Дифференциальные уравнения первого порядка
Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
Как решать дифференциальные уравнения первого порядка
Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
.
Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида:
,
где .
Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов:
.
Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении – независимая переменная, а – это функция от . Разделим уравнение на :
.
Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.
Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:
,
то замечаем, что . Тогда делаем подстановку . После этого уравнение примет более простой вид:
.
Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель ⇓.
Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Делаем подстановку . Тогда
;
.
Далее разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>
Однородные уравнения
Решаем подстановкой:
,
где – функция от . Тогда
;
.
Разделяем переменные и интегрируем.
Подробнее >>>
Уравнения, приводящиеся к однородным
Вводим переменные и :
;
.
Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:
;
.
В результате получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>
Обобщенные однородные уравнения
Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и .
Подробнее >>>
Линейные дифференциальные уравнения
Есть три метода решения линейных уравнений.
1) Метод интегрирующего множителя.
Умножаем уравнение на интегрирующий множитель :
;
.
Далее интегрируем.
Подробнее >>>
2) Метод Бернулли.
Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :
.
;
.
Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Подробнее >>>
3) Метод вариации постоянной (Лагранжа).
Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
,
где – постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .
Подробнее >>>
Уравнения Бернулли
Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.
Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :
.
Подставляем в исходное уравнение:
;
.
В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
.
Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
Уравнения Риккати
Оно не решается в общем виде. Подстановкой
уравнение Риккати приводится к виду:
,
где – постоянная; ; .
Далее, подстановкой:
оно приводится к виду:
,
где .
Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице
Дифференциальное уравнение Риккати >>>
Уравнения Якоби
Уравнения в полных дифференциалах
При условии
.
При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:
.
Тогда
.
Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:
.
Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:
;
;
;
.
Подробнее >>>
Интегрирующий множитель
Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель . Интегрирующий множитель – это такая функция , при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.
Подробнее >>>
Уравнения, не решенные относительно производной y’
Уравнения, допускающие решение относительно производной y’
Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.
Уравнения, допускающие разложение на множители
Если удастся уравнение разложить на множители:
,
то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:
;
;
;
Подробнее >>>
Уравнения, не содержащие x и y
Уравнения, не содержащие x или y
или
Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Полагаем . Тогда
или .
Далее интегрируем уравнение:
;
.
В результате получаем выражение второй переменной через параметр .
Более общие уравнения:
или
также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .
Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение:
;
.
Подробнее >>>
Уравнения, разрешенные относительно y
Уравнения Клеро
Такое уравнение имеет общее решение
Подробнее >>>
Уравнения Лагранжа
Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где – параметр.
Подробнее >>>
Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли
Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .
Подробнее >>>
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-05-2016
Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)
Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5
Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin
Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)
Список математических функций и констант :
• ln(x) — натуральный логарифм
• sh(x) — гиперболический синус
• ch(x) — гиперболический косинус
• th(x) — гиперболический тангенс
• cth(x) — гиперболический котангенс
• sch(x) — гиперболический секанс
• csch(x) — гиперболический косеканс
• arsh(x) — обратный гиперболический синус
• arch(x) — обратный гиперболический косинус
• arth(x) — обратный гиперболический тангенс
• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс
• arsch(x) — обратный гиперболический секанс
• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
Дифференциальные уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной
Уравнения 1-го порядка n-ой степени относительно производной
Пусть имеем дифференциальное уравнение
Решаем это уравнение относительно . Пусть
— вещественные решения уравнения (1).
Общий интеграл уравнения (1) выразится совокупностью интегралов:
где есть интеграл уравнения .
Таким образом, через каждую точку области, в которой принимает вещественные значения, проходит интегральных линий.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Разрешим это уравнение относительно :
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Разрешим уравнение относительно переменной :
Положим , где — параметр; тогда получим Дифференцируя, найдем . Но так как , то будем иметь
Рассмотрим два случая:
1) , откуда , где — произвольная постоянная. Подставляя значение , получаем общее решение данного уравнения:
В равенстве нельзя заменить на и интегрировать полученное уравнение (так как при этом появится вторая произвольная постоянная, чего не может быть, поскольку рассматриваемое дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка).
2) , откуда . Подставляя, получим еще одно решение .
Проверим, нарушится ли свойство единственности в каждой точке решения , т.е. является ли оно особым (см. часть 1.11). Для этого возьмем на интегральной кривой произвольную точку , где . Будем теперь искать решение, которое содержится в общем решении и график которого проходит через точку . Подставляя координаты этой точки в общее решение , будем иметь
откуда . Это значение постоянной подставим в . Тогда получим частное решение
которое не совпадает с решением . Для этих решений имеем соответственно . При обе производные совпадают. Следовательно, в точке нарушается свойство единственности, т. е. через эту точку проходят две интегральные кривые с одной и той же касательной. Так как произвольно, то единственность нарушается в каждой точке решения , а это означает, что оно является особым.
2°. Уравнения вида f(y,y’)=0 и f(x,y’)=0
Если уравнения и легко разрешимы относительно , то, разрешая их, получим уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим случаи, когда эти уравнения не разрешимы относительно .
А. Уравнение вида разрешимо относительно :
Полагаем , тогда . Дифференцируя это уравнение и заменяя на , получим
Получаем общее решение уравнения в параметрической форме
Пример 3. Решить уравнение , где — постоянные.
Решение. Положим , тогда , или . Отсюда и .
Общим решением будет .
Б. Если уравнение вида неразрешимо (или трудно разрешимо) как относительно , так и относительно , но допускает выражение и через некоторый параметр :
то поступаем следующим образом. Имеем . С другой стороны, , так что и ; отсюда
Таким образом, получаем общее решение данного дифференциального уравнения в параметрической форме
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Полагаем , тогда имеем
Отсюда , общее решение .
В. Уравнение вида . Пусть это уравнение разрешимо относительно , то есть .
Полагая , получим . Но и, следовательно, , так что
Таким образом — общее решение уравнения в параметрической форме ( — параметр).
Замечание. В формулах нельзя рассматривать как производную. В них является просто параметром.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Положим , тогда
Итак, — общее решение.
Аналогично случаю Б можно пытаться решать уравнение методом введения параметра .
3°. Уравнения Лагранжа
Уравнение Лагранжа имеет вид
Полагая , дифференцируя по и заменяя на , приводим это уравнение к линейному относительно как функции . Находя решение этого последнего уравнения , получаем общее решение исходного уравнения в параметрической форме:
Кроме того, уравнение Лагранжа может иметь еще особые решения вида , где — корень уравнения .
Пример 6. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Полагаем , тогда . Дифференцируя, находим
Получили уравнение первого порядка, линейное относительно ; решая его, находим
Подставляя найденное значение в выражение для , получим окончательно
Уравнения Клеро
Уравнение Клеро имеет вид .
Метод решения тот же, что и для уравнения Лагранжа. Общее решение уравнения Клеро имеет вид
Уравнение Клеро может иметь еще особое решение, которое получается исключением из уравнений .
Пример 7. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Полагая , получаем . Дифференцируя последнее уравнение и заменяя на , найдем
Приравнивая нулю первый множитель, получаем , откуда и общее решение исходного уравнения есть , однопараметрическое семейство прямых. Приравнивая нулю второй множитель, будем иметь . Исключая из этого уравнения и из уравнения , получим — это тоже решение нашего уравнения (особое решение).
С геометрической точки зрения кривая есть огибающая семейства прямых, даваемых общим решением (рис. 14).
http://mathdf.com/dif/ru/
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=differentsialnye-uravneniya-pervogo-poryadka—ne-razreshennye-otnositelno-proizvodnoi