Выполнив дифференцирование по $x$ с учетом $dy=p\cdot dx$, после несложных алгебраических преобразований получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции $x\left(p\right)$ и её производной $\frac $, а именно: $\frac -\frac<\phi '\left(p\right)>\cdot x=\frac<\psi '\left(p\right)>$.

Это уравнение решается известным методом, в результате чего получим его общее решение $x=F\left(p,C\right)$.

Подставив полученный результат в соотношение $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$, получим $y=F\left(p,C\right)\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.

Дополнительные частные либо особые решения уравнения Лагранжа могут быть получены в результате нахождения действительных корней уравнения $p-\phi \left(p\right)=0$ и подстановки их в $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.

Решение типичных задач

Решить дифференциальное уравнение $y=-x\cdot y’+y’^ <2>$.

Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $\phi \left(y’\right)=-y’$ и $\psi \left(y’\right)=y’^ <2>$.

Вводим параметр $y’=p$ и получаем $y=-x\cdot p+p^ <2>$, а также $\phi \left(p\right)=-p$ и $\psi \left(p\right)=p^ <2>$.

Теперь получим уравнение вида $\frac -\frac<\phi '\left(p\right)>\cdot x=\frac<\psi '\left(p\right)>$. Для этого находим: $\phi ‘\left(p\right)=-1$; $\psi ‘\left(p\right)=2\cdot p$; $p-\phi \left(p\right)=p-\left(-p\right)=2\cdot p$.

Уравнение приобретает вид: $\frac +\frac<1> <2\cdot p>\cdot x=1$.

Применяем алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:

Стандартный вид $\frac+\frac<1><2\cdot p>\cdot x=1$, где $P\left(p\right)=\frac<1><2\cdot p>$, $Q\left(p\right)=1$.
Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(p\right)\cdot dp =\int \frac<1><2\cdot p>\cdot dp =\frac<1><2>\cdot \ln \left|p\right|$.

Выбираем для $v\left(p\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(p\right)=\frac<1> <\sqrt

> $.

Вычисляем интеграл $I_ <2>=\int \frac\cdot dp =\int \sqrt

\cdot dp =\frac<2><3>\cdot p^<\frac<3><2>> $ и получаем $u\left(p,C\right)=\frac<2><3>\cdot p^<\frac<3><2>> +C$.

Получаем общее решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения в виде $x=\left(\frac<2><3>\cdot p^<\frac<3><2>> +C\right)\cdot \frac<1><\sqrt

> =\frac<2><3>\cdot p+\frac<\sqrt

> $.

Подставляем полученный результат в $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$. Получаем: $y=-\left(\frac<2> <3>\cdot p+\frac <\sqrt

> \right)\cdot p+p^ <2>=\frac<1> <3>\cdot p^ <2>-C\cdot \sqrt

Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $\left\<\begin <3>\cdot p+\frac <\sqrt

> > \\ <3>\cdot p^ <2>-C\cdot \sqrt

> \end\right. $.

Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-\phi \left(p\right)=0$: получаем $p=0$.

Подставляем $p=0$ в $y=-x\cdot p+p^ <2>$ и получаем $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=\frac<1> <3>\cdot p^<\frac<3> <2>> $.

Готовые работы на аналогичную тему

Решить дифференциальное уравнение $y=x\cdot y’\cdot \left(y’+2\right)$.

Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $\phi \left(y’\right)=y’\cdot \left(y’+2\right)$ и $\psi \left(y’\right)=0$.

Вводим параметр $y’=p$ и получаем $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$, а также $\phi \left(p\right)=p\cdot \left(p+2\right)$ и $\psi \left(p\right)=0$.

Теперь получим уравнение вида $\frac -\frac<\phi '\left(p\right)>\cdot x=\frac<\psi '\left(p\right)>$. Для этого находим: $\phi ‘\left(p\right)=2\cdot p+2$; $\psi ‘\left(p\right)=0$; $p-\phi \left(p\right)=p-\left(p^ <2>+2\cdot p\right)=-p^ <2>-p$.

Уравнение приобретает вид:

Имеем стандартный вид $x’+P\left(p\right)\cdot x=0$, где $P\left(p\right)=\frac<2>
$.
Вычисляем интеграл $I=\int P\left(p\right)\cdot dp =\int \frac<2>
\cdot dp =2\cdot \ln \left|p\right|$.
Записываем общее решение в виде $x=C\cdot e^ <-2\cdot \ln \left|p\right|>$ и выполняем упрощающие преобразования:

Подставляем полученный результат в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$. Получаем: $y=\frac> \cdot p\cdot \left(p+2\right)$ или $y=C\cdot \left(1+\frac<2>

\right)$.

Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $\left\<\begin > > \\

\right)> \end\right. $.

Параметр $p$ из этой системы можно исключить:

$p=\frac <\sqrt> <\pm \sqrt> $; $y=C\cdot \left(1\pm \frac <2\cdot \sqrt> <\sqrt> \right)$ — это результат решения в явной форме.

Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-\phi \left(p\right)=-p^ <2>-p=0$.

Получаем: $p\cdot \left(p+1\right)=0$, откуда имеем два корня $p=0$ и $p=-1$.

Подставляем первый корень $p=0$ в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$ и получаем первое дополнительное решение данного уравнения $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=0$.

Подставляем второй корень $p=-1$ в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$ и получаем второе дополнительное решение данного уравнения $y=-x$. Это решение является особым, так как не получается из общего ни при каком $C$.

ЛДУ с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа

Линейные дифференциальные уравнения с переменные коэффициентами

Если известно частное решение уравнения

то его порядок можно понизить на единицу (не нарушая линейности уравнения), полагая , где — новая неизвестная функция, а затем делая замену (можно непосредственно делать замену ).

Если известно частных линейно независимых решений уравнения (32), то порядок уравнения может быть понижен на единиц.

Общее решение уравнения

есть сумма какого-нибудь его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (32).

Если известна фундаментальная система соответствующего однородного уравнения (32), то общее решение неоднородного уравнения (33) может быть найдено методом вариации постоянных ( метод Лагранжа ).

Общее решение уравнения (32) имеет вид

где — произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (33) в виде

где — некоторые пока неизвестные функции от . Для их определения получаем систему

Разрешая эту систему относительно , получаем

где — произвольные постоянные. Внося найденные значения в (34), получаем общее решения уравнения (33).

В частности, для уравнения второго порядка

Решая (36) относительно и , получаем

где и — постоянные интегрирования.

Замечание. Для уравнения , где , система (36) будет выглядеть так:

Пример 1. Найти общее решение уравнения , если есть его частное решение.

Решение. Положим , где — новая неизвестная функция от , тогда

Подставляя в данное уравнение, получаем

Но так как есть частное решение данного уравнения, то , поэтому имеем

Но , а значит , и уравнение (37) примет вид

Перепишем его в виде . Отсюда имеем , откуда

Интегрируя это уравнение, найдем и, следовательно, общее решение данного уравнения будет

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 1)

и следовательно, его фундаментальная система решений будет

Будем искать общее решение данного уравнения методом вариации произвольных постоянных:

где — постоянные неизвестные функции от , подлежащие определению. Для их нахождения составим следующую систему:

Отсюда находим: . Интегрируя, получаем

Подставляя эти значения и в выражение для , найдем общее решение данного уравнения

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Соответствующее однородное уравнение будет . Его характеристическое уравнение имеет мнимые корни , и общее решение однородного уравнения имеет вид

Общее решение исходного уравнения ищем в виде

где и — неизвестные функции от . Для их нахождения составим систему

Разрешаем эту систему относительно и :

Подставляя выражения и в (38), получаем общее решение данного уравнения

Здесь есть частное решение исходного неоднородного уравнения.

Пример 4. Зная фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, найти частное решение уравнения

Решение. Применяя метод вариации постоянных, находим общее решение уравнения (39):

При первые два слагаемых правой части (40) стремятся к бесконечности, причем при любых , неравных нулю одновременно, функция есть бесконечно большая функция при . Третье слагаемое правой части (40) имеет пределом ноль при , что легко установить с помощью правила Лопиталя. Таким образом, функция , которая получается из (40) при и , будет решением уравнения (39), удовлетворяющим условию .

Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений

Рассмотрим линейно независимую на отрезке систему функций

имеющих все производные до n-го порядка включительно. Тогда уравнение

где — неизвестная функция, будет линейным дифференциальным уравнением, для которого, как нетрудно видеть, функции составляют фундаментальную систему решений. Коэффициент при в (42) есть определитель Вронского системы (41). Те точки, в которых этот определитель обращается в ноль, будут особыми точками построенного уравнения — в этих точках обращается в ноль коэффициент при старшей производной .

Пример 1. Составить дифференциальное уравнение, для которого образуют фундаментальную систему решений.

Решение. Применяя формулу (42), получаем

Раскрывая определитель в левой части (43) по элементам третьего столбца, будем иметь . Это и есть искомое дифференциальное уравнение.

Пример 2. Составить дифференциальное уравнение, для которого функции фундаментальную систему решений образуют функции .

Решение. Составим уравнение вида (42):

Раскрывая последний определитель по элементам 3-го столбца, будем иметь

В этом примере определитель Вронского обращается в ноль при . Это не противоречит общей теории, в силу которой определитель Вронского фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентами не обращается в ноль ни в одной точке отрезка . Записав уравнение (44) в виде

видим, что коэффициент при терпит разрыв при , так что в точке непрерывность коэффициентов уравнения (45) нарушается.

Разные задачи

Пусть — фундаментальная система линейного однородного уравнения

Тогда имеет место формула Остроградского–Лиувилля

где — определитель Вронского, а — любое значение из отрезка , на котором непрерывны коэффициенты уравнения.

Пример 1. Показать, что линейное дифференциальное уравнение имеет решение вида , где — некоторый многочлен. Показать, что второе решение этого уравнения имеет вид , где — также многочлен.

Решение. Будем искать решение в виде многочлена, например, первой степени: . Подставляя в уравнение, найдем, что . Пусть , тогда ;. таким образом, многочлен будет решением данного уравнения. Перепишем данное уравнение в виде

Пусть — второе частное решение данного уравнения, линейно независимое с первым. Находим определитель Вронского системы решений

здесь . Применяя формулу Остроградского–Лиувилля, будем иметь

где — любое значение , причем , или ; здесь . Для нахождения получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Деля обе части этого уравнения на , приведем его к виду

источники:

http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/uravnenie_lagranzha/

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ldu-s-peremennymi-koeffitsientami