Дифференциальные уравнения первого задачи коши

Дифференциальные уравнения первого задачи коши

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;

5) – уравнение в частных производных первого порядка.

В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)

507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.

△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем

x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲

508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.

△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части уравнения:

, или

Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем

▲

509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.

△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем

, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.

Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲

510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.

△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим

, или ln |y| = – arctg x + С

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,

ln у = – arctg х + π/4,

откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.

Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x \quad (x \ne 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, \, y(1/3)=1, \, y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= \frac<2y-x><2x+y>, y(1)=1. $$

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+\cos x, \quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^<2x>.$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=\frac<9e^<-3x>><3+e^<-3x>>, \quad y(0)=4\ln 4, y'(0)=3(3\ln 4-1). $$

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 ^2 -2xyy’+2y^2-x^2=0.$

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $^2-4xyy’+8y^2=0.$

Задача Коши — методы и примеры решения дифференциальных уравнений

Принцип и понятие

Под задачей Коши для дифференциального уравнения понимают выражение вида: y’ = f (x, y) с начальным условием, соответствующим равенству: y (x0) = y0. По сути, это обозначает, что необходимо найти такое решение уравнения, которое проходит через заданную точку игрек и икс нулевое. Решением задачи называется функция, заданная на указанном интервале в окрестности точки икс нулевое, то есть: x Є (x0 — q, x0 + q).

Для проведения анализа функции должны выполняться следующие критерии:

Следует отметить, что решение Коши включает в себя и сам интервал икс нулевое плюс минус кью, фактически q-окрестность. Это обозначает, что одна и та же функция, задаваемая одной формулой, но рассматриваемая на разных интервалах, представляет два разных нахождения задачи Коши. Отсюда возникает вопрос, при каких же ответах существует решение Коши, а также когда оно будет единственным.

Существует теорема, гарантирующая единственность какого-то решения задачи. На самом деле возможность аналитического подхода Коши требует лишь главного условия, при котором функция f будет непрерывной в какой-то окрестности точки x0, y0. Но для доказательства единственности этого недостаточно. Для нормального случая необходимо следующее:

1. Функция f (x, y) непрерывна в некоторой окрестности точки (x0, y0).
2. Существует такая константа C, что для любых точек икс и игрек выполняется неравенство: |f (x, y) — f (x2, y2)| ⩽ C |y1 — y2|.

По игреку функция должна иметь обыкновенный рост, то есть не убыстряющийся (локальный подъём не превышать линейный). Если эти два условия выполняются, то решение Коши существует и оно будет единственным. Это значит, что тогда у точки икс нулевое найдётся такая окрестность, в которой существует решение и к тому же оно будет единственным.

А это обозначает, что любая другая функция в этой окрестности, удовлетворяющая уравнениям начальных условий, совпадает с той, существование которой утверждается. При этом на практике проверка условия на самом деле вещь не очень сложная, особенно если функция f (y) имеет в окрестности ограниченную производную.

Алгоритм нахождения

Пусть имеется функция у’ = 2 * √ |y| и условие что y (0) = 0. Необходимо её исследовать. Тут можно заметить, что в этом случае функция зависит только от игрека и условию не удовлетворяет. В окрестностях точки с координатами (0, 0) она не удовлетворяет условию, так как любая окрестность захватывает ноль, а у корня квадратного по игреку будет бесконечная производная.

Это приводит не к единственности получения результатов. Так, у уравнения есть два решения: y1 тождественный нулю; y2 равняется x2. Согласно условию, игрек стоит по модулю, точнее, можно сказать, что для отрицательных значений икс будет меньше ноля, а положительных — больше.

Главный же вопрос заключается в продолжаемости анализа. Доказывается возможность простым построением решения с использованием специальных условий. В итоге должна быть найдена окрестность в точке x0. То есть берётся уравнение и точка с начальными координатами, затем выясняется, что в окрестности выполнены условия теоремы и строится решение.

Затем исследуется другая точка и изучается структура её окрестности. Например, обнаруживается, что условия существования единственности выполняются. Согласно теореме, тогда можно будет строить решение, где в качестве начальной точки будет взята любая координата. Другими словами, получается более широкое решение. Поэтому возникает вопрос, насколько можно приблизить точность ответа. Практические примеры показывают, что иногда можно двигаться до бесконечности, а в некоторых случаях сделать не более трёх шагов.

Если есть два уравнения y’ = f (x, y); y (x0) = y0 имеющие два решения: y1 (x), x Є I1 (эX), y2 (x), x єI2 (єX0). Тогда можно утверждать, что игрек два будет продолжением решения y1 (x) если в I2 входит I1, а y2 (x) равняется y1 (x) для любого икс из интервала I1. Следует учесть, что в этом определении в качестве областей функции всегда рассматривается интервал.

В изучении исследуются и матричные функциональные системы, состоящие из нескольких переменных A (z 1, z 2, …, zn). При этом z являются вещественными, а элементы матрицы могут быть как вещественными, так и комплексными. Исходя из этого даётся определение того, что функция, описываемая матрицей, непрерывна тогда, когда все элементы непрерывны в точке или на некотором множестве.

При определении используют численные и векторные функции от аргумента: y = (x), где y — это столбец от набора игреков, а икс со штрихом — от набора иксов. Таким образом, обобщённым решением будет такое действие, которое не будет иметь нетривиального продолжения, то есть вторые интервалы содержать первые.

Примеры задач

На практических занятиях по высшей математике студентам предлагается для понимания курса выполнить ряд практических заданий. Существует типовой набор задач, научившись решать которые учащийся досконально разберётся в теме. Вот некоторые из них.

Первый пример. Имеется уравнение y’ = (2y / x lnx) + 1/x, для которого установлено начальное условие y (e) = 0. Необходимо найти решение, проходящее через точку e. Перед тем как приступить непосредственно к решению, необходимо отметить, что функция f (x, y) определённа всюду, за исключением прямых x = 0 и x = 1. Отсюда следует, что краевое решение не может быть вычислено на интервале от нуля до единицы.

В этом примере должен содержаться интервал, имеющий координату точки e по иксу. Он не может включать значения меньше единицы, так как необходимо, чтобы выполнялось заданное условием уравнение, которое в точке x = 1 теряет смысл, ведь в ней функция неопределённа. Установив это, можно переходить к анализу уравнения.

Заданное равенство является линейным — неоднородным уравнением первого порядка. Для решения нужно сначала рассмотреть левое соотношение: y’ = 2y / x * lnx. Добавив константу, уравнение можно переписать как y = c * e. Теперь необходимо взять интеграл исходя из первообразной формулы: ∫ 2 dx / (x *lnx).

После того как будет найдена постоянная, через общий интегральный метод с учётом условия определения функции, уравнение в окрестности точки e будет иметь решение вида: y = ln2x — lnx. Из полученного выражения можно сделать вывод, что функция будет определена для всех положительных иксов, но рассматривать её необходимо от единицы до плюс бесконечности. Это и будет максимальное непродолжаемое решение задачи: xЄ (1, + ∞).

Второй пример. Пусть имеется функция y’ = y / (1+x 2 ) с начальным условием: y = y (0). В задании нужно будет рассмотреть дифференциальную кривую уравнения, проходящего через точку y0. Нужно заметить, что функция f (x, y) в любой ограниченной области двумерной плоскости удовлетворяет условию регулярности для теоремы существования единственности. В задаче спрашивается, каким должен быть y0, если предел максимального решения при иксе, стремящемся к плюс бесконечности, равняется единице.

Учитывая, что в этой постановке заложено, чтобы решение было определённо до плюс бесконечности и то, что уравнение является однородно линейным, по общей формуле особое решение будет иметь вид: y = c * e arctgx . Игрек нулевое не может равняться нулю, ведь в ином случае решением уравнения будет тождественный ноль и заданное условие выполняться не будет. В итоге получится, что y = y0 * e arctgx . Это решение и является подходящей функцией для любого интервала.

Операционный метод

Решение задачи Коши (примеров) целесообразно выполнять экономичным методом интегрирования линейных выражений, содержащих постоянные коэффициенты. Суть способа сводится к решению алгебраических равенств или неравенств. Алгоритм исследования заключается в следующих действиях:

1. Функции Y (p) и F (p) обозначают как изображения для y (x) и f (x).
2. Используя главные преобразования Лапласа, обрабатывая изображения, получают (pn (Yp) — p n -1 y 0 — …- yn -1) + a 1 (p n -1 y (p) — p n -2 y 0 — … — yn -2) + … + anY (p) = F (p) или, A (p)Y (p)+B (p) = F (p), причём A (p) и B (p) являются многочленами.
3. Найденное решение y (p) = (F (p) — B (p)) / A (p) и будет искомым y (x) для искомого y (p).

Например, пусть необходимо решить уравнение вида: x» + 4x = sin (2t), при x (0) = 1, x'(0) = -2. Классическим методом находить ответ довольно трудоёмко, поэтому имеет смысл для заданного уравнения использовать операционное исчисление. Для начала следует ввести замену Lx = x. Затем к обеим частям равенства применить преобразование Лапласа: Lx » + L 4 x = L * sin (2 t). Отсюда: Lx = x, Lx » = p 2 x — px (0) — x'(0). Функция Лапласа используется для преобразования вещественной переменной в выражение с комплексной переменной и наоборот. Это и позволяет использовать её при решениях дифференциальных уравнений и систем.

На следующем этапе нужно подставить исходные данные в равенство: Lx» = p 2 x — p + 2. Далее, следует выполнить преобразование и выразить неизвестную функцию. В итоге должно получиться выражение: X = (p 3 — 2 p 2 — 4 p — 6) / (p 2 + 4) 2 . Теперь можно найти оригинал изображений: x = L-1 <(p3 — 2p2 + 4p — 6) / (p2+4)2)>= cos (2t) — sin (2t) + (sin (2t) — 2tcos (2t))/8.

Использование онлайн-калькулятора

Часто решение задач по рассматриваемой теме связано с большими трудозатратами. Это касается времени и повышенного внимания. На практике не всегда получается правильно применить алгоритм и избежать ошибок. Поэтому имеет смысл для сложных заданий использовать онлайн-калькулятор. Решения на задачу Коши с его помощью доступны любому заинтересованному, имеющему доступ к интернету и устройство, поддерживающее работу веб-обозревателя.

В интернете существует довольно большое количество различных математических онлайн-решителей. В своём большинстве они бесплатны и ориентированы на работу даже с людьми, совершенно не разбирающимися в тематике. Поэтому они привлекательны не только как инструмент, предоставляющий быстрый и правильный ответ на поставленную задачу, но и как обучающие программы.

Всё дело в том, что на страницах сервисов, предлагающих такого рода услуги, содержится вся необходимая теоретическая информация. Кроме этого, они предлагают к рассмотрению типовые примеры с подробным объяснением решения. Из онлайн-калькуляторов, предоставляющих бесплатный доступ к своим услугам в русском сегменте интернета, можно отметить следующие:

1. Math.semestr.
2. Allcalc.
3. Kontrolnaya-rabota.
4. Matematikam.
5. Primat.

Приведённые сервисы помогают без труда найти студентам решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Для этого в предлагаемую форму необходимо записать дифуравнение и через запятую начальные данные. Затем просто нажать интерактивную кнопку «Решить» и через некоторое время на экране дисплея отобразится ответ.

Для правильной записи уравнения существуют подсказки, так что разобраться, как работает сайт, сможет пользователь даже со слабой компьютерной подготовкой. Кроме этого, некоторые сервисы предлагают не просто ответ, а и пошаговое решение, к которому даётся комментарий. Решив несколько заданий, учащийся сможет разобраться в алгоритме и вычислять уравнения уже самостоятельно.

Следует отметить, что предложенные сервисы могут находить ответ для любой сложности математической задачи, например, вычисляя устойчивость математических моделей. Они также востребованы в инженерии и научных исследованиях, связанных с анализом функций. Для таких расчётов важны точность и время, что вполне могут обеспечить математические онлайн-сервисы.