Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Дифференциальные уравнения
- Высшая математика.
- Комплексные числа
Комплексные числа
Действия над комплексными числами.
Комплексные числа — числа вида $x+iy,$ где $x,y\in \mathbb
$\,i,$ такое число, что $ i^2=-1.$ Множество комплексных чисел
обозначается $\mathbb
Действия над комплексными числами.
Сложение комплексных чисел:
Умножение двух комплексных чисел:
Умножение комплексного числа на действительное:
$$\lambda(x+iy)=\lambda x+i\lambda y.$$
Деление комплексных чисел:
Действительные числа $x$ и $y$ комплексного числа $z=x+iy,$ называются действительной и мнимой частью числа $z$ и обозначаются, соответственно, $Re z=x$ и $Im z=y.$
Два комплексных числа $z_1=x_1+iy_1$ и $z_2=x_2+iy_2$ называются равными в том и только том случае, если $x_1=x_2,$ $y_1=y_2.$
Запись $z=x+iy$ называют алгебраической формой комплексного числа $z.$
Числа $z_1=x+iy$ и $z_2=x-iy$ называют сопряженными.
Примеры:
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.421. $(2+3i)(3-i).$
Решение:
Ответ: $9+7i.$
1.424. $(2i-i^2)^2+(1-3i)^3.$
Решение.
Ответ: $24+22i.$
Решение.
Ответ: $\frac<1><2>-\frac<3><2>i.$
Решение.
Ответ: $\frac<14><5>i.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1. 430. $(1+i)x+(-2+5i)y=-4+17i.$
Решение.
Ответ: $x=2; y=3.$
Домашнее задание.
Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраичекой форме:
1.422. $(1+2i)^2.$
Ответ: $-3+4i.$
1.423. $(1-i)^3-(1+i)^3.$
1.427. $\left(\frac<1-i><1+i>\right)^3.$
Найти действительные решения следующего уравнения:
1.431. $12((2x+i)(1+i)+(x+y)(3-2i))=17+6i.$
Решить следующие системы линейных уравнений:
1.432. $(3-i)z_1+(4+2i)z_2=1+3i;$
$(4+2i)z_1-(2+3i)z_2=7.$
1.433. $(2+i)z_1+(2-i)z_2=6;$
$(3+2i)z_1+(3-2i)z_2=8.$
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Множество действительных чисел можно рассматривать как подмножество комплексных чисел, у которых $Im z = 0.$
Можно также изображать комплексное число в виде радиус-вектора $\
Длина этого вектора называется модулем комплексного числа $$|z|=r=\sqrt
Значение аргумента, который принадлежит интервалу $(-\pi, \pi],$ называется главным значением аргумента и определяется $arg z.$ Главное значение аргументу числа $x+iy$ можно вычислять по формуле $\varphi= arg z=arctg\left(\frac
Формулы Эйлера и Муавра. Корень n-й степени с комплексного числа.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Формулы Эйлера:
Формула Муавра:
Если $z=re^, $ то $$z^n=r^ne^
$$z^n=r^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi).$$
Пусть $a=re^, \,\, a\neq 0,-$ фиксированное комплексное число. Тогда уравнение $z^n=a,\,\,\, n\in N,$ имеет в точности $n$ различных решений $z_0, z_1, . z_
Примеры:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\cos\varphi=\frac
Решение.
Известно, что $e^=\cos<\varphi>+i\sin\varphi.$ Соответственно, $e^<-i\varphi>=\cos<(-\varphi)>+i\sin(-\varphi)=\cos\varphi-i\sin\varphi.$
Отсюда находим $e^+e^<-i\varphi>=\cos\varphi+i\sin\varphi+\cos\varphi-i\sin\varphi=2\cos\varphi.$
Cледовательно, $\cos\varphi=\frac
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
1.485. $(1+i)^<10>.$
Решение.
Запишем число $z=1+i$ в показательной форме:
Поскольку число $z$ находится в первой четверти, то
Таким образом, мы можем записать число $z=1+i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$
Теперь, используя формулу Муавра можно найти $z^<10>:$
Ответ: $(1+i)^<10>=32i.$
1.491. Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ функцию$\cos 3\varphi.$
Решение.
$$+\left.\cos^3(-\varphi)-3i\cos^2(-\varphi)\sin(-\varphi)+3i^2\cos(-\varphi)\sin^2(-\varphi)-i^3\sin^3(-\varphi)\right)=$$ $$=\frac<1><2>\left(\cos^3<\varphi>+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)\right.-i\sin^3\varphi+$$ $$+\left.\cos^3\varphi+3i(1-\sin^2\varphi)\sin\varphi-3\cos\varphi(1-\cos^2\varphi)-i\sin^3\varphi\right)=$$ $$=\cos^3\varphi+3i\sin\varphi-3i\sin^3\varphi-3\cos\varphi+3\cos^3\varphi-i\sin^3\varphi=$$ $$=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$$
Ответ: $4\cos^3\varphi-3\cos\varphi+3i\sin\varphi-4i\sin^3\varphi.$
1.495. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.
Решение.
Запишем число 1 в показательной форме:
$1=1e^<0i>.$ То есть $r=1, \varphi=0.$
Далее, пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
Вычисляем корень третьей степени из единицы:
Вычисляем корень четвертой степени из единицы:
Ответ: Корни второй степени: $z_0=1;\,\, z_1 =-1.$ Корни третьей сепени: $z_0=1;\,\, z_1=-\frac<1><2>+i\frac<\sqrt 3><2>;\,\, z_2=-\frac<1><2>-i\frac<\sqrt 3><2>.$ Корни четвертой степени: $z_0=1;\,\, z_1=i;\,\, z_2=-1;\,\, z_3=-i.$
Найти все значения корней:
Решение.
Запишем число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме:
Поскольку число $z$ находится во второй четверти, то
Таким образом, мы можем записать число $z=-1+i\sqrt 3$ в показательной форме: $z=2 e^<3>>.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
Ответ: $\pm\frac<\sqrt 2><2>(1+i\sqrt 3)$
1.501. $\sqrt [5]<-1-i>.$
Решение.
Запишем число $z=-1-i 3$ в показательной форме:
Поскольку число $z$ находится в третьей четверти, то
Таким образом, мы можем записать число $z=-1-i$ в показательной форме: $z=\sqrt 2 e^<4>>.$
Пользуясь формулой Муавра вычисляем корень второй степени из единицы:
1.483. Доказать формулу Эйлера $\sin\varphi=\frac
Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:
Используя формулу Муавра, выразить через $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ следующие функции:
Пример комплексной подстановки при решении линейного неоднородного дифференциального уравнения
Метод понижения порядка линейного неоднородного дифференциального уравнения с комплексными корнями характеристического уравнения
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка:
(1) .
Мы полагаем, что коэффициенты этого уравнения являются действительными числами. Здесь мы рассматриваем случай, когда характеристическое уравнение
(2)
имеет комплексные корни.
Для решения уравнения (1), применим метод понижения порядка. Поскольку коэффициенты характеристического уравнения (2) являются действительными числами, то его комплексные корни являются попарно комплексно сопряженными. Пусть – два комплексно сопряженные корня: . Запишем исходное уравнение (1) в следующем виде:
(3) ,
где – оператор дифференцирования.
Обозначим:
.
Тогда уравнение (3) принимает следующий вид:
.
Сделаем подстановку:
(4) .
Получаем уравнение первого порядка с комплексным коэффициентом :
.
Или
(5) .
Решение этого уравнения имеет следующий вид (см. страницу метод понижения порядка ):
,
где – комплексная постоянная.
Далее замечаем, что поскольку исходное уравнение (1) имеет действительные коэффициенты, то переменная u и ее производная u′ должны быть действительными. Выразим комплексный корень через действительную и мнимую части:
.
Подставим в (4):
.
Извлекая мнимую часть, получаем:
.
Отсюда
.
Таким образом, в случае с комплексными корнями, один этап решения приводит к понижению порядка на две единицы.
Пример решения дифференциального уравнения
Решить уравнение
(П1) .
Перепишем уравнение в следующем виде:
.
Вводим обозначение :
.
Характеристическое уравнение
имеет комплексные корни: . Тогда
.
Переписываем исходное уравнение:
;
.
Делаем подстановку:
;
(П2) .
Тогда уравнение принимает вид:
;
(П3) .
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Ищем решение с помощью интегрирующего множителя. Умножим на и выполняем преобразования:
;
;
(П4) ,
где – комплексная постоянная; – действительные постоянные.
Вычисляем интеграл в (П4) с помощью подстановки .
.
Выразим арктангенс через логарифм, используя уравнение: .
;
.
Отсюда
(П5) .
Теперь в правой части (П6) нам нужно отделить вещественную и мнимую части. Мнимая часть уравнения (П6) и даст искомое решение y .
Для преобразования логарифма, используем формулу: . Далее замечаем, что . Тогда при имеем:
.
При :
.
Оба случая можно записать одной формулой:
,
где при нужно взять верхний знак ′+′; при – нижний знак ′–′.
Подставим в (П6) и выполним преобразования:
;
.
Переобозначим постоянную :
(П7) .
Теперь преобразуем экспоненту с помощью формулы Эйлера: , и выразим комплексную постоянную через действительную и мнимую части: . Подставляем в (П7):
.
Выполняем преобразования:
.
Тогда
.
Отделяем мнимую часть:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 20-07-2013 Изменено: 26-08-2020
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/lineinie_postoyannie_koeffitsienti/neodnorodnie_ponizhenie_poryadka/primer_kompleksnie/