Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами

Дифференциальные уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами Садриева Рита Тагировна

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ‘, MOUSEOFF, FGCOLOR, ‘#FFFFCC’,BGCOLOR, ‘#393939’);» onMouseOut=»return nd();»> Диссертация — 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат — бесплатно , доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Садриева Рита Тагировна. Дифференциальные уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами : диссертация. кандидата физико-математических наук : 01.01.02 Стерлитамак, 2007 91 с. РГБ ОД, 61:07-1/988

Содержание к диссертации

Глава 1. Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений второго порядка в вырожденном случае 24

1.1 Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений в случае кратных собственных значений 24

1.2 Асимптотические формулы для решений системы п дифференциальных уравнений второго порядка в случае нулевого собственного значения 37

Глава 2. Исследование уравнения для парциальных волн с быстро осциллирующим потенциалом 58

2.1 Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х = 0 58

2.2 Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х

2.3 Примеры. Функция Иоста и S-матрица 81

Введение к работе

Асимптотические методы применяются во многих областях математики, в том числе дифференциальных уравнениях, математической физике, квантовой механике и т.д.

Вопрос об асимптотическом поведении решений обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с конца XIX века, служит предметом многочисленных исследований. Различные результаты этих исследований изложены в работах [6, 10,11,14,22,27,29 — 32,34, 36 — 38,43].

В различных физических задачах, таких как теория атомных столкновений, распространения радиоволн в анизотропной среде и т. д., основное место занимает изучение систем с гамильтонианом

Приведем необходимые в дальнейшем определения.

Рассмотрим систему из п уравнений на интервале / = [а, Ь] (конечном или бесконечном):

где D = d/их, к-большой параметр. Обозначим через X,- (х), 1 2 /-А: 2 Дх_{0 )| = 0 (jfc*0) имеет кратный корень.}

Т. е., точка хо является точкой поворота системы (0.1) тогда и только тогда, когда матрица А(хо) имеет кратное или нулевое собственное значение.

Определение 2. Особая точка х = + со называется однородной особой точкой системы (0.1), если

Другими словами, существует функция q (х) такая, что при всех/ Aj(x) * Cjq(x) (х -> +оо), сj Ф 0, Cj ф с_к (/ Ф к),

т. е. собственные значения матрицы А (х) имеют одинаковый порядок роста при х —* + со и асимптотически некратные.

Ранее И. М. Рапопортом [27] бьша установлена следующая теорема для случая кратных собственных значений системы дифференциальных уравнений первого порядка.

Теорема 0.1. Система дифференциальных уравнений

/ = 1,2. / ; y’ = 1,2. / ; /? = l,2. m; # = l,2. m,

где J]_n (х) — функции, непрерывные в интервале [to, со), и

7. +. +/(«О = О П Р И Я*Р,

при том условии, если функции w_q (0, q = 1, 2, . т удовлетворяют следующим требованиям:

существует такое достаточно большое То, что при / > То ни одна из функций

3) Если какая-либо из функций Re w (t) — Re w (t) + —— при / -l

неположительна и в то же время иесуммируема в интервале (То, ос), то после умножения на / эта функция становится строго отрицательной при / >1\ Большой вклад в развитие асимптотических методов для решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений внесли М. А. Наймарк 123], И. М. Рапопорт [27] и М. В. Федорюк [36 — 38].

Идея метода исследования асимптотического поведения решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений заключаегся в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к виду, называемому /—диагональным.

Определение 3. Система дифференциальных уравнений I порядка

DY = (Л (х) + D (х)) Y, рассматриваемая на некотором промежутке (0, со), называется /.-диагональной, если

матрица А (х) является диагональной, причем ее элементы локально-суммируемы, разности их действительных частей знакопостоянны, а все элементы матрицы D (х) суммируемые на (О, со) функции.

Однако в случае, когда матрица А (х) имеет нулевое или кратное собственное значение, заданную систему необходимо приводить не к Z-диагональному, а к несколько более общему виду, называемому нами в дальнейшем блочно-диагональным.

Хорошо изученным является случай одинакового порядка роста собственных значений матрицы А (х) при х —* + оо [11]. В этом случае точка х = + оо является однородной особой точкой системы (0.1) и асимптотика решений при х —> + оо выражается только через линейные характеристики матрицы А (х) (т. е. через собственные значения и собственные векторы).

Основную трудность представляет случай, когда точка х = + оо не является однородной для системы (0.1).

Пусть матрица А(х) — матрица п-го порядка, имеющая специальный вид:

Здесь Аг(х) — матрица второго порядка,

Наша работа посвящена исследованию системы (0.1) в двух случаях, которые ранее не рассматривались:

матрица Ао (х) имеет одно собственное значение, равное 0; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + оо;

матрица Ао (х) имеет кратное собственное значение, кратность его равна 2; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х—* + 00.

Далее кратко изложено содержание диссертации с сопутствующими разъяснениями.

Первый параграф первой главы диссертации посвящен изучению асимптотического поведения решений системы (0.1) в случае, когда матрица Ао (х) имеет одно кратное собственное значение, кратность его равна 2; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —-> + да, т.е. удовлетворяют определению 2.

Обозначим кратное собственное значение Л, (х) = Л₂ (х) = Л(х).

Сведем систему (0.1) к системе первого порядка. Для этого введем в рассмотрение вектор-столбец Y(x, к) и матрицу В(х):

0. 0^ 0. 0 0. 0 0. 0

Тогда система (0.1) эквивалентна уравнению:

Легко проверить, что собственные значения матрицы Во(х) есть функции вида:

здесь То (х) — матрица, приводящая матрицу А„_₂ (х) к диагональному виду.

Матрица Г/ (х) приводит матрицу В₄ (х) к жордаиовой форме и находится из матричного уравнения:

Здесь введены следующие обозначения:

Хз(х) Х„(х) — собственные значения матрицы А„.2 (х).

В результате преобразования получим следующую систему:

DZ(x, к) = (к Л(х) — Г'(х) DT(x)) Z (х, к).
Перепишем систему (0.3) в виде:
( кЛЛх) О >

Осуществим второе преобразование:

Матрица G\(x) определена следующим образом:

После этого преобразования получим систему:

Далее доказывается ряд вспомогательных лемм. Основным результатом этого параграфа является теорема 1.2, которая дает асимптотические формулы для 2п линейно-независимых решений системы (0.2). Оказывается, что асимптотические формулы для 2п — 2 решений определяются поведением собственных чисел Л_> (х). Л_п (х) и имеют вид, аналогичный известным формулам М. В. Федорюка. Асимптотическое поведение оставшихся двух решений зависит от поведения собственных чисел \ (х) и Л₂ (х), полученные для них асимптотические формулы являются новыми.

Пусть для элементов матрицы А2(х) выполняется:

Замечание. Такой вид коэффициентов матрицы А2(х) используется для удобства и наглядности вычислений. Все теоремы, относящиеся к этому случаю, остаются справедливыми и в случае, когда матрица А2(х) имеет произвольный вид.

Теорема 1.2. Предположим, что выполнены следующие условия:

На отрезке Інет точек поворота матрицы А_п .2(х) (т. е. матрица А„.2(х) не имеет кратных или нулевых собственных значений);

3) Существует функция q (х) такая, что при ecexj

Re(/i_{; (х, )), Re(//_{; (х, Л) ± /7, (х, к)), Щр, (х, к) ± Д. (х, к)) + -, 1 (х), неположительна при х > 0 и в то же время}}

несуммируема в интервале ( ), то после умнооюения на х эта функция становится строго отрицательной при х >Хо;

5) juj (х, к) є 1(х_{0 , х,) при любом конечном X/;}

f/x), / /x) — правые и левые собственные векторы матрицы А„.2(х) соответственно [11].

Пример. В качестве матрицы А2 (х) можно рассмотреть матрицу:

Асимптотические формулы для решений, соответствующих кратным корням, имеют

В параграфе 1.2 мы рассматриваем систему (0.1), состоящую из п уравнений, матрица An (х) имеет одно собственное значение, равное 0; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + со.

После ряда преобразований система (0.1) сводится к новой системе, к которой мы можем применить теорему Рапопорта. Обозначим:

Л&)- собственные числа матрицы Ло(Зс).

В качестве матрицы Тг (х) берется матрица

здесь То (х) — матрица, приводящая матрицу Л „.2 (х) к диагональному виду,

Ло /2 (х) = diagyAi(x). JA_n (x)) Матрица Г/ (х) приводит матрицу В₄ (х) к жордановой форме, находится из

Предположим, что выполнены следующие условия:

1) Для элементов матрицы А2(х) выполняется:

ац(х)а₂ 2(х) = аі₂ (х)сі2і(х). Тогда собственные числа матрицы А2(х) имеют следующий вид:

I la отрезке I нет точек поворота матрицы А„.2(х) (т. е. матрица А„.2(х) не имеет кратных или нулевых собственных значений);

4) Существует функция q (х) такая, что при всех/

Re( Д (х, к)), Re(//j (х, к) + Д (х, к)), Re( Д (х, Л) ± Д (хД)) + -, 1 0 и в то же время несуммируема в

интервале (Хо, оо), то после умножения на х эта функция становится строго отрицательной при х >Хо;

6) Д(хД) є Z,(x_{0 ,X|) при любом конечном х/;}

Основной теоремой этого параграфа является следующая:

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия 1) — 7). Тогда система (0.2) имеет 2п линейно-независимых решений таких, что при х —* со справедливы следующие асимптотические формулы:

f/x), f j(x) — правые и левые собственные векторы матрицы А„.2(х) соответственно [11].

Пример. В качестве матрицы /Ь (х) можно рассмотреть следующие:

В данном случае будем иметь:

Во второй главе нашей диссертации мы рассматриваем уравнение для парциальных волн, играющее существенную роль в теории потенциального рассеяния и выясняем асимптотическое поведение решений этого уравнения и их аналитические свойства.

Теория потенциального рассеяния, являющаяся важнейшей проблемой квантовой механики, лежит в основе описания и интерпретации процессов рассеяния элементарных частиц, ядер, атомов, молекул при высоких и низких энергиях. Развитие теории потенциального рассеяния существенным образом опирается на основополагающие исследования советской математической школы, среди которых следует особенно отметить работы Л. Д. Фаддеева [35], И. М. Гельфанда, Б. М. Левитана [17], В. М Марченко [21] и многих других.

В квантовой механике существуют, грубо говоря, всего лишь две задачи: прямая и обратная. Прямая задача — это нахождение волновой функции как решения уравнения Шредингера при заданном потенциале взаимодействия. Волновой функцией определяются все наблюдаемые свойства исследуемой системы. Обратная же задача заключается в восстановлении потенциала по данным рассеяния, извлекаемым из эксперимента.

С появлением уравнения Шредингера необычайно расширилось физическое содержание математических понятий, связанных со спектрами дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Уравнениями этого типа, которые

раньше применялись только для анализа механических колебаний, теперь стало возможным пользоваться и для описания атомов и молекул.

Первым серьезным исследованием, в котором ставилась цель не проведения конкретных численных расчетов для ядерной физики, а изучение общей теории матрицы рассеяния можно назвать статью Иоста [13]. В ней впервые были введены так называемые функции Иоста, сыгравшие основную роль во всем дальнейшем развитии теории. Далее свойства функций Иоста обсуждались в работах Баргмапа [2, 3], затем начался быстрый рост числа работ, посвященных рассматриваемой проблеме. В 1957 г. Кури установил аналитические свойства полной амплитуды рассеяния. Результаты Кури были затем вновь получены в 1958-59 г.г. более изящными способами рядом других авторов. Большой вклад в дальнейшее развитие теории внесли Мандельстам [19], Мартин [20], Боукок [4], Бланксбеклер, Шараи и Фубини, Альфаро и Редже [7]. В работах этих авторов рассматриваются по большей части потенциалы, представимые в виде суперпозиции потенциалов Юкавы, имеющие некоторое правильное поведение (так называемые юкавские потенциалы). По сути дела, эти потенциалы являются преобразованием Лапласа некоторой (обобщенной) функции, их особенностью является то, что они могут быть определены для комплексных X.

В [7] рассматриваются потенциалы, удовлетворяющие следующим условиям:

При этом сна могут принимать произвольные значения (с, а > 0).

Потенциалы, для которых выполняются эти условия, будем называть регулярными, а не удовлетворяющие им — сингулярными.

Условия 2) и 3) являются слишком жесткими, они означают, что потенциал должен иметь некоторое правильное поведение в нуле и на бесконечности. Эти

условия не выполняются, например, для кулоновского потенциала V(x) = и

потенциала с непроницаемой сердцевиной. Хотя именно эти два потенциала

наиболее широко используются в феноменологической теории атомных и ядерных

процессов. Теория рассеяния для чисто кулоновского потенциала теперь хорошо

разработана, и обратная задача тоже решена. Также хорошо изучен случай для

потенциалов, являющихся суммой регулярного и кулоновского. Ирсдацци и Редже

[26] сумели исследовать ситуацию для потенциала V(x), ведущего при х —* 0 как

—+ —. Лимич и Жакшич рассмотрели более широкий класс потенциалов, х х

аналитических при х = Re z > 0.

Любопытно, что исторически именно сингулярные потенциалы были изучены

первыми в связи с задачей распространения волн вокруг Земли. В этой задаче V(x) —

но существу потенциал с непроницаемой сердцевиной, т. е. V(x) = со для х 1 (0,оо) , \\mrlV(r) = 0.

Т. е., хотя потенциал может быть весьма сингулярным в начале координат, он осциллирует там достаточно быстро, чтобы функция W(r) была «хорошей». Например,

четное относительно Д.

В первом параграфе главы 2 мы исследуем уравнение (0.6) с граничными условиями при х = 0.

Для доказательства существования решения л+т +

Вводя формальные итерационные разложения для этих уравнений, мы доказываем их сходимость. Результат сформулирован в виде теоремы:

Теорема 2.1. Функция (р (К, к, х) является целой функцией к» в каждой ограниченной области комплексной к — тоскости и аналитической функцией X в области Re X = ц > 0.

Во втором параграфе исследуется уравнение (0.6) с граничными условиями при х = оо. Здесь рассматриваются следующие интегральные уравнения: /(Л,к,х) = /₀ (Л,к,х) +

/// ‘ — функция Ганкеля II рода,

Далее снова вводятся в рассмотрение формальные итерационные ряды и с помощью ряда оценок по индукции доказываются оценки сверху для этих рядов:

Для ряда, составленного из производных, получена более грубая оценка:

тут- exp rrr a M [яООФ I + с -Lfrp- Ja(y)dy exp —r-p- с \a(y)dy

Таким образом, справедлива

Теорема 2.2. Функция f (X, k, х) является целой функцией X и аналитической функцией к в области b=Im к x ;

Затем мы вводим в рассмотрение функцию Иоста и S-матрицу:

где S (X, к) называется сдвигом фазы.

Основная теорема этого параграфа формулируется следующим образом:

Теорема 2.5. Функция/(X, к), рассматриваемая как функция двух переменных X и к, является апаяитической в прямом произведении областей Imk 0.

Свойства S (X, к) непосредственно следуют из свойств/(Я к).

Диссертация состоит из настоящего введения, двух глав, разбитых на 2 и 3 параграфа соответственно и списка литературы из 47 названий. Каждый параграф диссертации содержит двойную нумерацию, в которой первый номер указывает на нОхМер главы, а второй — на номер леммы или теоремы в этом параграфе. Аналогичным образом нумеруются в диссертации формулы.

В диссертации используются стандартные обозначения. Символом с, с индексами или без, обозначаются положительные постоянные, конкретные значения которых безразличны. Для обозначения единичной матрицы используется буква /, для нулевой матрицы буква О.

В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Султанаеву Я. Т. за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе.

Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений в случае кратных собственных значений

Эти условия не выполняются, например, для кулоновского потенциала V(x) = и потенциала с непроницаемой сердцевиной. Хотя именно эти два потенциала наиболее широко используются в феноменологической теории атомных и ядерных процессов. Теория рассеяния для чисто кулоновского потенциала теперь хорошо разработана, и обратная задача тоже решена. Также хорошо изучен случай для потенциалов, являющихся суммой регулярного и кулоновского. Ирсдацци и Редже [26] сумели исследовать ситуацию для потенциала V(x), ведущего при х — 0 как —+ —. Лимич и Жакшич рассмотрели более широкий класс потенциалов, х х аналитических при х = Re z 0. Любопытно, что исторически именно сингулярные потенциалы были изучены первыми в связи с задачей распространения волн вокруг Земли. В этой задаче V(x) — но существу потенциал с непроницаемой сердцевиной, т. е. V(x) = со для х R, где R — радиус Земли. В книге Сабатье и Шадана [42] рассмотрены короткодействующие- потенциалы, сингулярные вблизи начала координат и осциллирующие таким образом, что если ввести функцию то она будет удовлетворять условиям: W(r) є L1 (0,ОО) , \\mrlV(r) = 0. Т. е., хотя потенциал может быть весьма сингулярным в начале координат, он осциллирует там достаточно быстро, чтобы функция W(r) была «хорошей». Например, Мы же исследуем уравнение для парциальных волн с потенциалом V (х), для которого кроме условий 1) и 3), выполняется следующее: Для удобства дальнейшего исследования этого уравнения вместо / введем число Я = 1+1/2, после чего (0.5) перепишется в виде: четное относительно Д. В первом параграфе главы 2 мы исследуем уравнение (0.6) с граничными условиями при х = 0.

Асимптотические формулы для решений системы п дифференциальных уравнений второго порядка в случае нулевого собственного значения

Для доказательства аналитичности f(X, к, х) относительно достаточно показать, что каждый член f„(X, к, х) является аналитической функцией к или же, что последовательность производных по к также сводится равномерно и непрерывна по к. Можно, очевидно, вывести свойства / (X, к, х) как функции к или X, исходя из свойств р (X, к, х) (решение уравнения (2.2) при х = 0) как функции X и к, не рассматривая еще одно интегральное уравнение [7]. Так как р (Я, к, х) является аналитической по X при \х 0, следовательно/(Я, к, х) является аналитической функцией к в области Ъ 0. Итак, справедлива следующая Теорема 2.2. Функция f (X, к, х) является целой функцией X и аналитической функцией к в области Ъ 0. Пусть теперь b = Im к 0, тогда все сказанное выше остается справедливым, если выполняется условие: ja(t)e2hl dt є L] (0,oo). И оценки для итерационных рядов принимают вид:

При х = со снова введем формальные итерационные разложения аналогично (2.13) и (2.14) и установим оценку сверху для членов этих итерационных разложений при Ъ 0: При х = 0 анализ уравнения (2.23) полностью соответствует общему случаю. 2. V(x) = xaSinxfi,aZ0,fi a + 2. В этом случае уравнение (2.11) имеет вид: Очевидно, что члены итерационных рядов мажорируются соответствующими членами разложения экспоненты и, следовательно, эти ряды сходятся при b = Im к О, р а + 2. Таким образом, мы доказали существование решения уравнения (2.2) с принятыми граничными условиями (2.3). При х = 0 анализ уравнения (2.23) также полностью соответствует общему случаю. Фукция Иоста и S-матрица Так как вронскиан каждой пары решений уравнения (2.2) не зависит от л;, можно ввести функцию: она называется функцией Иоста, поскольку незначительно отличается от соответствующей функции, введенной им для S-волн [13]. Функция Иоста может быть явно вычислена при V (х) = 0: Для дальнейшего удобно ввести нормированную функцию Иоста: которая равна единице при V (х) = 0. Функции f (±Х, ±к) полностью определяют связь между решениями с граничными условиями при х = 0 и решениями с граничными условиями при х — со. Значения функций Иоста не независимы, поскольку они удовлетворяют тождеству:

Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х

А катализаторы с двумя активными центрами на атоме цинка, доступными для координации эпоксида, могут иметь одновременно два скоординированных эпоксида, и в этом случае, последовательное раскрытие эпоксидного кольца приводит к эфирным связям, что составляет конкуренцию координации СС . Coates и сотрудники сравнительно недавно разработали растворимый цинковый катализатор — Р N дииминат цинка (6), с хелатными р-дииминатными ZnOMe лигаНдами _ имеющий беспрецедентную активность достигнута в мягких условиях при давлении всего лишь 6,8 атм СОг и при 50С за 2 часа. Другой особенностью этого катализатора является его способность генерировать полимер с замечательно низкой полидисперсностью близкой к 1.1. Узкая полидисперсность объясняется быстрым инициированием и отсутствием передачи цепи или обрыва в течение полимеризации, вследствие преимуществ, вытекающих из гомогенного катализа. В 1999 году, Nozaki и сотрудники сообщили о первой успешной ассиметричной сополимеризации СОг и циклогексеноксида с использованием катализатора, который является производным от Ph диэтилцинка и хирального аминоспирта (7) [88] (структура Coatcs и сотрудники немедленно сообщили о системе для ассиметричного катализа даже с большей активностью и селективностью [89]. Попытки модифицировать упомянутый ранее Р-дииминатный катализатор (6) синтезом бж оксазолиновой системы с С 2 симметрией (вращение относительно оси второго порядка) — не привели к сколь-нибудь активному катализатору. Однако, синтез гибридного имин-оксазолинового лиганда, сделал возможным получение активного асимметричного катализатора (8). В дальнейшем, при изменении заместителей в оксазолиновой группе (R ), иминной группе (R ) и N-фенильиой группе (R3) был обнаружен оптимальный катализатор, который дал до 76%

Непреднамеренно, усилия Nozaki и сотрудников в разработке асимметричного катализатора привели к интересному спектроскопическому открытию. Предыдущие разработки в области асимметричного катализа показали, что карбонильный углерод в изотактической и синдиотактической диадах в полициклогексенкарбонате проявляется при различных химических сдвигах в 13С ЯМР-спектрах. Эти изотактические и синдиотактические пики были идентифицированы использованием диастереомеров 2,2 -оксидициклогексанола, как модельных соединений [80]. Распределение ,3С ЯМ? пиков основанное на этих моделях принималось в литературе, и как результат, считалось, что полициклогексенкарбопат на определенных катализаторах получается преимущественно синдиотактическим [82]. Когда Nozaki и сотрудники впервые синтезировали асимметричный сополимер, 3С ЯМР-спектр показал, что сополимер был синдиотактическим, если предыдущие сообщения о соответствии пиков были правильными [88]. Однако полимер с высокой степенью оптической чистоты не мог быть синдиотактическим, поскольку это требовало бы от соседних звеньев противоположной хиралыюсти <Рис. 2.2.3.). В результате, Nozaki провел более полное исследование с лучшими модельными соединениями и обнаружил что, ранее принимаемое распределение пиков необходимо обратить [90]. Таким образом, энантиомерно богатый сополимер является изотактическим.

Примеры. Функция Иоста и S-матрица

Ароматические поликарбонаты являются хорошо известными термопластами, которые нашли разнообразное применение в промышленности. Алифатические поликарбонаты являются относительно новыми термопластами. Они могут использоваться для улучшения переработки полиолефинов, снижения усадки каландрированного полипропилена 100, для улучшения механических свойств бутадиен-стирольных резин [102] и для образования композиций с другими полимерами [103]. Они также имеют хороший потенциал в качестве биодеградируемых и биосовместимых материалов. Исследуется возможность их использования в тканевых имплантантах [104], в качестве матрицы для доставки лекарств в организм, упаковочной пленки и медицинских швов.

В таблице 2.3.1. приведены свойства и области применения, наиболее интересного с промышленной точки зрения, полипропиленкарбоната. Наиболее перспективной областью применения этого полимера является производство упаковочных материалов, поскольку полимер обладает, помимо всех необходимых для этого свойств, биоде град иру ем остью и экологически безопасен.

Взаимосвязь между характеристической вязкостью полипропиленкарбоната и среднечисловым молекулярным весом при 35С в бензоле выражается уравнением [105]: В настоящее время для определения молекулярно-массовых характеристик в основном применяют гель-проникающую хроматографию, используя в качестве сравнения полистирольный стандарт.

Гидролиз полиалки лен карбонатов протекает достаточно легко, особенно в щелочных условиях [15]. Деградация полиалкиленкарбонатов может протекать на цинкорганических катализаторах и гидроксисодержащими веществами (вода, спирты) при температуре порядка 100С [106]. Данных о физических свойствах алифатических поликарбонатов, покрывающих широкий диапазон полимеров, немного [99]. В наиболее современных публикациях [107, 108], касающихся исследований физических свойств, рассматриваются термические, механические и реологические свойства.

Полипропиленкарбонат, полипентенкарбонат, полигексенкарбонат, поли октен карбонат, полициклогексенкарбонат являются полностью аморфными [108]. Предположительно, это связано с используемыми каталитическими системами, которые генерируют химические микродефекты и препятствуют кристаллизации. Примерами, таких микродефектов являются эфирные фрагменты, образующиеся в течение сополимеризации из-за гомополимеризации алкиленоксидов. Термические свойства. Известно, что температура стеклования и температура начала разложения, увеличиваются с увеличением молекулярной массы полимеров. Это можно видеть на примере ППК (Табл. 2.3.2.). Наиболее стабильные результаты измерения температуры стеклования (Тсгскл) получают для образцов с числовыми молекулярными массами около 100 тысяч. Большинство каталитических систем генерируют полимер с молекулярной массой близкой к этому значению.

Кроме того, строго чередующаяся структура полимера играет решающую роль в термической стабильности полимера [107]. Наличие большого количества эфирных включений значительно снижает температуры стеклования и разложения за счет нарушения упаковки полимера.

Температура стеклования уменьшается также и с увеличением длины боковой цепи, если прослеживать ряд гомологов, начиная с полиэтиленкарбоната (за исключением полипропиленкарбоната). Поскольку главные цепи полимеров являются полярными, то наличие длинных подвижных неполярных боковых цепей понижает температуру стеклования, поскольку последние раздвигают главные цепи полимера, снижая величину диполярных взаимодействий между главными цепями. Также возможно, что количество диполярных взаимодействий на единицу объема снижается вследствие увеличения углеводородной доли в полимерах по отношению к полярной доле. Так температура стеклования понижается от +10С для полиэтиленкарбоната до —17С для полиоктен карбоната. Данный процесс аналогичен внутренней пластификации.

Температура стеклования увеличивается с увеличением жесткости цепи. Поэтому полициклогексенкарбонат с жестким кольцом циклогексена, являющимся частью основной цепи, имеет очень высокую температуру стеклования Tg=105C (Mw=33800). Боковая -СНз группа полипропилен карбоната делает цепь более жесткой, чем в полиэтиленкарбонате, что и обуславливает более высокую температуру стеклования (+28С для Mw=28900).

Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения и метод нормальных форм Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Махоркин А. В.

Изучаются структура решений и вид некоторых сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут быть получены методом нормальных форм.

Singular perturbation differential equations and method of normal forms

In this paper are considered the structure and form of singular perturbation differential equation and method of normal forms.

Текст научной работы на тему «Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения и метод нормальных форм»

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И МЕТОД НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ

In this paper are considered the structure and form of singular perturbation differential equation and method of normal forms.

А. Рассмотрим сингулярно возмущенную систему нелинейных дифференциальных уравнений

е» • X = f (е, t, X) , (1)

мися в окрестности нуля степенными рядами А(е, <) = ^ А^ер • ^ ;

Ару — постоянные п х п -матрицы; g(е, t, х) = ^ gk(е, ^ • хк; gk(е, ^ —

формальные или сходящиеся в окрестности нуля векторные степенные ряды; к = (к1,к2. кп) — п-вектор с целочисленными неотрицатель-

I! I х—’ 1 1 к1 к2 кп

ными компонентами, \к\ = ^ к , х = х1 • х2 •. • хп .

Заменим неавтономную систему п дифференциальных уравнений (1) расширенной п + 2 -мерной автономной системой дифференциальных уравнений введением новой независимой переменной т:

— = Д(еД)• х + g(е,t,x), — = 0, — = еп . (2)

Полученную систему (2) запишем в векторной форме:

А(0,0) = А00; 5 = 1 при п = 1 и5 = 0 при п> 1; У = (Де,t,х)-А(0,0)х,0,(1 -5)еп)Т. Не умаляя общности, будем полагать, что А(0,0) = |д — нижнетре-

где y = (x1. xn,e,t)r; B =

— (n + 2)x(n + 2)-постоянная матрица;

Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 70 — 75.

угольная нормальная жорданова форма, тогда (п + 2) х (п + 2) -матрица В = |в — нижнетреугольная нормальная жорданова форма. Обозначим А1. Ап собственные числаА(0,0), тогда X1. Ап,0,0— собственные числа матрицы В.

Построим для автономной системы дифференциальных уравнений (3) нормальную форму [1; 2] заменой переменных [1; 3]:

где 2 = (г1, г2. гп, гп+1, гп+2)т; к(г) = (к1 (г), к2 (г). Нп (г), Нп+1 (г), Нп+2 (г))Т — формальный векторный степенной ряд без постоянных и линейных членов. Такая замена называется нормализующим преобразованием [2].

Поскольку (4) — нормализующее преобразование, то будем считать равными нулю все резонансные коэффициенты [3] формального векторного степенного ряда к( г). Так как два последних уравнения

системы (3) в нормальной форме, то пусть кп+1(г) = 0, кп+2(г) = 0,

) = (к1(г),к2(г). кп(г))т, тогда нормализующее преобразование (4) примет вид

где все резонансные коэффициенты к(є, £,

) равны нулю, а нерезонансные — однозначно определены [3; 4].

Резонансные соотношения для системні (3)

где ] = 1,2. п, ц = (ц1,ц2. цп) -п -вектор с неотрицательными целочис-

ленными компонентами; (ц, А) = ^цк • Ак. Нормальная форма автоном-

ной системы (3) имеет вид [4]

где Ъ(г) — п + 2 -вектор с компонентами — формальными степенными рядами без постоянных и линейных членов; Ъп+1(г) = 0, Т+2(г) = 0 при п = 1 и Т+2(г) = єп при п > 1; все нерезонансные коэффициенты Ъ 1(г). Ъп (г) равны нулю, а резонансные — однозначно определяются.

Сделаем далее ряд предположений.

I. Все собственные числа матрицы А(0,0)-А1, А2. Ап — различны.

II. аеЬ А(0,0) Ф 0, т. е. все числа А1, А2. Ап отличны от нуля.

III. Для любых неотрицательных целых ц1. цп и любого ] = 1. п А — (ц,А) Ф 0, кроме случая ц1 =. = ц;’-1 = Ц+1 =. = цп = 0, ц = 1.

Заметим, что для системы (1) из предположения III следуют предположения I и II. Если считать, что предположение III выполняется, то в нормальной форме (6) Ък(г) = Ск(є,Ь) •

к, где к = 1,2. п,Ск(є, Ь) — формальные степенные ряды без постоянных членов. Это означает, что

нормальная форма (6) — = А(0,0)

где Z(є,í) = йія^С^єД), . Сп(є,Ь)) — диагональная п х п -матрица с ненулевыми элементами — формальными степенными рядами С1(є,Ь), . Сп(є,Ь).

Исключая в выражении (7) независимую переменную т, получим неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

Так как система (8) линейна и при выполнении предположения I матрица А(0,0) + Т(є, Ь) — диагональная, то общее решение системы (8) выглядит следующим образом:

= ехр[є-п (А(0,0)Ь + | Т(є, т)йт)] • С, (9)

где С = (С1,С2. Сп) — постоянный вектор. Так как по предположению А(0,0) = йiag(А1, А2. Ап), то общее решение (9) примет форму

2к = ехр[є-п(АкЬ + >ск(є, т)1т)] • Ск (к = 1,2. п). (10)

Вышеизложенным доказана следующая теорема:

Теорема 1. Если сингулярно возмущенная система нелинейных дифференциальных уравнений

удовлетворяет предположению III, то:

1. Существует замена переменных

* Обозначения смотри выше

у которой резонансные коэффициенты Н(е, г,

) равны нулю, а нерезонансные

— однозначно определены, приводя систему нелинейных дифференциальных уравнений (11) к линейной форме:

где А(е, г) = А(0,0) + Z(е, г).

2. Общее решение системы дифференциальных уравнений (11) представляется формальными экспоненциальными рядами

где к = 1,2. п и 2к определяются соотношением (10).

В. Рассмотрим сингулярно возмущенную систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

еп • X = А1(е, г)х, (15)

где п е Ы; е — малый параметр; х = (х1. хп)Т; А1(е,г) — п х п-матрица с элементами, формальными или сходящимися в окрестности нуля, степенными рядами, т. е. Л1(е,Ь) = ^Л11ке11к, Л11к — постоянные п х п -матрицы.

Заменим линейную неавтономную систему (15) расширенной п + 2 -мерной автономной системой нелинейных дифференциальных уравнений введением новой независимой переменной т:

— = А1(££г)х, — = 0, — = еп. (16)

Расширенную систему (16) запишем в векторной форме:

йТ = В1У + У1(у), (17)

где у = (х1 ,х2 . хп, е,і); В1 =

— (п + 2) х (п + 2) -матрица,

5 = 1 при п = 1 и 5 = 0 при п > 1; У1(у) = ([А1(є,і)- А1(0,0)]х,0,(1 -5)єп)т.

Не умаляя общности, можно считать, что матрица А1(0,0) = 7а1 —

нижнетреугольная жорданова нормальная форма, следовательно, и матрица В1 = ]Ві — нижнетреугольная жорданова нормальная форма.

Обозначим А1, А2. А» собственные числа матрицы А1(0,0), тогда А1,А2. А»,0,0 — собственные числа матрицыВ1.

Приведем заменой переменных автономную систему дифферен-

циальных уравнений к нормальной форме [1; 2]:

где 2 = (21,22. 2п,2п+1,2п+2)т; Нг(х) = (Нl1(z),Н2(z). Н1(z),Н1+1(z),Н1+2(z)/ — векторный формальный степенной ряд без постоянных и линейных членов.

Последние два уравнения автономной системы (17) в нормальной форме, то есть можно считать, что Н’!+1(г) = 0, Н’п+2(г) = 0 и хп+1 = е, хп+2 = ї. Более того, автономная система (16) линейна по х, следовательно,

Н,(г) = (Н\(г), Н21(г). Н1(г))т = Щ(е(ї)

= (х1,22. хп)т; Щ(е(ї) -п х п -матрица, элементы которой — формальные степенные ряды без постоянных членов.

В этом случае резонансные соотношения имеют вид

Ак =А (к,] = 1,2. п). (19)

Пусть предположение I выполняется, тогда у нормальной формы автономной системы дифференциальных уравнений (17)

где Хг(є,ї) = diag(Zll(є,ї), Ъ\(є,ї). Ъп1(є,ї), Ъп*1(є,ї), Тп*2(є,ї)) — диаго-

нальная п х п -матрица с элементами Zik (є, ї) = С^ (є, ї)хк (к = 1,2. п),

+1(є,ї) = 0,Zn+2(є,ї) = 0 при п = 1 и Zn+2(є,ї) = єп при п > 1. Здесь Ск (є, ї) — формальные степенные ряды без постоянных членов.

Предположение I означает, что резонансные соотношения (19) выполняются только при к = ] .

Запишем нормальную форму (20) в развернутом виде:

1 (є,ї) = diag(Zll(є,ї), Z21 (є,ї). Zrll (є,ї)).

Исключим в нормальной форме (21) независимую переменную т:

єп • 2 = [А1(0,0) + 21(є,і)]г. (22)

В полученной системе (22) матрица А1 (0,0) + Z1 (є, ї) диагональная в силу предположений I, следовательно, фундаментальная матрица линейной системы дифференциальных уравнений (22) имеет вид

Ф(є, ї) = ехр[є-п (А1 (0,0)ї + | ¿

так как А1(0,0) = diag(>>,А2. Ап), то матрицу (23) можно записать как

Ф(є, ї) = ехр[є-п (diйg(А1ї, А2ї. Апї) +1 ¿

Это позволяет получить фундаментальную матрицу сингулярно возмущенной линейной системы (15) из нормальной формы (18):

Ф(є, Ь) = Ф(є, Ь) + Н(є, Ь)Ф(є, Ь), (24)

Ф(є, Ь) = [Еп + Н(є, Ь)]Ф(є, Ь). (24′)

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 2. Если сингулярно возмущенная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

єп • X = А1(є,Ь)х (25)

удовлетворяет предположению I, то:

1. Существует линейная замена переменных х =

, приводящая систему (25) к линейной системе дифференциальных уравнений єп •

, где А1(є,ї) = А1(0,0) + Z1(є,ї)- диагональная пх п-матрица (обозначения смотри выше).

2. Фундаментальная матрица сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений (25) представляется формальными экспоненциальными рядами (23; 24).

Заключение. Если предположение I не выполняется, то сингулярно возмущенная система дифференциальных уравнений (25) линейной заменой переменных приводится к блочно-диагональной линейной системе дифференциальных уравнений, размер блоков которой кратен соответствующим собственным числам матрицы А1(0,0).

1. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979 .

2. Арнольд В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах / УМН. 1972. Т. 27. Вып. 5. С. 119-184.

3. Bibikov Yu.N. Local theory of nonlinear analytic ordinary differential equations. Springer-Verlag, 1979.

4. Ван Д., Ли Ч., Чоу Ш.-Н. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. М., 2005.

А.В. Махоркин — канд. физ.-мат. наук, доц. РГУ им. И. Канта.

О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Найдюк, Филипп Олегович

Специальность ВАК РФ 01.01.02
Количество страниц 134

Скачать автореферат
Читать автореферат

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Найдюк, Филипп Олегович

1 Смешанная задача для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода.

1.1 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого и третьего родов

1.2 Представление решения задачи (1.1.3)-(1.1.4) в виде тригонометрического ряда.

1.3 Решение задачи (1.1.3)-(1.1.4) методом шагов

1.4 Формула суммы тригонометрического ряда специального вида

1.5 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями второго и третьего родов

1.6 Решение задачи (1.5.2)-(1.5.3) методом шагов.

1.7 Решение волнового уравнения для нагруженной струны

2 Новая вычислительная схема решения смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода и её сравнение с известными.

2.1 Применение разностной схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода

2.2 Построение новой схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода.

3 Волновое уравнение с сингулярными коэффициентами на связных и конечных геометрических графах. f 3.1 Понятие связного открытого геометрического графа

3.2 Функциональные пространства на связном открытом геометрическом графе.

3.3 Волновое уравнение на геометрическом графе с д- и 6′- сингу-лярностями в коэффициентах

3.4 Единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с 5- и 8′- сингулярностями в коэффициентах

3.5 Примеры смешанных задач для волнового уравнения на различных графах

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами»

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа uxx 0), (1) в котором Г — геометрический граф, а коэффициент q(x) есть конечная линейная комбинация S и 5′ функций с носителями в точках из Г q(x) = ^^ ki5(x — Xi) + ^Г^ kj5′(x — £j) i э здесь 8 это дельта функция Дирака).

Основная цель, которая преследовалась в работе, состоит в выделении классов геометрических графов и смешанных задач для уравнения указанного типа, решения которых могут быть выражены через начальные данные посредством конечного числа арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простых преобразований независимого аргумента (аддитивный сдвиг и умножение на —1), — подобно тому, как решение волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого рода выражается через начальные данные с помощью формулы Далам-бера.

Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.

Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах — пространственных сетях, одномерных клеточных комплексах, одномерных стратифицированных множествах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К таким уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [15, 79, 82]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [15, 82, 79, 46, 76, 81]), деформаций упругих сеток (см., например, [15, 82]) и струнно-стержневых систем [3, 54], диффузии в сетях [15, 82, 24], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [84, 78, 72], бифуркаций вихревых течений в жидкости [74], гемодинамики (см., например, [48]), колебаний сложных молекул (см., например, [49, 11, 15]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [14]), приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [50, 27, 81, 26]).

Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существования полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов — см. [15] и цитированную там литературу.

Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как наличие в потенциале аддитивной составляющей в виде конечной линейной комбинации: 1) 5-функций с носителями во внутренних вершинах геометрического графа [15], 2)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Найдюк, Филипп Олегович, 2004 год

1. Абдулмаджид М. Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка — спектральная теория: дисс. . канд. физ.-мат. наук / М. Абдулмаджид. — Воронеж, 1992. — 101 с.

2. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Кук. М. : Мир, 1967. — 548 с.

3. Березин И.С. Методы вычислений: в 2-х т. / И.С. Березин, Н.П. Жидков. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. — Т. 2. — 620 с.

4. Боровских А.В. О распространении волн по сети / А.В. Боровских, А.В. Копытин // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. — С. 21-25.

5. Будак Б.М. Сборник задач по математической физике / Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. М. : Наука, 1972. — 688 с.

6. Бурлуцкая М.Ш. Граничное управление системой из трёх струн с одним закреплённым концом / М.Ш. Бурлуцкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 45-46.

7. Гаврилов А.А. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / А.А. Гаврилов, О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 2000. — Т. 36, № 2. -С. 226-232.

8. Герасименко Н.И. Задача рассеяния на некомпактных графах / Н.И. Герасименко, B.C. Павлов // Теоретическая математ. физика. -1988. Т. 74, № 3. — С. 345-359.

9. Глотов Н.В. О колебаниях с трением на сети / Н.В. Глотов, B.JI. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIV»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2003. — С. 39-40.

10. Головатый Ю.Д. Асимптотика собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с сингулярным возмущениемплотности / Ю.Д. Головатый, С.А. Назаров, О.А. Олейник // Успехи мат. наук. 1988. — Т. 43, выпуск 5(263). — С. 189-190.

11. Гудзовский А.В. К расчёту гидравлических сетей / А.В. Гудзовский // Докл. АН. 1988. — Т. 358, № 6. — С. 765-767.

12. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.]. М. : Физматлит, 2004. — 272 с.

13. Знаменская J1.H. Задача граничного наблюдения за упругими колебаниями / J1.H. Знаменская // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XV»: материалы Воронеж, весен, мат шк. — Воронеж, 2004. — С. 97.

14. Знаменская J1.H. Управление упругими колебаниями / JI.H. Знаменская. М. : Физматлит, 2004. — 176 с.

15. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах за произвольный промежуток времени / В. А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. — Т. 35, № 11. — С. 1517-1534.

16. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В.А. Ильин // Диф. уравнения. 1999. — Т. 35, № 12. — С. 1640-1659.

17. Ильин В. А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Диф. уравнения. 2000. — Т. 36, № И. -С. 1513-1528.

18. Ильин В.А. Граничное управление процессом колебаний струны на двух концах при условии существования конечной энергии / В.А. Ильин // Докл. РАН. 2001. — Т. 376, № 3. — С. 295-299.

19. Ильин В.А. Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса / В.А. Ильин, В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. 1999. — Т. 35, № 5. — С. 692-704.

20. Кадиев Р.И. Изучение спектральных характеристик одного класса операторов Шредингера с потенциалами нулевого радиуса: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Р.И. Кадиев. Махачкала, 1995. — 18 с.

21. Каменский М.И. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети / М.И. Каменский, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Докл. РАН. 1999. — Т. 368, № 2. — С. 157-159.

22. Канторович JI.B. Приближённые методы высшего анализа / J1.B. Канторович, В.И. Крылов. JI. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1949. — 695 с.

23. Комаров А.В. О приближении многомерных объектов одномерными: автореферат дис. . канд. физ.-мат. наук / А.В. Комаров. Воронеж, 2003. — 18 с.

24. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн / А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Изв. вузов. 2000. — Т. 463, № 4. — С. 23-27.

25. Копытин А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми ребрами / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Вест. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2001. -№ 1. — С. 104-107.

26. Копытин А.В. Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях: дисс. . канд. физ.-мат. наук / А.В. Копытин. Воронеж, 2002. — 77 с.

27. Копытин А.В. Об ограниченности обобщённых решений волнового уравнения на сети / А.В. Копытин // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIII»: материалы Воронеж. весен, мат. шк. — Воронеж, 2002. — С. 80-81.

28. Копытин А.В. Об одном представлении решения волнового уравнения на сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк., (дополнит, вып.). Воронеж, 2001. — С. 307.

29. Копытин А.В. Решение волнового уравнения на пространственной сети / А.В. Копытин, B.JI. Прядиев // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2000. — С. 19-23.

30. Кошляков Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит. 1962. — 768 с.

31. Куляба В.В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах / В.В. Куляба, О.М. Пенкин // Докл. РАН. 2002. — Т. 386, № 4. — С. 453-456.

32. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математического анализа / « Ш.Е. Микеладзе. М. : Гос. издат. технико-теоретич. лит., 1953.527 с.

33. Найдюк Ф.О. Исследование формулы Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. — Деп. В ВИНИТИ 07.07.03, 23 с. — № 1288-В2003.

34. Найдюк Ф.О. Об аналоге метода Римана для негладких гиперболических уравнений / Ф.О. Найдюк // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 163.

35. Найдюк Ф.О. О методе Даламбера в случае упруго закреплённой струны / Ф.О. Найдюк // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1999. — С. 41-46.

36. Найдюк Ф.О. О решении волнового уравнения с краевым условием третьего рода /Ф.О. Найдюк // Современные методы в теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. шк. Воронеж, 2002. -С. 106.

37. Найдюк Ф.О. Решение волнового уравнения для нагруженной струны / Ф.О. Найдюк // Международной конфер. по диф. уравнениям и динамическим системам: тез. докл. Суздаль, 2004. — С. 149-150.

38. Найдюк Ф.О. Краевое условие третьего рода в задаче на графе / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIV»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2003. — С. 96-97.

39. Найдюк Ф.О. Формула продолжения начальных данных в решении Даламбера для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода / Ф.О. Найдюк, B.JI. Прядиев // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. — № 1. — С. 115-122.

40. О собственных колебаниях струны с присоединённой массой / Ю.Д. Головатый и др.] // Сиб. мат. журн. 1988. — Т. 29, № 5. — С. 71-91.

41. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети / А.В. Боровских и др.] // Докл. РАН. -1995. Т. 345, № 6. — С. 730-732.

42. Олейник О.А. О собственных колебаниях неоднородной струны с конечным числом присоединённых масс / О.А. Олейник, Т.С. Соболева // Успехи мат. наук. 1988. — Т. 43, № 6. — С. 185-186.

43. Осреднённая нелинейная модель гемодинамики на графе сосудов / А.Я. Буничева и др.] // Диф. уравнения. 2001. — Т. 37, № 7. -С. 905-912.

44. Павлов Б.С. Модель свободных электронов и задача рассеяния / Б.С. Павлов, М.Д. Фадеев // Теоретическая математ. физика. -1983. Т. 55, № 2. — С. 257-269.

45. Пенкин О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах: дисс. . канд. физ.-мат. наук / О.М. Пенкин. Воронеж, 1988. — 89 с.

46. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1998. — Т. 34, № 10. — С. 1433-1434.

47. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1997. — Т. 33, № 10. — С. 1404-1409.

48. Пенкин О.М. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Диф. уравнения. 1998. — Т. 34, № 8. — С. 1107-1113.

49. Перловская Т.В. О краевой задаче нелокально взаимодействующих уравнений разного порядка /Т.В. Перловская // Современные методы теории краевых задач: «Понтрягинские чтения XIV»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2003. — С. 110.

50. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения / Э. Пинни. М. : Изд. иностр. лит., 1961. — 248 с.

51. Покорный Ю.В. Волновое уравнение на пространственной сети / « Ю.В. Покорный, B.JI. Прядиев, А.В. Боровских // Докл. РАН.2003. Т. 388, № 1. — С. 16-18.

52. Прядиев B.J1. О непериодических колебаниях упругих сеток / B.JI. Прядиев // Современные методы в теории краевых задач: «Понтря-гинские чтения XI»: материалы Воронеж, весен, мат. шк. — Воронеж, 2000. — С. 158.

53. Прядиев B.JI. Свойства фундаментального решения смешанной задачи для волнового уравнения на графе / B.JI. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 202-203.

54. Прядиев B.JI. Теоремы Штурма для разрывных уравнений на графе / B.JI. Прядиев, М. Абдульмаджид; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. — Деп. В ВИНИТИ 15.04.92, 20 с. — № 1288-В92.

55. Прядиев B.JI. Об управлении колебаниями сети / B.JI. Прядиев, Н.В. Глотов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. — С. 203204.л.

56. Прядиев B.JI. К вопросу о периодичности колебаний упругих сеток / t B.JI. Прядиев, А.В. Копытин, А.В. Боровских // Современные методы в теории краевых задач: «Понтрягинские чтения X»: материалы Воронеж, весен, мат шк. — Воронеж, 1999. — С. 198.

57. Прядиев B.JI. О суммировании рядов из синусов некратных дуг / B.JI. Прядиев, Ф.О. Найдюк // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. -Воронеж, 2003. С. 205.

58. Прядиев B.JI. Правило параллелограмма для волновых уравнений на сетях. Визуализация решений / B.JI. Прядиев, С.С. Шаталов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003 — С. 206-207.

59. Рябенький B.C. Об устойчивости разностных уравнений / B.C. Рябенький, А.Ф. Филиппов. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1956. — 171 с.

60. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский. М. : Наука, 1971. — 552 с.

61. Самарский А.А. Численные методы математической физики / А.А. Самарский, А.В. Гулин. М. : Научный мир, 2003. — 316 с.

62. Соболев C.JI. Уравнения математической физики / C.JI. Соболев. -М.; Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1950. 424 с.

63. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. I / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. -2002. Т. 38, № 3. — С. 393-403.

64. Тихомиров В.В. Волновое уравнение с граничным управлением при упругом закреплении. II / В.В. Тихомиров // Диф. уравнения. -2002. Т. 38, № 4. — С. 529-537.

65. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М. : Гос. изд-во технико-теоретич. лит., 1953. -680 с.

66. Уравнения электрического поля дендрита нервной клетки / Ю.В. Покорный и др.] // Дифференциальные уравнения и их применения: тез. докл Второй международ, науч.-практ. конф. СПб, 1998. -С. 147-148.

67. Функция Грина разрывной задачи Дирихле на графе /Ю.В. Покорный и др.]; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. — Деп. В ВИНИТИ 03.06.92, 8 с. — № 1836-В92.

68. Ali-Mehmeti F. Nonlinear waves in networks / F. Ali-Mehmeti // Mathematical Research 1994. — V. 80. — 174 p.

69. Ali-Mehmeti F. Splitting of the energy of dispersive waves in a star-shaped network / F. Ali-Mehmeti, V. Regnier; University of Valenciennes. Preprint LMACS 99.7. — Valenci., — 2003. — 18 p.

70. Dependence of intracellular potentials on ramification of dendrites / Yu.V. Pokorny etc.] // Mechanisms of Adaptiv Behavior: Int. Synp. Dedicated to Academician Ivan Pavlov’s 150-anniversary: Abstr. -St.Petersburg, 1999. P. 140.

71. Kuchment P. Graph models of wave propagation in thin structures / P. Kuchment // Waves in Random Media. 2002. — V. 12. — № 4, P. 1-24.

72. Nicaise S. Approche spectrale des problemes de diffusion sur les reseaux / S. Nicaise // Lecture Notes in Math. 1987. — V. 1235. — P. 120-140.

73. Nicaise S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams / S. Nicaise, O.M. Penkin // Math. Meth. Appl. Sci. 2000. — V. 23. — P. 1389-1399.

74. Pokorny Yu.V. Differential equationc on networks (geometric graphs) / Yu.V. Pokorny, A.V. Borovskikh // J. Mathematical sciences. 2004. -V. 119. — Ж 6, P. 691-718.

75. Pryadiev V.L. On the laplacian spectrum on a graph with commensurable edges / V.L. Pryadiev, A.V. Kopytin // Spectral and Evolutional problems: Proc. of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol, 2001. — V. 11. — P. 167172.

76. The problem of intracellular and extracellular potentials of dendritic trees / Yu.V. Pokorny etc.] // Electrical Activity of The Brain: Mathematical Models & Analytical Methods: Proc. of The 1-st International Symposium. Pushchino, 1997. — P. 22-24.

Обратите внимание, представленные выше научные тексты размещены для ознакомления и получены посредством распознавания оригинальных текстов диссертаций (OCR). В связи с чем, в них могут содержаться ошибки, связанные с несовершенством алгоритмов распознавания. В PDF файлах диссертаций и авторефератов, которые мы доставляем, подобных ошибок нет.

Digital Science & Education LP, 85 Great Portland Street, First Floor, London, United Kingdom, W1W 7LT

источники:

http://cyberleninka.ru/article/n/singulyarno-vozmuschennye-differentsialnye-uravneniya-i-metod-normalnyh-form

http://www.dissercat.com/content/o-svoistvakh-reshenii-giperbolicheskikh-uravnenii-s-singulyarnymi-koeffitsientami

Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами

Дифференциальные уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами Садриева Рита Тагировна

Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений в случае кратных собственных значений

Асимптотические формулы для решений системы п дифференциальных уравнений второго порядка в случае нулевого собственного значения

Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при х

Примеры. Функция Иоста и S-матрица

Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения и метод нормальных форм Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Махоркин А. В.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Махоркин А. В.

Singular perturbation differential equations and method of normal forms

Текст научной работы на тему «Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения и метод нормальных форм»

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Найдюк, Филипп Олегович

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Дифференциальные уравнения на геометрических графах с особенностями в коэффициентах 2007 год, кандидат физико-математических наук Глотов, Николай Владимирович

О некоторых свойствах решений волнового уравнения на геометрическом графе 2009 год, кандидат физико-математических наук Коровина, Олеся Вячеславовна

Свойства гиперболических уравнений на сетях 2005 год, кандидат физико-математических наук Гаршин, Станислав Валентинович

Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях 2002 год, кандидат физико-математических наук Копытин, Алексей Вячеславович

Качественные свойства решений уравнения Ходжкина-Хаксли на геометрическом графе 2007 год, кандидат физико-математических наук Грищенко, Алексей Валентинович

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О свойствах решений гиперболических уравнений с сингулярными коэффициентами»

Похожие диссертационные работы по специальности «Дифференциальные уравнения», 01.01.02 шифр ВАК

Функционально-дифференциальные операторы с инволюцией и их приложения 2019 год, доктор наук Бурлуцкая Мария Шаукатовна

Операторы Шредингера на разветвленных многообразиях и их аппроксимации 2014 год, кандидат наук Мохамед Хаммад Нуман Эльшейх

Геометрические свойства волнового уравнения на графах и сингулярных пространствах постоянной кривизны 2016 год, кандидат наук Цветкова, Анна Валерьевна

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Найдюк, Филипп Олегович, 2004 год