Дифференциальные уравнения по ряду маклорена

Дифференциальные уравнения по ряду маклорена

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Решение пределов, используя ряд Тейлора

Метод решения

Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов является разложение функций в степенной ряд Тейлора. Применение этого метода состоит из следующих шагов.
1) Приводим неопределенность к виду 0/0 при переменной x , стремящейся к нулю. Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной.
2) Раскладываем числитель и знаменатель в ряд Тейлора в окрестности точки x = 0 . При этом выполняем разложение до такой степени x n , которая необходима для устранения неопределенности. Остальные члены включаем в o ( x n ) .

Этот метод применим, если после выполнения пункта 1), функции в числителе и знаменателе можно разложить в степенной ряд.

Выполнять разложение сложных функций и произведения функций удобно по следующей схеме. А) Задаемся показателем степени n , до которого мы будем проводить разложение.
Б) Применяем приведенные ниже формулы разложения функций в ряд Тейлора, сохраняя в них члены до включительно, и отбрасывая члены с при , или заменяя их на .
В) В сложных функциях делаем замены переменных так, чтобы аргумент каждой ее части стремился к нулю при . Например,
.
Здесь при . Тогда можно использовать разложение функции в окрестности точки .

Примечание. Разложение функции в ряд Тейлора, в окрестности точки , называется рядом Маклорена. Поэтому для применяемых в наших целях рядов уместны оба названия.

Применяемые свойства о малого

Определение и доказательство свойств о малого приводится на странице: «О большое и о малое. Сравнение функций». Здесь мы приводим свойства, используемые при решении пределов разложением в ряд Маклорена (то есть при ).

Далее m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.

Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Далее приводятся разложения элементарных функций в степенной ряд при . Как мы упоминали ранее, ряд Тейлора в окрестности точки называется рядом Маклорена.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов с помощью ряда Тейлора.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Все примеры ⇑ Вычислить предел последовательности, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Это неопределенность вида бесконечность минус бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого выполняем преобразования.

.
Здесь мы учли, что номер элемента последовательности n может принимать только положительные значения. Поэтому . Делаем замену переменной . При . Будем искать предел считая, что x – действительное число. Если предел существует, то он существует и для любой последовательности , сходящейся к нулю. В том числе и для последовательности .

.
Раскладываем функцию в числителе в ряд Тейлора. Применяем формулу:
.
Оставляем только линейный член.
.
.
Здесь мы учли, что поскольку существует двусторонний предел , то существуют равные ему односторонние пределы. Поэтому .

Пример 2

Все примеры ⇑ Показать, что значение второго замечательного предела можно получить, используя разложение в ряд Тейлора.

Делаем замену переменной . Тогда . При . Подставляем.
.

Для вычисления предела можно считать, что значения переменной t принадлежат любой, наперед выбранной, проколотой окрестности точки . Мы полагаем, что . Используем то, что экспонента и натуральный логарифм являются обратными функциями по отношению друг к другу. Тогда
.

Вычисляем предел в показателе, используя следующее разложение в ряд Тейлора:
.
.

Поскольку экспонента является непрерывной функцией для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Пример 3

Все примеры ⇑ Вычислить предел, используя разложение в ряд Тейлора.
.

Это неопределенность вида 0/0 . Используем следующие разложения функций в окрестности точки :
;
;
.

Раскладываем с точностью до квадратичных членов:
;
.
Делим числитель и знаменатель на и находим предел:
.

Пример 4

Все примеры ⇑ Решить предел с помощью ряда Тейлора.
.

Легко видеть, что это неопределенность вида 0/0 . Раскрываем ее, применяя разложения функций в ряд Тейлора. Используем приведенное выше разложение для гиперболического синуса ⇑:
(П4.1) .
В разложении экспоненты, заменим x на –x :
(П4.2) .
Далее, – сложная функция. Сделаем замену переменной . При . Поэтому мы можем используем разложение натурального логарифма в окрестности точки . Используем приведенное выше разложение, в котором переименуем переменную x в t :
(П4.3) .

Заметим, что если бы у нас была функция , то при . Поэтому подставить в предыдущее разложение нельзя, поскольку оно применимо в окрестности точки . В этом случае нам потребовалось бы выполнить следующее преобразование:
.
Тогда при и мы могли бы применить разложение (П4.3).

Попробуем решить предел, выполняя разложение до первой степени переменной x : . То есть оставляем только постоянные члены, не зависящие от x : , и линейные . Остальные будем отбрасывать. Точнее переносить в .
;
;
.
Поскольку , то в разложении логарифма мы отбрасываем члены, начиная со степени 2. Применяя, приведенные выше свойства о малого имеем:

.
Подставляем в предел:

.
Мы снова получили неопределенность вида 0/0 . Значит разложения до степени не достаточно.

Если мы выполним разложение до степени , то опять получим неопределенность:
.

Выполним разложение до степени . То есть будем оставлять только постоянные члены и члены с множителями . Остальные включаем в .
;
;

;

.
Далее замечаем, что . Поэтому в разложении логарифма нужно отбросить члены, начиная со степени , включив их в . Используем разложение (П4.3), заменив t на :

.

Подставляем в исходную функцию.

.
Находим предел.
.

Пример 5

Все примеры ⇑ Найти предел с помощью ряда Тейлора.
.

Будем проводить разложение числителя и знаменателя в ряд Маклорена до четвертой степени включительно.

Теперь переходим к числителю. При . Поэтому сделать подстановку и применить разложение для нельзя, поскольку это разложение применимо при , а у нас . Заметим, что . Поэтому выполним преобразование.
.
Теперь можно сделать подстановку , поскольку при .

Разложим функцию и ее степени в ряд Тейлора в окрестности точки . Применяем приведенное выше разложение ⇑.
;
;

;
;
;
;
Далее заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Разложим второй логарифм. Приводим его к виду , где при .
,
где .

Разложим z в ряд Тейлора в окрестности точки с точностью до .
Применим разложение синуса ⇑:
.
Заменим x на :
. Тогда
;

;
Заметим, что . Поэтому, чтобы получить разложение сложной функции с точностью до , нам нужно разложить с точностью до .

Раскладываем с точностью до и учитываем, что .

;
.

Подставляем разложение числителя и знаменателя и находим предел.
;
.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 29-04-2019

Дифференциальные уравнения по ряду маклорена

Сходящиеся степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью вычисляют приближенные значения функций, пределы некоторых функций и «неберущиеся» или сложные для вычисления интегралы с заданной точностью, а также интегрируют дифференциальные уравнения.

1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть требуется вычислить значение функции f ( x ) при x = x ₀ с заданной точностью ε>0. Предположим, что для функции в окрестности точки x ₀ имеет место теорема 3.27, то есть применима формула Тейлора (3.52) главы III с остаточным членом (3.54) в форме Лагранжа. При x ₀ = 0 получим ряд Маклорена, обозначенный ранее формулой (3.55):

Примечание. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный для функции f ( x ), либо расходится, либо сходится не к функции f ( x ). Говорят, что такая функция в ряд Маклорена не раскладывается

Вспомним разложения по формуле Маклорена некоторых элементарных функций, обозначенных в главе III (3.57) – (3.61), на основе которых приведём соответствующие разложения в степенной ряд:

областью сходимости рядов (9.15), (9.16), (9.17) является вся числовая прямая (–∞;+∞) ;

После выяснения сходимости на концах интервала областью сходимости ряда (9.18) является полуинтервал (–1;1].

с интервалом сходимости (–1;1) ; на концах интервала при x =± 1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m .

Пример 9.9. Найти sin 28 0 с точностью до 0,0001.

Решение . Переведем 28 0 в действительное число. Составим пропорцию . Отсюда получим . Согласно формуле (9.15)

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям теоремы 9.8 Лейбница. Так как четвертый член ряда меньше заданной точности 0,0000013 sin 28 0 с точностью до 0,0001 достаточно первых трех членов ряда. Окончательно получаем .

Значение sin 28 0 , вычисленное с помощью калькулятора равно 0,46923, найденное по таблице Брадиса равно 0,4695

Примечание . В случаях знакопеременных или знакоположительных рядов составляют ряд из абсолютных величин членов и стараются подобрать положительный ряд с большими членами (часто таким рядом является сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. В качестве оценки погрешности берут величину остатка этого нового ряда

2. Приближенное вычисление пределов функций

Применение степенных рядов к приближенному вычислению пределов различных функций является либо альтернативным методом решения, либо позволяет найти пределы, другими способами не вычисляемые. Чтобы проиллюстрировать последний случай, рассмотрим пример.

Пример 9.10. Найти предел функции .

Решение. В главе III нами были рассмотрены различные способы вычисления пределов функций с помощью замечательных пределов (пункт III.2) и теоремы 3.21 Лопиталя (пункт III.5). Однако для нахождения заданного предела данные методы решения не применимы, так как функция под пределом содержит одновременно экспоненциальную и тригонометрические функции, а в процессе дифференцирования по правилу Лопиталя числитель и знаменатель дроби усложняются.

Вычислим заданный предел путем разложения в степенные ряды все функции, содержащиеся под пределом. При этом возьмем столько членов разложений, чтобы наибольшая степень переменной равнялась четырем, так как x → 0 и x 4 дает точность вычислений не менее 0,0001.

После применения формул (9.15)-(9.17) получим:

3. Приближенное вычисление определенных интегралов

Пусть требуется вычислить с точностью до ε>0. Для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в тех случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции либо нахождение первообразной сложно или трудеёмко, также применяются сходящиеся бесконечные ряды.

Если подынтегральную функцию f ( x ) можно разложить в ряд по степеням x и интервал сходимости (– R ; R ) включает в себя отрезок [ a ; b ], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяются так же, как и при вычислении значений функций.

Пример 9.11. Вычислить , с точностью до 0,001.

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменив в разложении (9.15) функции sin x аргумент x на , имеем:

Полученный ряд сходится абсолютно по теореме 9.8 (проверить самостоятельно). Так как четвертый его член по абсолютной величине 0,00011

Пример 9.12. Вычислить интеграл при с точностью до 0,0001.

Решение . Разложим по (9.17) подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя x на (– x 3 ):

На отрезке проинтегрируем данное равенство:

Получили знакочередующийся ряд, сходящийся по признаку Лейбница (теорема 9.8). Так как требуемая точность вычислений составляет 0,0001 и четвертый член ряда по модулю 0,000016 меньше 0,0001, то достаточно сложить первые три слагаемые:

4. Приближенное решение дифференциальных уравнений

В главе III.5 (схема 32) был рассмотрен механический смысл производной функции одной переменной. Если уравнение траектории движения материальной точки описывается уравнением y = f ( x ), то скорость движения − это , а ускорение − . Ряд задач, встречающихся на практике, описывают движение некой механической системы уравнениями, которые одновременно содержат все эти три характеристики − , то есть приводят к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Если способ решения дифференциального уравнения слишком сложен или искомое решение не выражается через элементарные функции в конечном виде, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом (3.52) Тейлора. Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Пусть, необходимо решить уравнение второго порядка

4.1. Метод последовательного дифференцирования ДУ. Будем искать решение y=y(x) уравнения (9.20) в виде ряда Тейлора по степеням x – x ₀ :

Алгоритм решения следующий:

1) первые два коэффициента ряда берем из начальных условий (9.21);

2) третий коэффициент находим из самого уравнения (9.20), подставляя в него начальные условия ;

3) значения последующих коэффициентов , … вычисляем последовательным дифференциро-ванием заданного уравнения (9.20) по x и подстановкой в найденную производную всех полученных до этого значений при x = x ₀ ;

4) процесс дифференцирования продолжаем вплоть до определения членов ряда, количество которых обычно задается условием задачи;

5) найденные значения производных подставляем в разложение (9.22).

Ряд (9.22) представляет собой искомое частное решение уравнения (9.20) для всех значений переменной x, принадлежащих его области сходимости. Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением заданного ДУ.

Примечание . Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений произвольного n -го порядка. В этом случае коэффициенты первых n членов разложения берут из n заданных начальных условий; следующий ( n + 1)-ый коэффициент − из самого уравнения при подстановке в него начальных условий; с ( n + 2)-го члена ряда начинают процесс дифференцирования

Пример 9.13. Методом последовательного дифференцирования найти шесть первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения .

Решение . Будем искать решение уравнения в виде степенного рада по степеням x + 1:

По условию y ( – 1)=2 , . Находим , подставив x = –1 в исходное уравнение . Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное по условию уравнение:

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получаем:

4.2. Метод неопределенных коэффициентов применяется для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами вида

Приближенное решение уравнения (9.23) возможно лишь в предположении, что коэффициенты и свободный член f ( x ) разлагаются в ряды по степеням x – x ₀ , сходящиеся в некотором интервале ( x ₀ – R ; x ₀ + R ). Тогда искомое решение y = y ( x ) ищется в виде степенного ряда

с неопределенными коэффициентами, количество членов которого обычно задано по условию.

Приведем краткий алгоритм решения:

1) первый коэффициент находят из уравнения при первом начальном условии y ( x ₀ )= y ₀ = c ₀

2) дифференцируют ряд (9.25)

3) второй коэффициент находят из (9.26) при втором начальном условии , после чего ряд (9.25) принимает вид

4) вычисляют вторую производную , дифференцируя ряд (9.26);

5) подставляют найденные в исходное уравнение, одновременно коэффициенты и свободный член f ( x ) заменяют их разложениями в степенные ряды;

6) раскрывают скобки, приводят подобные слагаемые и сравнивают коэффициенты при одинаковых степенях переменной x ;

7) из полученных уравнений находят неизвестные коэффициенты c_i и подставляют их найденные значения в искомый ряд (9.25).

Построенный ряд (9.25) сходится в том же интервале ( x ₀ – R ; x ₀ + R ) и является приближенным решением заданного уравнения (9.23).

Примечание . Для решения линейных ДУ с переменными коэффициентами произвольного n -го порядка их дифференцирую n раз, то есть столько раз, каков порядок заданного уравнения.

Пример 9.14. Найти первые семь членов разложения в ряд приближенного решения дифференциального уравнения , используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение . Будем искать приближенное решение заданного уравнения в виде степенного ряда по степеням переменной x :

с учетом начальных условий

Продифференцируем дважды равенство (9.27):

Коэффициенты заданного уравнения p ₁ ( x )= – x , p ₂ ( x )=1. Разложим его правую часть в степенной ряд:

Подставим производные , функцию (9.27) и правую часть (9.28) в исходное уравнение, получим:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной в обеих частях последнего равенства:

Найденные значения коэффициентов подставим в разложен ие искомого решения (9.27):

. Очевидно, что приближенным решением заданного уравнения является функция y = cos x