Дифференциальные уравнения примеры решений замена переменной

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Математический анализ
• Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Замена переменных в дифференциальных выражениях.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Часто в дифференциальных выражениях входящие в них производные по одним переменным необходимо выразить через производные по новым переменным.

Примеры.

7.165. Преобразовать уравнение $$x^4\frac+2x^3\frac-y=0,$$ полагая $x=\frac<1>.$

Решение.

Подставим найденные значения производных и выражение $x=\frac<1>$ в заданное уравнение.

Ответ: $\frac-y=0.$

7.167. Преобразовать уравнение $$3\left(\frac\right)^2-\frac\frac-\frac\left(\frac\right)^2=0,$$ приняв $y$ за аргумент.

Решение.

Выразим производные от $y$ по $x$ через производные от $x$ по $y:$ $$\frac=\frac<1><\frac>,$$

Подставим полученные выражения производных в заданное уравнение. Получаем

Таким образом, получили ответ.

7.168. Преобразовать уравнение $$(xy’-y)^2=2xy(1+y’^2),$$ перейдя к полярным координатам.

Решение.

$$dx=\cos\varphi dr-r\sin\varphi d\varphi,\qquad dy=\sin\varphi dr+r\cos\varphi d\varphi,$$

$$r^4 d\varphi^2=r^2\sin2\varphi dr^2+r^4\sin 2\varphi d\varphi^2\Rightarrow$$

$$\sin2\varphi dr^2=(1-\sin 2\varphi)r^2 d\varphi^2 \Rightarrow\left(\frac\right)^2=\frac<1-\sin 2\varphi> <\sin 2\varphi>r^2\Rightarrow$$

7.170. Преобразовать уравнение $$(x+y)\frac<\partial z><\partial x>-(x-y)\frac<\partial z><\partial y>=0,$$ перейдя к новым независимым переменным $u$ и $v,$ если $u=\ln\sqrt,\,\, v=arctg\frac.$

Решение.

Выразим частные производные от $z$ по $x$ и $y$ через частные производные от $z$ по $u$ и $v.$

Подставим найденные выражения производных в заданное уравнение:

7.174. Преобразовать уравнение $$(xy+z)\frac<\partial z><\partial x>+(1-y^2)\frac<\partial z><\partial y>=x+yz,$$ приняв за новые независимые переменные $u=yz-x,\,\, v=xz-y$ и за новую функцию $w=xy-z.$

Решение.

$$ ydx+xdy-dz =\frac<\partial w><\partial u>\cdot \left(-dx+zdy+ydz\right) +\frac<\partial w><\partial v>\cdot \left(zdx+xdz-dy \right)\Rightarrow$$

Подставим найденные выражения $\frac<\partial z><\partial x>$ и

$\frac<\partial z><\partial y>$ в заданное уравнение. Получим

Примеры дифференциальных уравнений с решениями

• Попробуйте решить приведенные ниже дифференциальные уравнения.
• Нажмите на изображение уравнения, и вы попадете на страницу с подробным решением.

Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка

Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков

Найти общее решение дифференциального уравнения, или решение с заданными начальными условиями.

Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка

Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность
, .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 28-01-2016 Изменено: 26-11-2021

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

Далее интегрируем полученное уравнение:

В данном случае интегралы берём из таблицы:

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

Если – это константа, то

0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

Получаем общее решение:

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

можно выразить функцию в явном виде.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

Подставим полученное частное решение

и найденную производную в исходное уравнение

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Задание

Найти общий интеграл уравнения

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Ответ

Задание

Найти частное решение ДУ.

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

Подставляем в общее решение

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

Левую часть интегрируем по частям:

В интеграле правой части проведем замену:

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

Ответ

Задание

Решить дифференциальное уравнение

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: