Дифференциальные уравнения равновесия в механике деформируемых тел

Дифференциальное уравнение равновесия.

В теле, находящемся в напряженном состоянии, величина на­пряжений изменяется от точки к точке и является непрерывной функцией координат. Определим условия равновесия бесконечно малого параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz, параллельными осям координат х, у, z (рис. 10), не являющимся главными. На­пряженное состояние точки а с координатами х, у, z определяет­ся напряжениями, действующими на гранях abcd, adb’c’ и abd’c’, и соответствующим им тензором напряжений:

Напряженное состояние в точке а’ определяется напряжени­ями, действующими на площадках . Эти напряжения отличаются от соответствующих напряжений в точ­ке а бесконечно малыми значениями. Интенсивность изменения напряжений при переходе от точки а к точке а’ по какой-либо оси выражается частной производной этого напряжения по соответ­ствующей координате. Так, интенсивность изменения по х

Рис. 11. Напряжения на гранях бесконечно малого параллелепипеда

После раскрытия скобок и сокращения на dxdydz получаем одно из уравнений равновесия. Проектируя силы на оси х, у и z, получаем дифференциальные уравнения равновесия, которые содержат 9 неизвестных функций.

Благодаря свойству взаимности касательных напряжений, число неизвестных функций сокращается до 6 и все же задача определения напряжений является статически неопределимой. Для решения задачи вводят дополнительные уравнения, которые получают из рассмотрения физических свойств деформируемых материалов, в которых установлены зависимости между напряжениями и деформациями.

Дифференциальные уравнения равновесия являются основой при определении компонентов тензора напряжений в рассматриваемой точке пластически деформируемого тела.

ТОМД. Практические занятия по теме «Теория напряжений»

Некоторые понятия и формулы по теме «напряжения»

1) Октаэдрические напряжения .

Наряду с площадями, по которым действует σ и τ в теории ОМД рассматриваются площадки, равнонаклонённые к главным осям и следовательно отсекающие на них отрезки одинаковой длины. Эти площадки называются октаэдрическими. Всего таких площадок 8 , и вместе они образуют октаэдр. Эти площадки попарно взаимно параллельны , поэтому независимых площадок только 4. Напряжения действующие на октаэдрические площадки называют октаэдрическими: полное октаэдрическое напряжение Sокт;нормальное октаэдрическое: σ_окти касательное октаэдрическоенапряжение τ_окт.

S_окт= = среднему гидростатическому напряжению.

Нормальное октаэдрическое напряжение: σ_окт = σ_ср =

Октаэдрическое касательное напряжение τ_окт.

-главные касательные напряжения

iSopromat.ru

Уравнения равновесия (статики) характеризуют неподвижность заданной системы нагруженной комплексом внешних усилий.

При решении задач теоретической механики и сопротивления материалов (например, при определении опорных реакций или внутренних силовых факторов) исходя из условия неподвижности системы или ее частей, записываются уравнения равенства нулю сумм проекций всех сил на оси выбранной системы координат

что следует из условия отсутствия перемещения системы вдоль этих осей, и сумм моментов относительно произвольных точек системы

из условия отсутствия ее вращения относительно указанных осей.

Надо отметить что в случае действия плоской системы сил можно получить только три уравнения статики, а линейная схема нагружения позволяет записать лишь одно уравнение.

Пример составления уравнений равновесия

В качестве примера, рассмотрим общий случай пространственного нагружения, где комплекс усилий, включающий сосредоточенные силы F₁-F₆, равномерно распределенную нагрузку q, и момент m расположенный в плоскости перпендикулярной длинному стержню, удерживает L-образную систему в равновесии.

Обозначим характерные точки системы буквами A, B, C и D, зададим положение трехмерной системы координат xyz и запишем уравнения равновесия.

Суммы проекций сил

Сумма проекций всех сил на ось x (с учетом правила знаков для сил):

здесь при записи силы от распределенной нагрузки ее интенсивность q умножается на ее длину AB.

Суммы моментов

Суммы моментов всех нагрузок, например, относительно точки B (с учетом правила знаков для моментов):

• в плоскости xOy:
  
• в плоскости xOz:
  
• в плоскости yOz:
  

Из полученных шести уравнений можно определить не более шести неизвестных усилий.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах