Дифференциальные уравнения с периодическим решением

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Королёв В.С., Селицкая Е.А.

Сформулированы и доказаны теоремы об оценке числа периодических решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Королёв В.С., Селицкая Е.А.

PERIODIC SOLUTIONS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

In the paper, the authors formulate and prove theorems on the estimation for the number of periodic solutions of first-order differential equations.

Текст научной работы на тему «ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019 Математика. Механика. Информатика Вып. 3(46)

Периодические решения дифференциальных уравнений

Г. Г. Иванов, Г. В. Алфёров, В. С. Королёв, Е. А. Селицкая

Санкт-Петербургский государственный университет

Россия, 198504, Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский проспект, 35 g.alferov@spbu.ru; +7-911-246-57-87

Сформулированы и доказаны теоремы об оценке числа периодических решений дифференциальных уравнений первого порядка.

Ключевые слова: производное число; периодические решения, почти периодические решения; негладкий анализ, производные Дини-Гёльдера.

В работе развивается основанный на идеях функционального анализа метод исследования периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Изучению периодических решений посвящено большое количество работ. Основы теории периодических решений дифференциальных уравнений разрабатывали Анри Пуанкаре для задачи трех тел [1] и А.М. Ляпунов для задачи о движении любой механической системы [2]. Периодические решения играют существенную роль в качественной теории дифференциальных уравнений и в прикладных задачах [3]. Необходимость анализа периодических решений дифференциальных уравнений возникает в классической и небесной механике 10, космической робототехнике 12, а также при моделировании экономических процессов 26. Однако общего подхода изучения периодических решений дифференциальных уравнений не существует. Имеется несколько методов и способов для решения данной задачи. Так,

© Иванов Г.Г., Алфёров Г.В., Королёв В.С., Селицкая Е.А., 2019

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 18-08-00419.

основным методом доказательства существования периодических решений дифференциальных уравнений являются: метод точечных отображений Пуанкаре-Андронова, метод направляющих функций, вариационные методы, топологический метод, усреднение Крылова-Боголюбова и т.д. Отметим, что перечисленные методы достаточно сложно применять на практике.

В данной работе, опираясь на результаты работ 19 и используя аппарат производных чисел [22], решается задача оценки числа периодических решений дифференциальных уравнений первого порядка.

1. Верхняя оценка числа периодических решений

Пусть правая часть уравнения

есть непрерывная по совокупности аргументов и с -периодическая по г функция.

Теорема 1. Если правая часть уравнения (1) при каждом фиксированном г есть возрастающая по х функция, причем существует момент г * е [0, с] такой, что / (г *, х) строго возрастает, то уравнение (1) может иметь не более одного периодического решения.

Доказательство. Предположим, что вопреки утверждению теоремы, уравнение (1) имеет два периодических решения х (?) и х2 (?) . Покажем, что эти решения не имеют общих точек.

Поскольку х (?) Ф х (?), то существует точка ?0 такая, что х (?о) ^ X (?0) . Не нарушая общности, можно считать, что ?0 = 0

и х (0) 0, что X (Т) = х (Т) . Обозначим через ? точную нижнюю границу множества

0>. В силу непрерывности функций х (?) и х (?) и условия (2) заключаем, что ? > 0 .

Из неравенства (2) и выбора точки ? следует, что при ? е [0, ?] х (?) — х2 (?). По условию теоремы функция / (?, х) возрастает по х при каждом фиксированном ? , и, следовательно, для ? е [0, ? ] будет иметь место неравенство

но тогда, учитывая (2), получим

V? ‘ ) 0 решения х и х не пересекаются. Отсутствие у этих решений общих точек при ? 0.

Более того, поскольку /(?,х) непрерывна и /(?*, х) строго возрастает по х, то в некоторой окрестности точки ?* е [0, с] будет иметь место строгое неравенство / (?, х (?)) 0.

Учитывая последнее неравенство, приходим к следующей противоречивой цепочке соотношений:

0 = [ х2 (с) — х2 (0)] — [ х (с) — х (0)] =

Полученное противоречие и опровергает предположение о том, что в условиях теоремы уравнение (1) может иметь два различных с -периодических решения.

Теорема 2. Если правая часть уравнения (1) при каждом фиксированном ? есть выпуклая функция, причем для некоторого ?* е[0, с] /(?*, х) строго выпуклая по х, то уравнение (1) может иметь не более двух различных с -периодических решений.

Доказательство. Прежде всего покажем, что в условиях теоремы уравнение (1) обладает свойством существования и единственности решения, для чего установим, что если / выпукла и непрерывна, то она является Липшицевой.

Действительно, пусть (?0, х0) — произвольная точка плоскости, а Т и 8 -некоторые положительные числа. Покажем, что для области

Б = <(?, х):? е [?0 - т, ?0 + т], х е [х0 - 8, х0 + 8]>существует такое Ь, что для любых х , х е [х0 — 8, х0 +8] и сразу для всех ? е [?0 — т, ?0 + т] будет

| /(?, х») — /(?, х’)| х0 + 3. Тогда для всех у е (х0 +3, т], учитывая тот факт, что при любом фиксированном г функция

I (г, у) — I (г, хо +3)

возрастает по у, будем

I(г, у) — I(г, хо +3) К и произвольных х , х е [х0 —3, х0 + 3] будет

\ Кг, х’) — I(г, х’ )\ Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В силу (4) очевидно, что при всех г а(г) е (о,1) .

Подставляя в правую часть (5) представление (6), получим

I (г, уз) — I (г, у 2) I (г, у 2) — I (г, у г) _

а)Уз) _ а(Уз — Уг) / (? ,ау1 + (1 -а)уз) — / (?, ух)_

(1 -а)(Уз — Ух) _ а/(?,У) + (1 -а)/(?,Уз)-/(?,«У + (1 -а)Уз) «(1 -а)(Уз — У1)

Функция g(?) непрерывна, так как непрерывны функции / и а и из неравенства (4) и определения а следует, что существует такое число ¡5 >0, что при всех ? будет

а(?)(1 -а(?))(Уз(?) -у,(?)) >5. Более того, учитывая выпуклость функции / , т.е. что при всех ?

а/(?, У1) + (1 — а)/(?, Уз) > /(?, аух + (1 — а)Уз),

заключаем, что при всех ?

Но при ? = ?* е [0, с] по условию теоремы /(?*, х) строго выпукла, из чего

следует, что как в самой точке ? * , так и в некоторой ее окрестности, в силу непрерывности, будет выполняться строгое неравенство g(?) > 0.

Таким образом, окончательно функция g непрерывна, неотрицательна и существует промежуток, на котором она принимает только положительные значения.

Принимая во внимание эти соображения, проинтегрируем тождество (5) в пределах от 0 до с . Поскольку функции у, У и У с-периодические, то получим

0 0. Таким образом, функция гу(х) задана корректно.

Если дополнительно известно, что у/(х) строго выпукла, то теорему очень просто доказать.

Действительно, пусть уравнение (1) имеет четыре с -периодических решения ф(?, х), начинающиеся в точках хг, 1 = 1,2,3,4 . Пусть, для определенности, х1 ],хе[хх,х4]> функция ф(г, х) ограничена, так как в силу существования и единственности решений уравнения (1) она возрастает по х , и, следовательно, ф(г, х1) 0. Покажем, что

Действительно, учитывая, что функция (I ) + (г, ф(г, х)) возрастает по х, а ф (г, х) > 0, и используя уравнение в вариациях, получим:

Л+ [у + ](х) = ]т—([ (I ) + (гф(г, х

+ К))ф (г, х + К) — (I )’+ (г,ф(г, х))ф(г, х) —г)

= ш — I ф (г, х + Нп)[(/ ) + (г, ф(г, х + Нп))

Нахождение периодических решений дифференциальных уравнений

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

где — функция, периодическая с периодом , разлагающаяся в ряд Фурье

Периодическое решение уравнения (47) ищем в виде

Подставляем ряд (49) в уравнение (47) и подбираем его коэффициенты так, чтобы равенство (47) удовлетворялось формально. Приравнивая свободные члены и коэффициенты при и в левых и правых частях полученного равенства, найдем

Первое из равенств (50) дает необходимое условие существования решения вида (49): если , то необходимо, чтобы . Подставляя (50) в (49), получаем

Когда и , где , периодическое решение будет существовать только при условии

Коэффициенты и при расходятся по формулам (50), а коэффициенты и остаются произвольными, так как выражение является общим решением соответствующего однородного уравнения.

В случае невыполнения условий (52) уравнение (47) периодических решений не имеет (возникает резонанс). При и коэффициент остается неопределенным и уравнение (47) имеет бесконечное множество периодических решений, отличающихся друг от друга постоянным слагаемым.

Если правая часть уравнения (47) имеет период , то надо разлагать по периоду и искать решение уравнения (47) в виде

Формулы (50) при этом соответственно изменятся.

Пример 8. Найти периодические решения уравнения .

Решение. Имеем . Функция не содержит резонирующего члена , значит, уравнение имеет периодические решения, притом бесконечное множество. По формулам (50) находим коэффициенты

Все периодические решения даются формулой

где и — произвольные постоянные.

Пример 9. Найти периодические решения уравнения .

Решение. В данном случае . Проверим выполнимость условий (52). Имеем

Условия (6) существования периодического решения не выполняются. Следовательно, данное уравнение периодических решений не имеет. В самом деле, общее решение уравнения есть

которое, очевидно, не является периодическим из-за наличия слагаемого .

Пример 10. Найти периодическое решение уравнения .

Решение. Функция — периодическая с периодом . Разлагаем ее в ряд Фурье в интервале :

Решение данного уравнения ищем в виде

Формулы (50) дают

Следовательно, уравнение имеет периодическое решение вида

Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Министерство общего и профессионального образования

Донской Государственный Технический Университет

Линейные системы
дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

доклад по математике

Груздев Владимир Викторович

студент группы У-1-47

Братищев Александр Васильевич

Доклад посвящен теме, которой,по мнению автора,
в курсе дифференциального исчисления уделено
недостаточное внимание,
«СЛДУ с периодическими коэффициентами».

Приведены основные определения, теоремы,
на основе которых можно искать решения
(периодические) подобных систем.

Рассмотрены несколько примеров на тему.

1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами…………………….…….…………..4

2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами..…………………………………………6

1. Однородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

ż = F(t)z (- ¥ 1 , …, d_j n > (см. примечание 1) . Поскольку матрица F(t) периодическая, функции z₁ (t + w) , …, z_n (t + w) также образуют фундаментальную систему решений. Таким образом каждая из функций z_j (t + w) ­­­­ будет линейной комбинацией z_k (t) (k = 1, …, n) с постоянными коэффициентами (см. примечание 2) , поэтому

где с­­_j k (j, k = 1, …, n) — постоянные. Последние соотношения можно записать в виде

где Z(t) — фундаментальная матрица решений z_j­ (t) (j = 1, …, n), а С = (с_j k ) — постоянная матрица.

В силу (1) и (2) матрица Z(t) удовлетворяет условиям

Полагая в равенстве (3) t = 0 , получим Z( w) = C .

Матрица Z( w) называется матрицей монодромии системы уравнений (1). Очевидно ç Z( w) ç ¹ 0 . Собственные значения матрицы Z( w) называются мультипликаторами системы уравнений (1).

Отметим, что если матрица F(t) действительная, то матрица монодромии также действительная, однако мультипликаторы будут, вообще говоря, комплексными числами.

Теорема 1. Для того чтобы комплексное число r было мультипликатором системы уравнений (1), необходимо и достаточно, чтобы существовало такое нетривиальное решение j (t) системы (1), для которого

Доказательство. Пусть r — мультипликатор системы уравнений (1), тогда существует такой вектор z₀ ¹ 0 , что

Рассмотрим следующее нетривиальное решение системы уравнений (1):

Необходимость условия сформулированного в теореме, доказана. Докажем достаточность. Из соотношения (5) при t = 0 получим

В силу теоремы единственности

причем j (0) ¹ 0 , так как в противном случае решение j (t) было бы тривиальным. Из равенства (7) в силу (6) следует то, что

Таким образом, j (0) — собственный вектор матрицы Z( ω) , а ρ — мультипликатор системы уравнений (1). Теорема доказана.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает

Следствие. Линейная однородная система уравнений (1) имеет нетривиальное решение с периодом ω в том и только в том случае, когда один из ее мультипликаторов равен единице.

Замечания. 1. Имеет место

Теорема Флоке. Фундаментальная матрица Z(t) допускает следующее представление :

где Ф(t) — периодическая матрица с периодом ω, а А — постоянная матрица.

2. Легко видеть, что матрица Ф(t) удовлетворяет следующему условию:

откуда непосредственно следует, что замена переменных z = Ф(t)y переводит систему уравнений (1) в систему уравнений с постоянными коэффициентами (см. примечание 3)

2. Неоднородная линейная система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.

Рассмотрим система дифференциальных уравнений

2. Любое решение x(t) однородной системы уравнений есть линейная комбинация решений фундаментальной системы решений x₁ (t), …,x_n (t).

3. Все выводы получаются следующим образом:

из Ż = F(t)Z и Z(t) = Ф(t)e At следует то, что, подставляя второе выражение в первое, получим

Теперь рассмотрим несколько примеров на применение рассмотренных в докладе теорем и следствий к ним:

Пример 1 : Показать, что линейное уравнение второго порядка

где f ( t ) — непрерывная периодическая функция с периодом ω, имеет единственное периодическое решение с периодом ω, если

Сведем дифференциальное уравнение к системе и применемтеорему 2:

2. Для применения теоремы 2 нам необходимо составить матрицу монодромии однородной системы и все собственные значения этой матрицы должны быть отличны от единицы; для начала найдем фундаментальную матрицу для однородной системы,соответствующей неоднородной системе (*):

3. Находим мультипликаторы однородной системы:

Итак, если

все мультипликаторы системы уравнений (**) отличны от единицы.Таким образом, выполнены все условия теоремы 2. Из этого следует, что система (*),а значит и исходное дифференциальное уравнение, имеет единственное периодическое решение с периодом ω.

Пример 2: Показать, что линейное уравнение второго порядка

при a ≠2 πk / ω ( k Î R ) имеет единственное периодическое решение с периодом ω (см. пример 1); при a = ± 2 π / ω не имеет периодических решений с периодом ω, а приa =2 πk / ω (k — любое целое число, не равное ± 1 и 0 ) все его решения — периодические с периодом ω.

Очевидно, что здесь необходимо воспользоваться теоремой 2 и замечанием к ней. Решение данного примера необходимо разбить на 3 части (для каждого из условий). Поскольку при нахождении матрицы монодромии в предыдущем примере мы свободный член исходного дифференциального уравнения не использовали и учитывая одинаковые правые части дифференциальных уравнений обоих примеров, можно будет сразу воспользоваться некоторыми выкладками примера 1.

Итак, матрица монодромии имеет следующий вид:

1.[a ≠2 πk / ω ( k Î R ) ] Как мы установили в примере 1, любое линейное уравнение вида при указанных ограничениях действительно имеет единственное периодическое решение с периодом ω.

При данных значениях а однородная система (**) из 1-го примера имеет нетривиальное периодическое решение с периодом ω, тогда в соответствии с замечанием к теореме 2 линейная неоднородная система уравнений, соответствующая заданному дифференциальному уравнению , может или вообще не иметь периодических решений с периодом ω (для случая 2 необходимо установить несовместность системы уравнений (13)), или иметь несколько периодических решений с периодом ω (для случая 3 необходимо установить, что система уравнений (13) имеет бесконечное множество решений).

Сначала мы будем случаи 2 и 3 рассматривать совместно:

Система уравнений (13):

Неоднородная система, соответствующая заданному дифференциальному уравнению:

Далее решать систему будем отдельно для каждого заданного значения а :
если в системе (***) справа будет получена нулевая матрица, то она имеет множество решений, если нет – не имеет их вообще.

3. Подставляем в систему (***)a =2 πk / ω (k — любое целое число, не равное ± 1 и 0 ):

Таким образом,система (13′) имеет бесконечное множество решений для данных значений а Þ исходное дифференциальное уравнение имеет несколько линейно независимых периодических решений с периодом ω.

Замечание. Отдельно стоит рассмотреть случай, когда а=0 (этому случаю соответствует k =0 , если a =2 πk / ω).

Если а=0 , то матрицы, обратной фундаментальной матрице системы (**), не существует, отсюда сразу следует несовместность системы (13′), а значит исходное линейное уравнение второго порядка не имеет периодических решений.

[1]