Дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения

Пример 2. y’’ -2y’ + y = x-1
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -2 r + 1 = 0
D = (-2) 2 — 4 • 1 • 1 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 1 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e x
y₂ = xe x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = x-1
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x-1, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = Ax + B
Вычисляем производные:
y’ = A
y» = 0
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» -2y’ + y = -2A + (Ax + B) = x-1
или
A•x-2A+B = x-1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
A = 1
-2A + B = -1
Откуда: A = 1;B = 1;
Частное решение имеет вид:
y * = x + 1
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 3. y’’ +6y’ + 9y = 9x 2 +12x-43

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 +6 r + 9 = 0
D = 6 2 — 4 • 1 • 9 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = -3 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e -3x
y₂ = xe -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 9•x 2 +12•x-43
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 9•x 2 +12•x-43, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = Ax 2 + Bx + C
Вычисляем производные:
y’ = 2•A•x+B
y» = 2•A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» + 6y’ + 9y = 2•A + 6(2•A•x+B) + 9(Ax 2 + Bx + C) = 9•x 2 +12•x-43
или
9•A•x 2 +12•A•x+2•A+9•B•x+6•B+9•C = 9•x 2 +12•x-43
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
9A = 9
12A + 9B = 12
2A + 6B + 9C = -43
Решая ее методом Гаусса, находим:
A = 1;B = 0;C = -5;
Частное решение имеет вид:
y * = x 2 -5
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C₁ e -3 x + C₂ xe -3 x + x 2 -5

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определения

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение, линейное относительно зависимой переменной y и ее производных:
(1) .
Член f ( x ) называется неоднородной частью уравнения.

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида (1), неоднородная часть которого равна нулю:
.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами – это уравнение вида (1) с отличной от нуля неоднородной частью:
.

Здесь все коэффициенты a _i – постоянные. n – порядок уравнения.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Однородные уравнения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение:
(2) .
Общее решение такого уравнения можно записать в виде:
,
где – линейно независимые частные решения уравнения (2). Каждое из них удовлетворят уравнению (2):
.
В этом случае говорят, что функции образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения (2).

Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения (2) – это n линейно независимых функций , каждая из которых является решением этого уравнения.

Линейно независимые функции – это такие функции, для которых соотношение

может выполняться только если все постоянные равны нулю.

Линейно зависимые функции – это функции, между которыми имеет место линейная зависимость:
,
где – постоянные, из которых хотя бы одна отлична от нуля.

Неоднородные уравнения

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение:
(3) .
Пусть Y – частное решение этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (3) равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного:
.
Здесь – общее решение однородного уравнения:
;
Y – частное (любое) решение неоднородного уравнения:
.

Часто встречается случай, когда неоднородная часть может быть представлена в виде суммы функций:
.
Тогда частное решение Y также может быть представлено в виде суммы частных решений:
,
каждое из которых удовлетворяет уравнению с правой частью в виде одной из функций :
.
В некоторых случаях бывает легче решать отдельные частные решения от более простых неоднородных частей, а затем получать частное решение для всего уравнения, суммированием полученных частных решений.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-07-2013 Изменено: 13-12-2019

Дифференциальные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Для того чтобы решить линейное дифф. ур-ние с постоянными коэф. онлайн, зайдите на страницу калькулятора:

Рассмотрим сначала пример с однородным уравненим:

Для этого в форму нужно ввести вот такое выражение:

Вы получите такое подробное решение:

Далее, рассмотрим пример с неоднородным дифференциальным уравнением:

Указанный пример можно ввести в форму калькулятора так:

-2*y’ + y» = (1 + x^2)*exp(x)

После Вы получите подробный ответ:

Тэги: пример уравнение

© Контрольная работа РУ — примеры решения задач