Дифференциальные уравнения равновесия для осесимметричного напряженного состояния

Дифференциальные уравнения равновесия для осесимметричного напряженного состояния

Решение дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности

Этот метод заключается в совместном решении системы из дифференциальных уравнений равновесия и уравнения, выражающего условие пластичности. Уравнения пишут в форме (для объемного, осесимметричного, плоского напряженного состояний, плоского деформированного состояния) и в координатах (прямоугольных, цилиндрических, полярных, сферических), отвечающих условиям рассматриваемой конкретной задачи.
Произвольные постоянные определяют из граничных условий. При наличии трения необходимо задать условия трения, определяющие касательные напряжения на поверхностях контакта. Условия трения принимают практически только в двух формах: либо контактные касательные напряжения считают независимыми от координаты, по которой они направлены, т. е. постоянными [см. выражение (5.46)], либо их считают пропорциональными нормальным напряжениям на поверхности контакта. Если задача представляется статически неопределимой, то дополнительно используют уравнения-связи между напряжениями и деформациями и уравнения неразрывности деформаций.
Решение в принципе должно дать величину и распределение напряжений по всему объему тела, т. е. значения напряжений как функции координат точек тела, в том. числе и. лежащих на поверхности, непосредственно воспринимающей, активное усилие. К сожалению, такое решение возможно лишь в отдельных частных случаях и то при отсутствии (или в предположении отсутствия) сил трения на контактных поверхностях.
Разберем теперь возможности решения дифференциальных уравнений равновесия для ^различных видов пластически напряженного состояния.
При объемном напряженном состоянии мы располагаем тремя уравнениями равновесия (3.38), в которые входят шесть неизвестных (три нормальных и три касательных напряжения) и условие пластичности (5.5), заключающее те же неизвестные. В этом случае в четырех уравнениях шесть неизвестных, и задача дважды статически неопределима. Дополнительно можно использовать уравнения связи между напряжениями и деформациями и уравнения неразрывности деформаций, которые внесут, однако, новые неизвестные (шесть деформаций и модуль пластичности). В результате можно получить 13 уравнений с 13 неизвестными [3]. Однако, несмотря на то, что количество неизвестных будет соответствовать числу уравнений, практически решение этой системы невозможно. Таким образом, объемная задача в общем виде (шесть напряжений, каждое из которых есть функция трех координат) является пока неразрешимой. Для осесимметричного напряженного состояния есть два уравнения равновесия (3.39), содержащие четыре неизвестных, и условие пластичности (5.14), в которое входят те же неизвестные. Таким образом, осесимметричная задача так же, как и объемная, статически неопределима, и для решения ее требуется привлечение уравнений связи между напряжениями и деформациями (четыре уравнения, которые внесут четыре новых неизвестных) и уравнение совместимости деформаций. Всего получим восемь уравнений с восемью неизвестными. Отсюда следует, что осесимметричная задача значительно проще объемной. Однако точные замкнутые решения этой задачи существуют только для отдельных частных случаев, когда касательное напряжение на контактной поверхности или отсутствует, или зависит только от одной из двух координат, входящих в условия равновесия.
Для плоского напряженного и плоского деформированного состояний располагаем двумя уравнениями равновесия (3.50) в декартовых координатах или (3.51) в полярных координатах и условием пластичности (5.10) или (5.12). В этих трех уравнениях содержится три неизвестных. Таким образом, число уравнений соответствует числу неизвестных. Тем не менее для системы уравнений этой задачи существуют точные замкнутые решения тоже лишь для частных случаев при касательных напряжениях на контактной поверхности, равных нулю или не зависящих от одной из двух координат, входящих в уравнения равновесия.
К числу осесимметричных и плоских задач, для которых метод интегрирования дифференциальных уравнений равновесия совместно с условием пластичности дает при вышеуказанных предпосылках точные замкнутые решения, например, относятся: пластическое равновесие толстостенной трубы под действием внутреннего и внешнего давлений (А. Надаи), сжатие бесконечной полосы между шероховатыми плитами при тк = const (Л. Прандтль [103]), сжатие клина, равновесие пластической массы, заполняющей форму конуса (В. В. Соколовский [911), осадка без трения толстостенной трубы, замкнутой в матрицу, и др.

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ДЛЯ ОБЪЕМНОГО

НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Величина напряжений в теле, нагруженном силами и находя­щемся в равновесии, в общем случае непрерывно изменяется от точки к точке, т. е. напряжения являются непрерывными функ­циями координат. Выделим в напряженном теле элементарный параллелепипед (рис. 3.10) с гранями, параллельными коорди­натным плоскостям, и выясним, какие существуют условия, обеспечивающие его равновесие.

Пусть одна из напряженных точек а с координатами х, у, z отображается гранями параллелепипеда abcd, adb’c’ и ac’d’b. Вторая точка отстоит от на бесконечно малое расстояние, и соответственно этому координаты ее будут х + dx, у + dy и z + dz. Эта точка отображается гранями параллелепипеда a’b’c’d’, a’d’bc и a’cdb’. Понятно, что размеры ребер параллеле­пипеда равны dx, dy и dz.

Рис.3.10. Напряжения на гранях элементарного параллелепипеда

Пусть напряженное состояние точки определяется тензором напряжений

Напряжения в точке ‘ отличаются от напряжений в точке на бесконечно малые величины. Пренебрегая членами высших порядков, можно принять, что приращение каждого напряжения выражается частным дифференциалом по той координате, по которой переместилась площадка действия данного напряжения, т. е. по координате, указываемой индексом адреса напряжения. Тогда тензор напряжений для точки ‘

Усилия, действующие по граням параллелепипеда, равны напряжениям, умноженным на площади соответствующих гра­ней, указываемых индексами адреса напряжения.

Составляем условия равновесия, взяв суммы проекций всех сил на оси координат и приравнивая эти суммы нулю.

Раскрывая скобки и сокращая на dxdydz, получим

Суммы проекций на оси и можем написать по аналогии.

В результате получим

(3.38)

Таким образом, мы получили условия равновесия для объем­ного напряженного состояния в виде дифференциальных урав­нений в частных производных.

Эти условия обязательны для всех точек деформируемого тела.

Напряжения меняются по объему тела, и в элементах, выхо­дящих на поверхность, их величина должна быть такой, чтобы уравновешивать внешнюю нагрузку, действующую на поверх­ностную грань [5], т.е. удовлетворять поверхностным усло­виям или условиям на контуре.

Связать напряжение в бесконечно малом элементе тела, вы­ходящем на его поверхность, с внешней нагрузкой можно, исполь­зуя уравнения (3.3). Действительно, в общем случае элементар­ный участок поверхности тела можно рассматривать как наклон­ную грань элементарного тетраэдра.

Три дифференциальных уравнения равновесия (3.38) содер­жат шесть неизвестных (учитывая, что касательные напряжения попарно равны между собой), и, следовательно, для их решения требуются дополнительные уравнения. Таким образом, объем­ная задача в общем случае является статически неопределимой.

3.11. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Одним из частных случаев объемного напряженного состоя­ния, весьма часто встречающимся при обработке металлов давле­нием, является осесимметричное напряженное состояние.

Под этим видом напряженного состояния подразумевается напряженное состояние тела вращения, к поверхности или части поверхности которого приложены распределенные нагрузки, рас­положенные симметрично относительно его оси и одинаковые во всех меридиональных сечениях (рис. 3.11а). Примерами могут служить осадка цилиндрической заготовки, ее прошивка, выдав­ливание (прессование), волочение и др.

При рассмотрении осесимметричного напряженного состояния весьма удобно пользоваться взамен декартовых цилиндрическими координатами, в которых положение любой точки А определяется радиусом-вектором , полярным углом , отсчитываемым от оси (х)и аппликатой , как представлено на рис. 3.11б, где а — проекция точки А на плоскость, перпендикулярную к оси , проходящую через точку О. Обозначения напряжений в цилиндри­ческих координатах и форма элемента показаны на рис. 3.13.

Тензор напряжений в цилиндрических координатах запишется так:

Рис.3.11. Осесимметричное напряженное состояние

Напряжение называют радиальным, — тангенциаль­ным, а — осевым.

При осесимметричном напряженном состоянии компоненты напряжений не зависят от координаты , и, следовательно, все производные по этой координате в дифференциальных уравне­ниях равновесия обратятся в нуль. Кроме того, в меридиональ­ных плоскостях (плоскостях, проходящих через ось , т. е. пло­скостях ) не могут возникнуть касательные напряжения вслед­ствие симметричности тела и симметрии внешней нагрузки.

Рис. 3.12. Форма элемента и напряжения в цилиндрической

Системе координат

Поэтому с учетом закона пар­ности касательных напряжений

Следо­вательно, напряжение всегда будет главным, т. е. , a ось может иметь любое направ­ление в плоскости (т. е. в пло­скости, нормальной к оси ).

Таким образом, компоненты напряжений при осесимметричном напряженном состоянии можно записать так:

Рис. 3.13. Напряжения, действующие на элемент при осесимметричном

Напряженном состоянии

Всего будет три нормальных и два равных между собой каса­тельных напряжения.

Применяя тот же метод, который был использован при рас­смотрении объемного напряженного состояния в декартовых коор­динатах (стр. 100), выведем дифференциальные уравнения рав­новесия в цилиндрических координатах для осесимметричного напряженного состояния.

Действующие напряжения показаны на рис. 3.14. Ось , как сказано ранее, можно провести в любом направлении на плоскости z. Для удобства вычисления на рис. 3.14 эта ось про­ведена так, что плоскость является плоскостью симметрии выделенного элементарного объема.

Площади элементарных площадок

= пл. abcd = dz;

= пл. a’b’c’d’ =

= пл. a’d’bc = ;

= пл. a’cdb’ — пл. ac’d’b = .

Запишем условия равновесия, проецируя все действующие на элемент силы на оси

и , принимая

(a)

Рис.3.14. Сферическая система координат

(б)

После алгебраических преобразований и сокращений, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим

(3.39)

При решении некоторых осесимметричных задач в дальнейшем придется встретиться кроме цилиндрических координат со сфе­рическими. В этой системе (рис. 3.15) положение точки опреде­ляется радиус-вектором и двумя углами и , определяю­щими его положение в пространстве. Угол отсчитывается от оси (аналогичен географической широте), а угол отсчитывается от некоторой оси в плоскости, нормальной к оси и проходящей через центр О системы (аналогичен географической долготе). Обозначения напряжений в сферических координатах получим, заменив индекс в обозначениях, данных для цилиндрической системы, индексом .

При осесимметричном напряженном состоянии напряжения не зависят от координаты , а касательные напряжения, содер­жащие в индексе эту координату, т. е. и , равны нулю.

Дифференциальные уравнения равновесия для осесимметричного напряженного состояния в сферических координатах при­ведем без вывода:

‘

Дифференциальное уравнение равновесия.

В теле, находящемся в напряженном состоянии, величина на­пряжений изменяется от точки к точке и является непрерывной функцией координат. Определим условия равновесия бесконечно малого параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, параллельными осям координат х, у, z (рис. 10), не являющимся главными. На­пряженное состояние точки а с координатами х, у, z определяет­ся напряжениями, действующими на гранях abcd, adb’c’ и abd’c’, и соответствующим им тензором напряжений:

Напряженное состояние в точке а’ определяется напряжени­ями, действующими на площадках . Эти напряжения отличаются от соответствующих напряжений в точ­ке а бесконечно малыми значениями. Интенсивность изменения напряжений при переходе от точки а к точке а’ по какой-либо оси выражается частной производной этого напряжения по соответ­ствующей координате. Так, интенсивность изменения по х

Рис. 11. Напряжения на гранях бесконечно малого параллелепипеда

После раскрытия скобок и сокращения на dxdydz получаем одно из уравнений равновесия. Проектируя силы на оси х, у и z, получаем дифференциальные уравнения равновесия, которые содержат 9 неизвестных функций.

Благодаря свойству взаимности касательных напряжений, число неизвестных функций сокращается до 6 и все же задача определения напряжений является статически неопределимой. Для решения задачи вводят дополнительные уравнения, которые получают из рассмотрения физических свойств деформируемых материалов, в которых установлены зависимости между напряжениями и деформациями.

Дифференциальные уравнения равновесия являются основой при определении компонентов тензора напряжений в рассматриваемой точке пластически деформируемого тела.

ТОМД. Практические занятия по теме «Теория напряжений»

Некоторые понятия и формулы по теме «напряжения»

1) Октаэдрические напряжения .

Наряду с площадями, по которым действует σ и τ в теории ОМД рассматриваются площадки, равнонаклонённые к главным осям и следовательно отсекающие на них отрезки одинаковой длины. Эти площадки называются октаэдрическими. Всего таких площадок 8 , и вместе они образуют октаэдр. Эти площадки попарно взаимно параллельны , поэтому независимых площадок только 4. Напряжения действующие на октаэдрические площадки называют октаэдрическими: полное октаэдрическое напряжение Sокт;нормальное октаэдрическое: σ_окти касательное октаэдрическоенапряжение τ_окт.

S_окт= = среднему гидростатическому напряжению.

Нормальное октаэдрическое напряжение: σ_окт = σ_ср =

Октаэдрическое касательное напряжение τ_окт.

-главные касательные напряжения