Дифференциальные уравнения с обобщенными функциями

Обобщенные однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Как определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным

Для того, чтобы определить, является ли дифференциальное уравнение обобщенным однородным, нужно ввести постоянную t и сделать замену:
y → t α · y , x → t·x .
Если удастся выбрать такое значение α , при котором постоянная t сократится, то это – обобщенное однородное дифференциальное уравнение. Изменение производной y′ при такой замене имеет вид:
.

Пример

Определить, является ли данное уравнение обобщенным однородным:
.

Делаем замену y → t α · y , x → t·x , y′ → t α– 1 y′ :
;
.
Разделим на t α+ 5 :
;
.
Уравнение не будет содержать t , если
4 α – 6 = 0 , α = 3/2 .
Поскольку при α = 3/2 , t сократилось, то это обобщенное однородное уравнение.

Метод решения

Рассмотрим обобщенное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:
(1) .
Покажем, что оно приводится к однородному уравнению с помощью подстановки:
t = x α .
Действительно,
.
Отсюда
; .
Подставляем в исходное уравнение (1):
;
.

Это – однородное уравнение. Оно решается подстановкой:
y = z · t ,
где z – функция от t .
При решении задач, проще сразу применять подстановку:
y = z x α ,
где z – функция от x .

Пример решения обобщенного однородного дифференциального уравнения первого порядка

Решить дифференциальное уравнение
(П.1) .

Проверим, является ли данное уравнение обобщенным однородным. Для этого в (П.1) делаем замену:
y → t α · y , x → t·x , y′ → t α– 1 y′ .
.
Разделим на t α :
.
t сократится, если положить α = – 1 . Значит – это обобщенное однородное уравнение.

Делаем подстановку:
y = z x α = z x – 1 ,
где z – функция от x .
.
Подставляем в исходное уравнение (П.1):
(П.1) ;
;
.
Умножим на x и раскрываем скобки:
;
;
.
Разделяем переменные – умножим на dx и разделим на x z 2 . При z ≠ 0 имеем:
.
Интегрируем, пользуясь таблицей интегралов:
;
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную e C → C и уберем знак модуля, поскольку выбор нужного знака определяется выбором знака постоянной С :
.

Возвращаемся к переменной y . Подставляем z = xy :
.
Делим на x :
(П.2) .

Когда мы делили на z 2 , мы предполагали, что z ≠ 0 . Теперь рассмотрим решение z = xy = 0 , или y = 0 .
Поскольку при y = 0 , левая часть выражения (П.2) не определена, то к полученному общему интегралу, добавим решение y = 0 .

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 03-08-2012 Изменено: 24-06-2015

Обобщенные функции и их приложения к дифференциальным уравнениям

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Институт динамики систем и теории управления

Сибирского отделения Российской академии наук

Ученым советом Института

Протокол № 5 от 01.01.2001 г.

Председатель Ученого совета

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Обобщенные функции и их приложения к дифференциальным уравнениям

Специальность 01.01.02 – «Дифференциальные уравнения, динамические системы и

1.Цели и задачи дисциплины

Цель изучения дисциплины – формирование у аспирантов углубленных профессиональных знаний о роли теории обобщенных функций в задачах естествознания.

· изучить основные операции с обобщенными функциями и их свойства;

· изучить обобщенные постановки задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными;

· освоить с общих позиций понятие обобщенного решения дифференциального уравнения;

· подготовить аспирантов к применению полученных знаний для решения задач естествознания.

2. Место дисциплины в структуре ООП

Данная дисциплина относится к группе факультативных дисциплин (в соответствии с Федеральными государственными требованиями (ФГТ)).

Содержание дисциплины базируется на знаниях, приобретенных в курсах по теории математического анализа, теории обыкновенных дифференциальных уравнений; теории уравнений с частными производными.

3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

В результате изучения дисциплины аспиранты должны:

· иметь представление об обобщенных решениях дифференциальных уравнений; об основных операциях с обобщенными функциями; об обобщенных постановках краевых задач;

· знать основную терминологию теории обобщенных функций; теоремы об аппроксимации интегрируемых и непрерывных функций с помощью бесконечно дифференцируемых; преобразование Фурье обобщенных функций; обобщенные постановки задач дифференциальных уравнений;

· уметь решать задачи, связанные с техникой действий над обобщенными функциями; доказывать свойства обобщенных функций; ставить задачи в обобщенной постановке для дифференциальных уравнений.

4. Структура и содержание дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.

4.1. Структура дисциплины

Объем учебной работы (в часах)

Вид итогового контроля

Обобщенные функции и их приложения к дифференциальным уравнениям

Лабораторные занятия не предусмотрены.

4.2. Содержание дисциплины

4.2.1. Разделы дисциплины и виды занятий

Виды учебной работы и трудоемкость (в часах)

Обобщенные функции и действия над ними

Фундаментальные решения дифференциальных уравнений

Преобразования Фурье (основных функций; умеренных обобщенных функций; быстрорастущих обобщенных функций)

Теория Пэли-Винера. Свертка и преобразование Фурье

Проблема деления. Регуляризация. Методы вычитаний, выхода в комплексную область, метод степеней Рисса

Уравнения в выпуклом конусе. Операционное исчисление. Распространение особенностей и гладкость решений

Методы построения фундаментальных решений

Уравнения с постоянными коэффициентами в полупространстве

4.2.2 Содержание разделов дисциплины

Наименование раздела дисциплины

Обобщенные функции и действия над ними

Дифференцирование обобщенных функций. Замена переменных в обобщенных функциях. Носитель обобщенных функций. Сингулярный носитель обобщенных функций. Свертка обобщенных функций. Граничные значения аналитических функций. Пространство умеренных распределений.