Дифференциальные уравнения с постоянной эйлера

Дифференциальное уравнение Эйлера и методы его решения

Более общее уравнение Эйлера имеет вид:
.
Это уравнение подстановкой t = ax+b приводится к более простому виду, которое мы и будем рассматривать.

Приведение дифференциального уравнения Эйлера к уравнению с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение Эйлера:
(1) .
Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
x = e t .
Действительно, тогда
;
;
;

;
;
.

Таким образом, множители, содержащие x m , сокращаются. Остаются члены с постоянными коэффициентами. Однако на практике, для решения уравнений Эйлера, можно применять методы решения линейных ДУ с постоянными коэффициентами без использования указанной выше подстановки.

Решение однородного уравнения Эйлера

Рассмотрим однородное уравнение Эйлера:
(2) .
Ищем решение уравнения (2) в виде
.
;
;
.
.
Подставляем в (2) и сокращаем на x k . Получаем характеристическое уравнение:
.
Решаем его и получаем n корней, которые могут быть комплексными.

Рассмотрим действительные корни. Пусть k_i – кратный корень кратности m . Этим m корням соответствуют m линейно независимых решений:
.

Рассмотрим комплексные корни. Они появляются парами вместе с комплексно сопряженными. Пусть k_i – кратный корень кратности m . Выразим комплексный корень k_i через действительную и мнимую части:
.
Этим m корням и m комплексно сопряженным корням соответствуют 2 m линейно независимых решений:
;
;
.
.

После того как получены n линейно независимых решений, получаем общее решение уравнения (2):
(3) .

Примеры

Решение неоднородного уравнения Эйлера

Рассмотрим неоднородное уравнение Эйлера:
.
Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) также применим и к уравнениям Эйлера.

Сначала мы решаем однородное уравнение (2) и получаем его общее решение (3). Затем считаем постоянные функциями от переменной x . Дифференцируем (3) n – 1 раз. Получаем выражения для n – 1 производных y по x . При каждом дифференцировании члены, содержащие производные приравниваем к нулю. Так получаем n – 1 уравнений, связывающих производные . Далее находим n -ю производную y . Подставляем полученные производные в (1) и получаем n -е уравнение, связывающее производные . Из этих уравнений определяем . После чего интегрируя, получаем общее решение уравнения (1).

Пример

Неоднородное уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение Эйлера со специальной неоднородной частью:
(4)
,
где – многочлены от степеней и , соответственно.

Наиболее простой способ решения такого уравнения заключается в том, чтобы сделать подстановку
,
и решать линейное уравнение с постоянными коэффициентами со специальной неоднородной частью.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2013 Изменено: 24-10-2020

Интегрирование однородных линейных систем ДУ
с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера

Линейной однородной системой с постоянными коэффициентами называется система дифференциальных уравнений вида

где коэффициенты — постоянные, а — искомые функции от .

Систему (1) можно коротко записать в виде одного матричного уравнения

называется частным решением уравнения (2) в интервале , если выполняется тождество

Система частных решений

(здесь в записи нижний индекс указывает номер решения, а верхний — номер функции в решении) называется фундаментальной на интервале , если ее определитель Вронского

Теорема. Если система частных решений однородного уравнения (2) является фундаментальной, то общее решение этого уравнения имеет вид

где — произвольные постоянные.

Линейные системы можно интегрировать различными способами, рассмотренными ранее, например методом исключения, путем нахождения интегрируемых комбинаций и т.д.

Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется также метод Эйлера .

Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных дифференциальных уравнений:

Решение системы (3) ищем в виде

Подставляя (4) в (3) и сокращая на , получаем систему уравнений для определения и

Система (5) имеет ненулевое решение, когда ее определитель равен нулю,

Уравнение (6) называется характеристическим .

А. Пусть корни и характеристического уравнения — вещественные и различные . Подставив в (5) вместо число и решив систему (5), получим числа и . Затем положим в (5) и получим числа и, наконец, при получим и . Соответственно трем наборам чисел и получим три частных решения

Общее решение системы (3) имеет вид

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Корням соответствуют числа

Выписываем частные решения

Общее решение системы:

Б. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения комплексные .

Пример 2. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений

Решение. Выпишем систему для определения и

имеет корни . Подставляя в (8), получаем два уравнения для определения и

из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (8) равен нулю).

Возьмем , тогда первое частное решение запишется так:

Аналогично, подставляя в (8) корень , найдем второе частное решение:

Перейдем к новой фундаментальной системе решений:

Пользуясь известной формулой Эйлера , из (9), (10) и (11) получаем

Общим решением системы (7) будет

Замечание. Найдя первое частное решение (9), можно было бы сразу написать общее решение системы (7), пользуясь формулами

где и обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа , т. е. если , то , .

В. Случай кратных корней.

Пример 3. Решить систему

Решение. Характеристическое уравнение

Решение следует искать в виде

Подставляя (13) в первое уравнение системы (12), получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части (14), получаем:

Величины и остаются произвольными. Обозначая их соответственно через и , получаем общее решение системы (12):

Замечание. Легко проверить, что если (13) подставить во второе уравнение системы (12), то получим тот же результат (15). В самом деле, из равенства

получаем два соотношения для определения и через и

Пример 4. Решить задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений

с начальными условиями .

Решение. Характеристическое уравнение

Корни уравнения (17): . Действительному корню отвечает решение

Подставляя (18) в систему (16) и сокращая на , получаем

откуда . Полагаем, например, , тогда и частное решение (18):

Комплексному корню отвечает решение

подставив которое в (16) и сокращая на , получим

откуда , так что, например, при имеем и частное решение

Корню соответствует решение, комплексно сопряженное решению (20), т.е.

Учитывая (19), (20), (21), получаем общее решение

Выделим, наконец, решение с начальными условиями . Из (22) при имеем

Воспользовавшись формулами Эйлера , окончательно получим

Дифференциальные уравнения движения Эйлера

Рассмотрим установившийся поток идеальной жидкости. Как уже говорилось, она не обладает вязкостью, т.е. движется без трения.

Как и при выводе дифференциальных уравнений равновесия Эйлера, выделим в потоке элементарный параллелепипед объемом dV = dxdydz, ориентированный относительно осей координат (см. рис. II-2).

Проекции на оси координат сил тяжести и давления, действующих на параллелепипед, составляют;

для оси х:

для оси у:

для оси z: )

Согласно основному принципу динамики, сумма проекций сил, дейcтвующих на движущийся элементарный объем жидкости, равна произведению массы жидкости на ее ускорение.

Масса жидкости в объеме параллелепипеда

Если жидкость движется со скоростью ли, то ее ускорение равно w, то проекции ускорения на оси координат: и где w_x, w_y и w_z — составляющие скорости вдоль осей х, у и z. Разумеется, при этом соответствующие производные по времени не означают изменений во вре­мени составляющих скорости в какой-либо фиксированной точке пространства. Такие изменения и равны нулю в рассматриваемом случае установившегося потока. Производные же и отвечают изменению во времени значений w_x, w_у и w_z при перемещении частицы жидкости из одной точки пространства в другую (наблюдатель в данном случае связан с движущейся частицей потока).

В соответствии с основным принципом динамики

или после сокращения

(II,46)

где, согласно уравнению (II,28а), субстанцио­нальные производные соответствующих составляющих скорости равны

(II,47)

Система уравнений (II,46) с учетом выражений (II,47) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлерадля установивше­гося потока.

При неустановившемся движении скорость жидкости изменяется не только при перемещении частицы потока из одной точки пространства в другую, но и с течением времени в каждой точке. Поэтому, в соответствии с уравнением (II,28), составляющие ускорения в уравнении (II,46), выражаемые субстанциональными производными для неустановившихся условий, имеют вид:

(II, 47а)

Система уравнений (II,46) с учетом выражений (II,47а) представляет собой дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости Эйлера для неустановив­шегося потока.

Интегралом уравнений движения Эйлера для установившегося потока является уравнение Бернулли, ши­роко используемое для решения многих технических задач.

4. Дифференциальные уравнения движения Навье-Стокса

При движении реальной (вязкой) жидкости в потоке жидкости помимо сил давления и тяжести действуют также силы трения.

Действие сил трения Т на выделенный в потоке вязкой жидкости эле­ментарный параллелепипед (рис. II-14) проявляется в возникновении на его поверхности касательных напряжений t.

Рас­смотрим первоначально относительно про­стой случай одномерного плоского потока капельной жидкости в напра­влении оси х, когда проекция скорости w_x зависит только от расстояния r до горизон­тальной плоскости отсчета.

В этих условиях касательные напряже­ния возникают лишь на поверхностях dF верхней и нижней граней элементарного параллелепипеда, причем dF = dxdy. Если касательное напряжение на нижней грани параллелепипеда равно t, то на верхней оно составляет . Производная выражает изменение касательного напря­жения вдоль оси z в точках, лежащих на нижней грани параллелепипеда, a представляет собой изменение этого напряжения вдоль всей длины dz ребра параллелепипеда.

Указанные на рис. II-14 стрелками направления сил трения, прило­женных к параллелепипеду на его нижней и верхней гранях, обусловлены, например, тем, что более медленные вышележащие слои жидкости затор­маживают слой, в котором находится параллелепипед, а более быстрые нижележащие слои «разгоняют» его.

Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось х

Подставив в это выражение значение касательного напряжения t по уравнению (II,12а) [t = , где m — вязкость жидкости], получим

В более общем случае трехмерного потока составляющая скорости w_x будет изменяться не только в направлении z, но и в направлениях всех трех осей координат. Тогда проекция равнодействующей сил трения на ось x примет вид

Сумму вторых производных по осям координат называют оператором Лапласа:

Следовательно, проекция равнодействующей сил трения на ось х может быть представлена как m 2 w_xdxdydz

Соответственно проекции равнодействующей сил трения:

на ось у: m 2 w_ydxdydz

на ось z: m 2 w_zdxdydz

Проекции на оси координат равнодействующей всех сил (тяжести, давления и трения), действующих на элементарный объем капельной жидкости (с учетом проекций сил тяжести и давления, полученных при выводе уравнений Эйлера), составляют:

на ось х: ( 2 mw_x)dxdydz

на ось у: ( 2 mw_y)dxdydz

на ось z: ( 2 mw_z)dxdydz

Суммы проекций сил на оси координат, в соответствии с основным принципом динамики, должны быть равны произведению массы жидкости rdxdydz (r — плотность жидкости), заключенной в элементарном объеме, на проекции ускорения на оси координат. Поэтому, приравнивая проек­ции равнодействующей произведениям массы на проекции ускорения, после сокращения на dxdydz, получим

(II,48)

где соответствующие субстанциональные производные выражены для установившегося и неустановившегося потоков уравнениями (II,47) или (II,47а).

Уравнения (II,48) представляют собой уравнения Навье-Cтокса, описывающие движение вязкой капель­ной жидкости.

При движении сжимаемой жидкости (газа) в ней дополнительно возникают вызванные трением силы сжатия и растяжения, поэтому уравнения Навье-Стокса принимают вид:

(II.48а)

где частные производные выражают изменения скорости по осям х, у, z, связанные с действием сил сжатия и растяжения, причем

Левые части уравнений (II,48) выражают произведение массы единицы объема r на проекцию ее ускорения, т.е. представляют собой проекции равнодействующей сил инерции, возникающих в движущейся жидкости.

В правых частях тех же уравнений произведение pg отражает влияние сил тяжести, частные производные влияние изменения гидростатического давления, а произведения вязкости на сумму вторых производных проекций скорости — влияние сил трения на движущуюся жидкость.

Каждый член уравнений (II,48) имеет размерность соответствующей силы (тяжести, давления, трения или инерции), отнесенной к единице объема жидкости.

При движении идеальной жидкости, когда силы трения отсутствуют, при подстановке m = 0 в уравнения (II,48) последние совпадают с урав­нениями (II,46), т.е. уравнения движения Эйлера можно получить как частный случай уравнений Навье-Стокса.

Полное описание движения вязкой жидкости в его наиболее общей форме возможно путем решения уравнений Навье-Стокса совместно с уравнением неразрывности потока. Однако уравнения Навье-Стокса не могут быть решены в общем виде. Получены решения этой сложной системы уравнений только для некоторых частных случаев. Так, для уста­новившегося ламинарного движения жидкости решение уравнений Навье-Cтокса позволяет вывести уравнение Пуазейля, полученное выше другим способом.

В большинстве же наиболее важных для промышленной практики случаев применение уравнений Навье-Стокса становится возможным либо при ряде упрощающих допущений, либо при преобразовании этих сравнений методами теории подобия.

5. Уравнение Бернулли

Решение уравнений движения Эйлера для установившегося потока приводит к одному из наиболее важных и широко используемых уравнений гидродинамики — уравнению Бернулли.

Умножив левые и правые части каждого из уравнений (II,46) соответственно на dx, dy и dz и разделив на плотность р жидкости, получим

Сложим эти уравнения, учитывая, что производные выражают проекции w_x, w_g, w_z скорости на соответствующие оси координат. Тогда

Слагаемые левой части этого уравнения могут быть представлены как

следовательно, их сумма

где w = — скорость, составляющие которой вдоль соответствующих осей равны w_ч, w_y и w_z.

В то же время сумма членов, стоящих в скобках в правой части запи­санного уравнения, представляет собой полный дифференциал давления dp (при установившихся условиях давление зависит лишь от положения точки в пространстве, но в каждой данной точке не меняется со временем). Значит

Разделив обе части этого уравнения на ускорение свободного падения g и перенеся все его члены в левую часть, находим

причем для несжимаемой однородной жидкости r = const.

Сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы, следовательно

Уравнение (II,49) для любых двух поперечных сечений 1 и 2 потока (трубопровода) можно представить в виде

(II,49)

Уравнение (II,49) является уравнением Бернулли для идеальной жидкости.

Величину называют полным гидродинамическим напором, или просто гидродинамическим напором.

Следовательно, согласно уравнению Бернулли, для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости гидродинамический напор остается неизменным.

Гидродинамический напор включает три слагаемых, из которых первые два слагаемых, z и , входили в основное уравнение гидростатики:

z — нивелирная высота, называемая также геометри­ческим, или высотным, напором (h_г), представляет собой удельную потенциальную энергию положения в данной точке (данном сечении);

– напор давления (h_давл), или пьезометриче­ский напор, характеризует удельную потенциальную энергию давления в данной точке (данном сечении).

Сумма z+ , называемая полным гидростатическим, или просто статическим напором (h_ст), следовательно, выражает пол­ную удельную потенциальную энергию в данной точке (данном сечении).

Величины z и — могут быть выражены как в единицах длины, так и в единицах удельной энергии, т.е. энергии, приходящейся на единицу веса жидкости.

Третья составляющая, — также выражена в единицах длины

или после умножения и деления на единицу веса (н — в СИ или кгс – в системе МКГСС)

Величину называют скоростным, или динамическим напором и обозначают через h_ck. Скоростной напор характеризует удельную кинетическую энергию в данной точке (данном сечении).

Таким образом, согласно уравнению Бернулли, при установившемся движении идеальной жидкости сумма скоростного и статического напоров, равная гидродинамическому напору, не меняется при переходе от одного поперечного сечения потока к другому.

Вместе с тем из уравнения Бернулли в соответствии с энергетическим смыслом его членов следует, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма потенциальной (z + ) и кинетической ( ) энергии жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается неизменной.

При изменении поперечного сечения трубопровода и соответственно скорости движения жидкости происходит превращение энергии: при сужении трубопровода часть потенциальной энергии давления переходит в кинетическую и, наоборот, при расширении трубопровода часть кинетической энергии переходит в потенциальную, но общее количество энергии остается постоянным. Отсюда следует, что для идеальной жидкости количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода, равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода.

Таким образом, уравнение Бернулли является част­ым случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока.

Если умножить левую и правую части уравнения (II,50) на удельный вес жидкости g = rg, то уравнение Бернулли для идеальной жидкости может быть представлено в виде

(II,50a)

В уравнении (II,50а) каждый член выражает удельную энергию в дан­ной точке, отнесенную не к единице веса, а к единице объема жидкости (1 м 3 ). Например

В случае горизонтально расположенного трубопровода z₁ = z₂ и уравнение Бернулли для идеальной жидкости упрощается:

(II,51)

Проиллюстрируем применение уравнения Бернулли на примере потока идеальной жидкости, движущейся через произвольно расположенный в пространстве трубопровод переменного сечения (рис. II-15).

Пусть для точек, лежащих на оси трубопровода в поперечных сече­ниях 1—1 и 2—2, нивелирные высоты равны z₁ и z₂ соответственно. Уста­новим в каждой из этих точек две вертикальные открытые так назы­ваемые пьезометрические трубки, у одной из которых нижний конец загнут навстречу по­току жидкости в трубопроводе.

В прямых вертикальных трубках (с незагнутыми нижними концами) жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому дав­лению в точках их погружения, т.е. эти трубки будут измерять пьезо­метрические напоры в соответствую­щих точках.

В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку, уровень жидкости будет выше, чем в соседних вертикальных трубках, так как трубки с загнутыми концами будут показывать сумму пьезометри­ческого и динамического (скоростного) напоров. Однако, согласно урав­нению (II,49), во всех трубках с загнутыми нижними концами жидкость поднимается на одну и ту же высоту относительно произвольной горизон­тальной плоскости сравнения, равную гидродинамическому напору Н (рис. II-15).

Площадь поперечного сечения 2—2 трубопровода меньше сечения 1—1. Поэтому скорость жидкости w₂ при данном ее расходе, согласно уравнению неразрывности потока, будет больше w₁. Соответственно > .

В любом поперечном сечении трубопровода скоростной напор можно измерить по разности показаний установленных здесь трубок (с загнутым и прямым нижними концами). Следовательно, эта разность должна быть больше для сечения 2—2, чем для сечения 1—1. Вместе с тем из уравнения Бернулли следует, что высота уровня жидкости в прямой трубке в сечении 2—2 должна быть меньше соответствующей высоты в прямой трубке сечения 1—1 настолько же, насколько скоростной напор в сечении 2 – 2 больше, чем в сечении 1—1.

Приведенный пример демонстрирует взаимный переход потенциальной энергии в кинетическую и, наоборот, при изменении площади сечения тру­бопровода, а также постоянство суммы этих энергий в любом поперечном сечении трубопровода.

При движении реальных жидкостей начинают действовать силы вну­треннего трения, обусловленные вязкостью жидкости и режимом ее дви­жения, а также силы трения о стенки трубы. Эти силы оказывают сопро­тивление движению жидкости. На преодоление возникающего гидравлического сопротивления должна расходоваться некото­рая часть энергии потока. Поэтому общее количество энергии потока по длине трубопровода будет непрерывно уменьшаться вследствие пере­хода потенциальной энергии в потерянную энергию — затра­чиваемую на трение и безвозвратно теряемую при рассеивании тепла в окружающую среду.

При этом для двух любых сечений 1—1 и 2—2 трубопровода, располо­женных по ходу движения реальной жидкости (рис. II-15)

При движении реальной жидкости высоты ее подъема (относительно плоскости сравнения) в трубках с концами, обращенными навстречу потоку, уже не будут равны в сечениях 1—1 и 2—2, как было показано на рис. II-15 применительно к движению идеальной жидкости. Разность высот в этих трубках, обусловленная потерями энергии на пути жидкости от сечения 1—1 до сечения 2—2, характеризует потерянный напор h_п.

Для соблюдения баланса энергии при движении реальной жидкости в правую часть уравнения (II,50) должен быть введен член, выражающий потерянный напор. Тогда получим уравнение Бернулли для реальных жидкостей:

(II,52)

Потерянный напор h_п характеризует удельную (т.е. отнесен­ную к единице веса жидкости) энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении реальной жидкости.

Уравнение (II,52) может быть представлено в несколько ином виде, если умножить обе его части на pg:

(II,52а)

В уравнении (II,52а) величина Ñр_п — потерянное давле­ние, равное

(II,53)

Определение потерь напора или давления является практически важной задачей, связанной с расчетом энергии, которая необходима для пере­мещения реальных жидкостей при помощи насосов, компрессоров и т.д. Трудность решения этой задачи обусловлена тем, что решение системы дифференциальных уравнений, описывающих движение реальной жидко­сти, в большинстве случаев оказывается невозможным.

Дата добавления: 2016-02-16 ; просмотров: 2771 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ