Дифференциальные уравнения в экономике курсовая

Моделирование экономических процессов с помощью дифференциальных уравнений

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 12 Октября 2013 в 20:29, курсовая работа

Краткое описание

Целью данной работы является изучение некоторых экономических моделей, в основе которых лежит теория дифференциальных уравнений на основе анализа различной литературы по данной теме. В ходе работы будут рассмотрены различные методы решения дифференциальных уравнений и разобраны экономические модели, построенные на их основе.

Содержание

Введение.
Глава 1. Простейшие примеры экономических моделей с использованием ДУ.
§1. Экономическая задача выравнивания цен по уровню актива.
§2. Динамическая оптимизация монополиста.
Глава 2. Модели, в основе построения которых, лежит метод вариации произвольных постоянных.
§1. Теоретические сведения.
§2. Динамика рыночной цены.
§3. Движение фондов.
Глава 3. Экономические модели, построенные на основе дифференциального уравнения Бернулли.
§1. Теоретические сведения.
§2. Модель роста Солоу.
Глава 4. Модели, в основе которых, лежат неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
§1. Теоретические сведения.
§2. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.
§3. Модель Эйзнера-Штротца.
Глава 5. Экономические модели, построенные на основе систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэфициентами.
§1. Теоретические сведения.
§2. Экономическая задача выравнивания цен по уровню актива.
§3. Задача о разведчике.
Заключение.

Вложенные файлы: 1 файл

1курсовая Мищенко 4-МИ.docx

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет физико-математического образования, информатики и программирования

Кафедра математики и математических методов в экономике

«Моделирование экономических процессов с помощью дифференциальных уравнений»

Выполнила студентка Мищенко Юлия Игоревна, математика с дополнительной специальностью информатика, очная

Мартынов Олег Михайлович, к.ф.-м.н.,доцент

Глава 1. Простейшие примеры экономических моделей с использованием ДУ.

§1. Экономическая задача выравнивания цен по уровню актива.

§2. Динамическая оптимизация монополиста.

Глава 2. Модели, в основе построения которых, лежит метод вариации произвольных постоянных.

§1. Теоретические сведения.

§2. Динамика рыночной цены.

§3. Движение фондов.

Глава 3. Экономические модели, построенные на основе дифференциального уравнения Бернулли.

§1. Теоретические сведения.

§2. Модель роста Солоу.

Глава 4. Модели, в основе которых, лежат неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

§1. Теоретические сведения.

§2. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.

§3. Модель Эйзнера-Штротца.

Глава 5. Экономические модели, построенные на основе систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэфициентами.

§1. Теоретические сведения.

§2. Экономическая задача выравнивания цен по уровню актива.

§3. Задача о разведчике.

Целью данной работы является изучение некоторых экономических моделей, в основе которых лежит теория дифференциальных уравнений на основе анализа различной литературы по данной теме. В ходе работы будут рассмотрены различные методы решения дифференциальных уравнений и разобраны экономические модели, построенные на их основе.

Глава 1. Простейшие примеры экономических моделей с использованием ДУ.

Начнем рассмотрение данной главы с теории фирмы и рынка.

Пусть y(t) — интенсивность выпуска продукции некоторого предприятия. Будем предполагать, что с увеличением выпуска будет происходить насыщение рынка и цена товара p(y) будет падать. Пусть, например, p(y)=b-ay, (a,b>0) и скорость увеличения интенсивности выпуска продукции является возрастающей функцией дохода.

Составить дифференциальное уравнение для функции y(t)

и, решив его, построить график этой функции.

Согласно механическому смыслу производной есть скорость изменения функции y(t) . По условию , где p(y)y— доход от продажи выпуска y(t) по цене p(y). Разделяя переменные, получим уравнение , интегрируя которое находим . Полученная в результате интегрирования функция y(t) представляет собой уравнение так называемой логистической кривой, часто возникающей в различных разделах социальных наук (см. рис. 1).

Логистическая кривая в данном случае отражает характер поведения выпуска продукции y(t) в соответствии с условием задачи, а именно налицо насыщение рынка товаром с ростом времени t.

§1. Экономическая задача выравнивания цен по уровню актива.

Пусть изменение уровня актива q пропорционально разности между предложением s и спросом d с коэффициентом пропорциональности k(k>0). Пусть, кроме того, изменение

цены р также пропорционально отклонению актива q от некоторого фиксированного уровня q₀ с коэффициентом пропорциональности т(т> 0).

Записать систему дифференциальных уравнений, соответствующую задаче выравнивания цен по уровню актива q при вышеизложенных предположениях.

Решение. Следуя условиям задачи, можем записать

где штрих при переменной обозначает производную по времени.

В результате, учитывая тот факт, что предложение s и спрос d оба являются функциями цены p, т.е. s(p), d(p), имеем следующую систему дифференциальных уравнений

Полученная система дифференциальных уравнений описывает динамическую модель выравнивания цен по уровню актива. Система уравнений может быть как линейной, так и нелинейной в зависимости от входящих в нее функций спроса и предложения.

Рассмотрим простейший случай зависимости функции спроса и предложения от цены — линейную зависимость. В дальнейшем, если потребуется, задачу можно усложнить и рассмотреть другие зависимости от цены упомянутых функций.

Итак, пусть s(p) = ap + s₀, d(p) = -cp + d₀, a>0, с>0 и

тогда система дифференциальных уравнений перепишется в виде

Упростим систему уравнений, вводя более удобные обозначения и другое написание производных. Имеем

Таким образом, мы получили систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Система является неоднородной ввиду того, что коэффициенты А₁₀, А₂₀ не равны нулю.

Однако, поскольку исследуемая система обладает стационарными решениями, вернее стационарной точкой которая находится из уравнений

и ее координаты равны , то только что полученная система может быть приведена к виду однородной системы дифференциальных уравнений. Для этого достаточно записать уравнения в вариациях относительно стационарной точки, что бывает необходимо при дальнейшем исследовании устойчивости найденных стационарных решений (стационарных точек).

Выполним замену переменных в результате которой неоднородная система дифференциальных уравнений примет вид однородной системы

§2. Динамическая оптимизация монополиста.

Рассматривается фирма-монополист, производящая однородную продукцию с квадратичной функцией затрат

Так как запасы продукции не предусматриваются, то выпуск Q всегда устанавливается равным спросу. Следовательно, мы будем употреблять символ Q(t) для обозначения обеих

величин. Спрос предполагается зависящим не только от цены , но также от скорости изменения цены

Таким образом, прибыль фирмы является функцией двух переменных и :

Целью фирмы является нахождение оптимальной траектории цены , максимизирующей общую прибыль на конечном промежутке времени [0,Т]. Этот промежуток предполагается достаточно коротким, чтобы оправдать предположение о фиксированных функциях спроса и затрат, так же как отсутствие множителя дисконтирования.

Задача фирмы-монополиста, следовательно, может быть

записана в виде:

Решение. Необходимое условие максимума может быть записано в виде, так называемого, уравнения Эйлера: где, Найдем частные производные:

После приведения подобных членов уравнение Эйлера примет вид:

т.е. задача оптимизации свелась к решению неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения может быть найдено методом вариации произвольных постоянных (см. ниже) и имеет вид: где

Глава 2. Модели, в основе построения которых, лежит метод вариации произвольных постоянных.

§1. Теоретические сведения.

Метод состоит также из двух этапов. На первом этапе интегрируется однородное уравнение

соответствующее неоднородному дифференциальному уравнению (4). Оно легко интегрируется разделением переменных: , откуда его общее решение имеет вид , в котором С — произвольная постоянная. Решение неоднородного дифференциального уравнения (4) ищется в виде:

где — новая неизвестная функция, т.е. первоначальная постоянная «варьируется»! Подставляя (7) в уравнение (4), получим где С — новая постоянная интегрирования. Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения (4) имеет вид:

Из последнего равенства видно, что общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (4) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (6) и некоторого частного решения неоднородного уравнения (4), т.е.

§2. Динамика рыночной цены.

Моделируется связь между изменением цены и неудовлетворенным спросом: , где соответственно спрос и предложение при цене .

Согласно модели Самуэльсона скорость изменения цены пропорциональна неудовлетворенному спросу с коэффициентом пропорциональности , т.е.

С учетом явного вида функций спроса и предложения данное уравнение примет вид

Решение. Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Будем искать его общее решение в виде суммы , где — общее решение соответствующего однородного уравнения Для последнего, разделяя переменные, получаем Легко «угадать», что в качестве частного решения уравнения (10) можно использовать стационарное равновесное решение где — корень уравнения т.е. значение цены при котором правая часть уравнения (9) обращается в ноль. Подставляя в уравнение (10), находим

Итак, общее решение уравнения (10) имеет вид:

Видно, что при с ростом времени (т.е. при ) функция стремится к своему стационарному значению

§3. Движение фондов.

Пусть — величина фондов в натуральном или стоимостном выражении, — коэффициент выбытия фондов. Выбытие ведет к уменьшению фондов за год на величину . Если считать, что выбытие фондов происходит равномерно, то за время фонды уменьшаются на . С другой стороны, инвестиции ведут к увеличению фондов. Предположим, что инвестиции в размере за год дадут увеличение фондов на величину , где — константы. Тогда за время инвестиции при их равномерном вложении дадут увеличение фондов на величину .

Учитывая перечисленные предположения, имеем:

Разделив левую и правую части на , получаем,

Переходя к пределу при , получим .

Решение. Будем искать решение полученного линейного дифференциального уравнения в виде: , где

— общее решение однородного уравнения , а — некоторое частное решение неоднородного уравнения. Разделяя переменные и интегрируя, получим

С учетом ранее приведенных замечаний частное решение выбираем в виде . После подстановки в уравнение (11),

Итак, искомая величина фондов выражается зависимостью .

Глава 3. Экономические модели, построенные на основе дифференциального уравнения Бернулли.

§1. Теоретические сведения.

Дифференциальное уравнение вида или — отрицательное или дробное, называется уравнением Бернулли, которое приводится к линейному дифференциальному уравнению .

§2. Модель роста Солоу.

Рассматривается модель экономического роста, в которой производственные фонды и трудовые ресурсы связаны производственной функцией ,

где — конечный продукт (выпуск).

В модели Солоу предполагается, что

где s —доля сбережений в доходе, и

где — темп роста трудовых ресурсов. Динамическая природа этих предположений состоит в том, что они определяют не уровни значений и , а скорости их изменения.

Возьмем в качестве производственной функции хорошо известную функцию Кобба-Дугласа . Обозначим , тогда

Подставим (14) в (12):

Так как , то . С учетом (13) имеем:

Приравнивая правые части равенств (15) и (16) и сокращая на L, получим дифференциальное уравнение

которое, как следует из ранее приведенного определения, является дифференциальным уравнением Бернулли.

Решение. Полагая, приводим уравнение (17) к линейному дифференциальному уравнению первого порядка относительно новой переменной z, общее решение которого имеет вид

Дифференциальные уравнения в экономической и социальной жизни

Автор: Гузалия Юсупова • Июнь 12, 2018 • Курсовая работа • 8,851 Слов (36 Страниц) • 590 Просмотры

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«Самарский государственный социально-педагогический университет»

Дифференциальные уравнения в экономической и социальной жизни

1. Дифференциальные уравнения первого порядка……………………………..5

1.1. Общие понятия и определения дифференциальных уравнений первого порядка…………………………………………………………………………….5

1.2. Дифференциальные уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными……………………………………………………………………. 7

1.3. Применение дифференциального уравнения естественного роста в экономической динамике………………………………………………………..11

1.4. Применение теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики………………………………………………………………16

1.5. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка………………………………………………………………………. 18

2. Дифференциальные уравнения второго порядка……………………………20

2.1. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………………20

2.2. Примеры решения экономических задач с помощью дифференциальных уравнений………………………………………………………………………. 22

Список использованной литературы…………………………………………. 27

Актуальность настоящей работы заключается в том, что дифференциальные уравнения описывают, и тем самым позволяют исследовать, поведение различных систем в самых разных областях науки — в механике, экономике, химии, экологии, социологии и т.д . Математические соотношения, полученные в результате исследования реального явления или процесса, называются математической моделью этого явления. Если эти соотношения описывают связи между некоторой функцией и ее производными или дифференциалами, модель называется динамической. С помощью динамических моделей, как правило, описываются процессы, развивающиеся во времени. В результате построения таких моделей возникают дифференциальные уравнения, если модель непрерывна.

В современной литературе подчеркивается глубокая связь математических методов с экономическими и финансовыми задачами.

Прежде всего, это связано с тем, что в последние годы все большее значение придается переплетению математики с экономикой и другими социальными науками. Причем это проявляется не только при решении практических задач, но и в фундаментальной науке.

Еще в 1969 году первую Нобелевскую премию по экономике получили Рагнар Фриш (Норвегия) и Ян Тинберген (Нидерланды) за создание и применение динамических моделей к анализу экономических процессов.

Первый американский Нобелевский лауреат по экономике Пол Сэмуельсон считает язык математики наиболее подходящим для современной экономической теории. В своих работах он предпринял попытку выразить важнейшие экономические категории и зависимости математическим образом. По мнению Самуэльсона, именно математический метод исследования позволяет сделать экономику наукой. Активно использовали в своих работах математический аппарат такие известные экономисты, как В. Леонтьев, К. Эрроу, Дж. Харсаний и Дж. Нэш. Широкое применение получило эконометрическое моделирование, благодаря которому были построены модели не только отраслей или сфер экономики, но и национальных экономик отдельных стран и мировой экономики. Здесь приоритет принадлежит Л. Клейну, хотя моделирование активно применяли и другие ученые: Ж. Дебре, Р. Солоу, Г. Марковиц, М. Миллер, У. Шарп. Нобелевской премии по экономике был удостоен в 1975 году и советский математик Л. Канторович.

Дифференциальные уравнения в экономике курсовая

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

По дисциплине: Высшая математика для экономистов

Тема: Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде

где f — некоторая функция нескольких переменных.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:

.Для всякой точки множества Г найдется решение y=y(x) уравнения(1.1),удовлетворяющее условию y();

2.Если два решения y=(x) и y=(x) уравнения (1.1) совпадают хотя бы для одного значения x= , т.е. если то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

где , M(x), P(x) — некоторые функции переменной х , g(y), N(y) , Q(y) — функции переменной у.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у — в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например из (1.2) следует, что = и = . Выполняя интегрирование , приходим к решению уравнения (1.2)

Пример 1. Решить уравнениеdx=xydy.

Решение. Разделив левую и правую части уравнения на выражение х

(при х ?0), приходим к равенству . Интегрируя, получим

(так как интеграл в левой части (а) табличный, а интеграл в правой части может быть найден , например , заменой =t , , 2ydy=2tdt и .

2. Неполные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка (1.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (1.1) имеет вид

Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки — нули функции f (у ), где производная у’ = 0.

Решение уравнения (2.2) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = ?(x ) (или х = ?(у)) :

Решить уравнение: . (2.4)

Решение. Найдем решение в виде x=x(y). Полагая, что y?0 из (2.3) и (2.4), получаем и , (2.5)

откуда и . Полагая, что произвольная постоянная , получим . (Заметим, что полученное общее решение уравнения при C=0 дает частное решение y=0, «потерянное» в процессе преобразований).

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

где р(х) и q(x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет название уравнения.

Если q(x) 0, то уравнение (3.1) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тождественно нулю, то уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравнение Бернулли

где р и q — непрерывные функции, a n — некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 — линейное однородное уравнение Пусть п ? 0, n ? 1. Введем новую функцию

Поделим обе части уравнения (3.3) на :

Умножая обе части этого уравнения на (1 — n ), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x) :

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функция z (x ) связана с искомой функцией у (x ) соотношением (3.4).

4. Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Задача 4.1 Модель естественного роста выпуска[1].

Пусть y(t) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р , т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y(t)=py(t).

Обозначим через I(t) величину инвестиций [см.словарь[1]] , направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т. е.

(Здесь пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что инвестиционный лаг [см.словарь[2]] равен нулю).

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода [см. словарь[3]] , получим

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина, 0 m 1.

Подставляя последнее выражение (б) для I(t) в (а), приходим к уравнению

Полученное дифференциальное уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными . Решая его, приходим к функции y(t)=.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены р реализованной продукции от ее объема y является убывающей функцией p=p(y) ( с увеличением объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения рынка).Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения (г) положительны, то , и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Действительно, из (г) следует, что

Напомним, что эластичность спроса [см.словарь[4]] (относительно цены) определяется формулой . Тогда выражение для можно записать в виде

и условие равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или , то и функция y(t) выпукла вниз; в случае, если спрос неэластичен, т.е. , или — 1 , то и функция y(t) выпукла вверх.

Задача 4.2 Об эффективности рекламы[6].

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x 0 человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к уравнению

Здесь k — положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t :

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

В общее решение входит неопределенная константа С . Полагая NC = D , получим равенство:

из которого определим функцию x (t ):

Здесь E = . Такого вида функция называется логистической , а её график — логистической кривой .

Если теперь учесть, что х (0) = х 0 и положить х 0 = N/ ?, где ? > 0, то можно найти значение константы Е . Логистичеcкая функция примет вид:

На рис.2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях ? . Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

Задача 4.3 Динамическая модель Кейнса.[7]

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y (t ), E(t), S(t), I(t) — соответственно национальный доход[см.словарь[5]] , государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения: (а)

где a(t) — коэффициент склонности к потреблению (0 (t ) автономное (конечное) потребление, k(t) — норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (а), положительны.

Поясним смысл уравнений (а). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу — этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления — эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы — они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t. Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t) :

Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а , b и k постоянными числами. Тогда уравнение (б) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (в) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y = 0, т.е.

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (в) имеет вид

Интегральные кривые уравнения (в) показаны на рис.4. Если в начальный момент времени Y0 то С = Y0 — Yp 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (г), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а , b, k и Е, так как показатель экспоненты в (д) положителен. Если же Y0 > Yp , то С > 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Yр. Уравнение (в) является автономным; точка Y = Yp представляет собой точку неустойчивого равновесия.

5. Словарь экономических терминов

1.ИНВЕСТИЦИИ (лат. investice — облачать) — долгосрочные вложения капитала в экономику. Инвестиции используются на покупку средств производства: оборудования, машин, земли и т. д. Затраты на эти элементы производства окупаются не сразу, а в течение многих лет, поэтому инвестиции носят долгосрочный характер. [2]

2.ДОХОД — денежные и материальные ресурсы, поступающие юридическим и физическим лицам, после завершения производственного цикла. В более широком плане — выручка и другие денежные средства, поступающие на предприятие. В международной практике под Д. понимают валовые поступления денежных и других средств, которые в процессе обычной хозяйственной деятельности предприятия возникают от реализации продукции, оказания услуг и от использования другими предприятиями ресурсов данного предприятия (проценты, дивиденды, лицензионные платежи и т.п.) [3]

3. ЛАГ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ — временной разрыв между осуществлением инвестиций и их окупаемостью. Включает в себя время оборота всех производственных капиталовложений (включая вложения в оборудование).[4]

4. ЭЛАСТИЧНОСТ СПРОСА ПО ЦЕНЕ показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены на 1 %.Рассчитывается через коэффициент эластичности.[5]

5. НАЦИОНАЛЬНЫЙ ДОХОД — часть стоимости созданного в стране совокупного общественного продукта, остающаяся после возмещения потребленных средств производства; обобщающий показатель экономического развития страны, в условиях товарного производства в стоимостном выражении выступает как вновь созданная стоимость за определенный период времени (обычно за год). Н.Д. страны равен валовому национальному продукту за вычетом амортизационных отчислений (износ основных средств) и косвенных налогов. С другой стороны, Н.Д. можно определить как сумму всех доходов за год в виде заработной платы, промышленной и торговой прибыли, процента на вложенный капитал и земельной ренты.[8]

переменная дифференциал функция линейное уравнение

6. Список литературы

1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 2003. — 471 с.

.Красс М.С.,Чупрынов Б.П.Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.

Теги: Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике Реферат Математика