Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными тест
Общее решение уравнения $$y’xlnx=1$$ имеет вид:
Формула преобразования дифференциала:
Запишем уравнение в виде $$\frac
Интегрируя последнее равенство, получим:
В результате решения задачи Коши для дифференциального уравнения $$2y’=\sqrt<5y-1>$$ при $$y(0,2)=1$$ получим:
Запишем уравнение в виде:
Найдем его общее решение:
Зная, что $$x_<0>=0,2$$ , а $$y_<0>=1,$$ найдем значение произвольной постоянной:
Запишем частное решение:
Решить задачу Коши – значит найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям $$y(x_0)=y_0$$ .
Решением дифференциального уравнения $$y’-3x(x^2-1)=\frac
Полагая $$y=uv$$ , $$y’=u’v+uv’$$ , получим:
Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$ , и вынесем его из скобок:
Если положим $$v’-\frac
Решим уравнение $$(1)$$ :
Подставим полученное значение $$v=(x^2-1)^<0,5>$$ в уравнение $$(2)$$ и решим его:
Так как $$y=uv$$ , то получим:
Решая первое уравнение системы всегда полагаем $$C=0$$ .
Общее решение уравнения $$5dy=(2x+1)dx$$ имеет вид:
Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид:
Чтобы решить это уравнение, необходимо проинтегрировать его обе части.
$$\int 5dy=\int (2x+5)dx$$ ,
Решение уравнения $$y’x=2y$$ при условии, что $$x_0=-2$$ , а $$y_0=10$$ , имеет вид:
Запишем уравнение в виде:
$$y=Cx^2$$ – общее решение уравнения.
Подставляя в общее решение значения $$x_0=-2$$ и $$y_0=10$$ найдем произвольную постоянную:
Подставляя значение $$C=2,5$$ в общее решение, найдем частное решение:
Различайте общее решение $$y=\phi (x;C)$$ и частное решение $$y=\phi (x)$$ дифференциального уравнения первого порядка.
Решение уравнения $$y’+y=e^x$$ имеет вид:
Дифференциальное линейное уравнение первого порядка имеет вид:
Чтобы решить это уравнение, необходимо применить подстановку:
Полагая $$y=uv$$ , $$y’=u’v+uv’$$ , получим:
Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $$u$$ , и вынесем его из скобок:
Если положим $$v’+v=0$$ , то получим: $$u’v=e^x$$ .
Запишем систему уравнений: $$\begin
Решим первое уравнение системы:
Подставим полученное значение $$v=e^<-x>$$ во второе уравнение системы и решим его:
Так как $$y=uv$$ , то получим:
$$y’=\frac
Решая первое уравнение системы всегда полагаем $$C=0$$ .
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными тест
Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: irina@bodrenko.org
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии
к лекции № 1 «Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка»
«Дифференциальные и разностные уравнения»
y ′ – 2 xy + y 2 = 0
(где искомая функция y = y ( x )) является:
А) уравнением с разделяющимися переменными;
Б) уравнением Бернулли;
В) линейным уравнением.
y ′ + 2 x 2 y + x 2 = 0,
(где искомая функция y = y ( x )) является:
А) уравнением с разделяющимися переменными;
Б) однородным уравнением;
В) уравнением Бернулли.
y ′ + x 2 + 2 xy + y 2 = 0
(где искомая функция y = y ( x ))
А) является уравнением с разделяющимися переменными;
Б) сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z = x + y , где z = z ( x );
В) сводится к линейному уравнению заменой z = x + y , где z = z ( x );
4. Дифференциальное уравнение
y ′ + ( y / x ) sin ( x / y ) = 0,
(где искомая функция y = y ( x )) является:
А) уравнением с разделяющимися переменными;
Б) однородным уравнением;
В) линейным уравнением.
M(x, y) = (x 3 /y 2 ) cos(y/x)
является однородной функцией степени p , равной:
6. Решением дифференциального уравнения
(где искомая функция y = y ( x )), удовлетворяющим начальному условию y (0) = 1, является функция
7. Решением дифференциального уравнения
(где искомая функция y = y ( x )), удовлетворяющим начальному условию y (0) = 1, является функция:
А) y = (3 exp ( x 2 ) – 1)/2;
8. Решение дифференциального уравнения
x 2 dx + y 2 dy = 0
можно записать в виде:
А) x 3 + y 3 = C , где C = const ;
Б ) x 3 y 3 = C, где C = const;
В) x 2 + y 2 = C , где C = const .
9. Решение дифференциального уравнения
x 3 dx – y 3 dy = 0
можно записать в виде:
А) x 2 – y 2 = C , где C = const ;
Б ) x 3 – y 3 = C, где C = const;
В) x 4 – y 4 = C , где C = const .
10. Интегрирующий множитель m ( x , y ) для дифференциального уравнения
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения, в которых переменные уже разделены
Дифференциальные уравнения, в которых выражение, зависящее от y, входит только в левую часть, а выражение, зависящее от x — только в правую часть, это дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых переменные уже разделены.
В левой части уравнения может находиться производная от игрека и в этом случае решением дифференциального уравнения будет функция игрек, выраженная через значение интеграла от правой части уравнения. Пример такого уравнения — 
.
В левой части уравнения может быть и дифференциал функции от игрека и тогда для получения решения уравнения следует проинтегрировать обе части уравнения. Пример такого уравнения — 
.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Пример очень простой. Непосредственно находим функцию по её производной, интегрируя:
Таким образом, получили функцию — решение данного уравнения.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Интегрируем обе части уравнения:
.
Функция — решение уравнения — получена. Как видим, нужно только уверенно знать табличные интегралы и неплохо расправляться с дробями и корнями.
Дифференциальные уравнения, в которых требуется разделить переменные
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, в которых требуется разделить переменные, имеют вид
.
В таком уравнении 
и 
— функции только переменной x, а 
и 
— функции только переменной y.
Поделив члены уравнения на произведение 
, после сокращения получим
.
Как видим, левая часть уравнения зависит только от x, а правая только от y, то есть переменные разделены.
Левая часть полученного уравнения — дифференциал некоторой функции переменной x, а правая часть — дифференциал некоторой функции переменной y. Для получения решения исходного дифференциального уравнения следует интегрировать обе части уравнения. При этом при разделении переменных не обязательно переносить один его член в правую часть, можно почленно интегрировать без такого переноса.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на произведение 
и получим
.
,
или 
,
поскольку левая часть равенства есть сумма арифметических значений корней. Таким образом, получили общий интеграл данного уравнения. Выразим из него y и найдём общее решение уравнения:
.
Есть задачи, в которых для разделения переменных уравнение нужно не делить почленно на произведение некоторых функций, а почленно умножать. Таков следующий пример.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Бывает, что забвение элементарной (школьной) математики мешает даже близко подойти к началу решения, задача выглядит абсолютно тупиковой. В нашем примере для начала всего-то нужно вспомнить свойства степеней.
Так как 
, то перепишем данное уравнение в виде
.
Это уже уравнение с разделяющимися переменными. Умножив его почленно на произведение 
, получаем
.
Первый интеграл находим интегрированием по частям, а второй — табличный. Следовательно,
.
Логарифимруя обе части равенства, получаем общее решение уравнения:
.
Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть правильные решения
Пример 5. Найти общее решение диффференциального уравнения
.
Пример 6. Найти общее решение диффференциального уравнения
.
Продолжаем решать примеры вместе
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на 
и получим
.
Чтобы найти y, требуется найти интеграл. Интегрируем по частям.
Пусть 
, 
.
Тогда 
, 
.
Находим общее решение уравнения:
Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее условию 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на 
и получим
или 
.
Записываем производную y в виде 
и получаем
Разделяем dy и dx и получаем уравнение:
, которое почленно интегрируя:
,
находим общее решение уравнения:
.
Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:
.
Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:
.
В некоторых случаях ответ (функцию) можно выразить явно. Для этого следует воспользоваться тем свойством логарифма, что сумма логарифмов равна логарифму произведения логарифмируемых выражений. Обычно это следует делать в тех случаях, когда слева искомая функция под логарифмом находится вместе с каким-нибудь слагаемым. Рассмотрим два таких примера.
Пример 9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных запишем производную «игрека» в виде 
и получим
.
Разделяем «игреки» и «иксы»:
.
Почленно интегрируем и, так как в левой части «игрек» присутствует со слагаемым, в правой части константу интегрирования записываем также под знаком логарифма:
.
Теперь по свойству логарифма 
имеем
.
Находим общее решение уравнения:
Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее условию 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решение. Для разделения переменных поделим уравнение почленно на 
и получим
или 
.
Разделяем dy и dx и получаем уравнение:
которое почленно интегрируя:
находим общее решение уравнения:
.
Чтобы найти частное решение уравнения, подставляем в общее решение значения y и x из начального условия:
.
Таким образом частное решение данного дифференциального уравнения:
.
Выводы. В дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными, как в тех, в которых переменные уже разделены, так и в тех, где переменные требуется разделить, существуют однозначные способы решения, на основе которых может быть построен простой алгоритм. Если недостаточно уверенно освоен материал по нахождению производной и решению интегралов, то требуется его повторить. Во многих задачах на путь к решению уравнения наводят знания и приёмы из элементарной (школьной) математики.
http://bodrenko.org/dru/dru-l1-test.htm
http://function-x.ru/differential_equations2.html