Дифференциальные уравнения в экономике реферат

Дифференциальные уравнения в экономике реферат

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

По дисциплине: Высшая математика для экономистов

Тема: Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде

где f — некоторая функция нескольких переменных.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:

.Для всякой точки множества Г найдется решение y=y(x) уравнения(1.1),удовлетворяющее условию y();

2.Если два решения y=(x) и y=(x) уравнения (1.1) совпадают хотя бы для одного значения x= , т.е. если то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

где , M(x), P(x) — некоторые функции переменной х , g(y), N(y) , Q(y) — функции переменной у.

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у — в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например из (1.2) следует, что = и = . Выполняя интегрирование , приходим к решению уравнения (1.2)

Пример 1. Решить уравнениеdx=xydy.

Решение. Разделив левую и правую части уравнения на выражение х

(при х ?0), приходим к равенству . Интегрируя, получим

(так как интеграл в левой части (а) табличный, а интеграл в правой части может быть найден , например , заменой =t , , 2ydy=2tdt и .

2. Неполные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка (1.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

нетрудно убедиться, что его решением является функция

2. Пусть функция f зависит только от у, т.е. уравнение (1.1) имеет вид

Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки — нули функции f (у ), где производная у’ = 0.

Решение уравнения (2.2) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = ?(x ) (или х = ?(у)) :

Решить уравнение: . (2.4)

Решение. Найдем решение в виде x=x(y). Полагая, что y?0 из (2.3) и (2.4), получаем и , (2.5)

откуда и . Полагая, что произвольная постоянная , получим . (Заметим, что полученное общее решение уравнения при C=0 дает частное решение y=0, «потерянное» в процессе преобразований).

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

где р(х) и q(x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет название уравнения.

Если q(x) 0, то уравнение (3.1) называется линейным однородным уравнением; если же функция q(x) не равна тождественно нулю, то уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у(х). К таковым относится уравнение Бернулли

где р и q — непрерывные функции, a n — некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 — линейное однородное уравнение Пусть п ? 0, n ? 1. Введем новую функцию

Поделим обе части уравнения (3.3) на :

Умножая обе части этого уравнения на (1 — n ), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z(x) :

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функция z (x ) связана с искомой функцией у (x ) соотношением (3.4).

4. Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Задача 4.1 Модель естественного роста выпуска[1].

Пусть y(t) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р , т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y(t)=py(t).

Обозначим через I(t) величину инвестиций [см.словарь[1]] , направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т. е.

(Здесь пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что инвестиционный лаг [см.словарь[2]] равен нулю).

Полагая, что величина инвестиций I(t) составляет фиксированную часть дохода [см. словарь[3]] , получим

где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина, 0 m 1.

Подставляя последнее выражение (б) для I(t) в (а), приходим к уравнению

Полученное дифференциальное уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными . Решая его, приходим к функции y(t)=.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены р реализованной продукции от ее объема y является убывающей функцией p=p(y) ( с увеличением объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения рынка).Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения (г) положительны, то , и это уравнение описывает возрастающую функцию y(t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Действительно, из (г) следует, что

Напомним, что эластичность спроса [см.словарь[4]] (относительно цены) определяется формулой . Тогда выражение для можно записать в виде

и условие равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или , то и функция y(t) выпукла вниз; в случае, если спрос неэластичен, т.е. , или — 1 , то и функция y(t) выпукла вверх.

Задача 4.2 Об эффективности рекламы[6].

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x 0 человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к уравнению

Здесь k — положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t :

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

В общее решение входит неопределенная константа С . Полагая NC = D , получим равенство:

из которого определим функцию x (t ):

Здесь E = . Такого вида функция называется логистической , а её график — логистической кривой .

Если теперь учесть, что х (0) = х 0 и положить х 0 = N/ ?, где ? > 0, то можно найти значение константы Е . Логистичеcкая функция примет вид:

На рис.2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях ? . Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

Задача 4.3 Динамическая модель Кейнса.[7]

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y (t ), E(t), S(t), I(t) — соответственно национальный доход[см.словарь[5]] , государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения: (а)

где a(t) — коэффициент склонности к потреблению (0 (t ) автономное (конечное) потребление, k(t) — норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (а), положительны.

Поясним смысл уравнений (а). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу — этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления — эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a(t), b(t), k(t) и E(t) заданы — они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t. Подставим выражения для S(t) из второго уравнения и для I(t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y(t) :

Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а , b и k постоянными числами. Тогда уравнение (б) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (в) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y = 0, т.е.

Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой , так что общее решение уравнения (в) имеет вид

Интегральные кривые уравнения (в) показаны на рис.4. Если в начальный момент времени Y0 то С = Y0 — Yp 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (г), т.е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а , b, k и Е, так как показатель экспоненты в (д) положителен. Если же Y0 > Yp , то С > 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Yр. Уравнение (в) является автономным; точка Y = Yp представляет собой точку неустойчивого равновесия.

5. Словарь экономических терминов

1.ИНВЕСТИЦИИ (лат. investice — облачать) — долгосрочные вложения капитала в экономику. Инвестиции используются на покупку средств производства: оборудования, машин, земли и т. д. Затраты на эти элементы производства окупаются не сразу, а в течение многих лет, поэтому инвестиции носят долгосрочный характер. [2]

2.ДОХОД — денежные и материальные ресурсы, поступающие юридическим и физическим лицам, после завершения производственного цикла. В более широком плане — выручка и другие денежные средства, поступающие на предприятие. В международной практике под Д. понимают валовые поступления денежных и других средств, которые в процессе обычной хозяйственной деятельности предприятия возникают от реализации продукции, оказания услуг и от использования другими предприятиями ресурсов данного предприятия (проценты, дивиденды, лицензионные платежи и т.п.) [3]

3. ЛАГ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ — временной разрыв между осуществлением инвестиций и их окупаемостью. Включает в себя время оборота всех производственных капиталовложений (включая вложения в оборудование).[4]

4. ЭЛАСТИЧНОСТ СПРОСА ПО ЦЕНЕ показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены на 1 %.Рассчитывается через коэффициент эластичности.[5]

5. НАЦИОНАЛЬНЫЙ ДОХОД — часть стоимости созданного в стране совокупного общественного продукта, остающаяся после возмещения потребленных средств производства; обобщающий показатель экономического развития страны, в условиях товарного производства в стоимостном выражении выступает как вновь созданная стоимость за определенный период времени (обычно за год). Н.Д. страны равен валовому национальному продукту за вычетом амортизационных отчислений (износ основных средств) и косвенных налогов. С другой стороны, Н.Д. можно определить как сумму всех доходов за год в виде заработной платы, промышленной и торговой прибыли, процента на вложенный капитал и земельной ренты.[8]

переменная дифференциал функция линейное уравнение

6. Список литературы

1.Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 2003. — 471 с.

.Красс М.С.,Чупрынов Б.П.Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.

Теги: Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике Реферат Математика

Дифференциальные уравнения в экономической и социальной жизни

Автор: Гузалия Юсупова • Июнь 12, 2018 • Курсовая работа • 8,851 Слов (36 Страниц) • 580 Просмотры

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«Самарский государственный социально-педагогический университет»

Дифференциальные уравнения в экономической и социальной жизни

1. Дифференциальные уравнения первого порядка……………………………..5

1.1. Общие понятия и определения дифференциальных уравнений первого порядка…………………………………………………………………………….5

1.2. Дифференциальные уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными……………………………………………………………………. 7

1.3. Применение дифференциального уравнения естественного роста в экономической динамике………………………………………………………..11

1.4. Применение теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики………………………………………………………………16

1.5. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 1-го порядка………………………………………………………………………. 18

2. Дифференциальные уравнения второго порядка……………………………20

2.1. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………………20

2.2. Примеры решения экономических задач с помощью дифференциальных уравнений………………………………………………………………………. 22

Список использованной литературы…………………………………………. 27

Актуальность настоящей работы заключается в том, что дифференциальные уравнения описывают, и тем самым позволяют исследовать, поведение различных систем в самых разных областях науки — в механике, экономике, химии, экологии, социологии и т.д . Математические соотношения, полученные в результате исследования реального явления или процесса, называются математической моделью этого явления. Если эти соотношения описывают связи между некоторой функцией и ее производными или дифференциалами, модель называется динамической. С помощью динамических моделей, как правило, описываются процессы, развивающиеся во времени. В результате построения таких моделей возникают дифференциальные уравнения, если модель непрерывна.

В современной литературе подчеркивается глубокая связь математических методов с экономическими и финансовыми задачами.

Прежде всего, это связано с тем, что в последние годы все большее значение придается переплетению математики с экономикой и другими социальными науками. Причем это проявляется не только при решении практических задач, но и в фундаментальной науке.

Еще в 1969 году первую Нобелевскую премию по экономике получили Рагнар Фриш (Норвегия) и Ян Тинберген (Нидерланды) за создание и применение динамических моделей к анализу экономических процессов.

Первый американский Нобелевский лауреат по экономике Пол Сэмуельсон считает язык математики наиболее подходящим для современной экономической теории. В своих работах он предпринял попытку выразить важнейшие экономические категории и зависимости математическим образом. По мнению Самуэльсона, именно математический метод исследования позволяет сделать экономику наукой. Активно использовали в своих работах математический аппарат такие известные экономисты, как В. Леонтьев, К. Эрроу, Дж. Харсаний и Дж. Нэш. Широкое применение получило эконометрическое моделирование, благодаря которому были построены модели не только отраслей или сфер экономики, но и национальных экономик отдельных стран и мировой экономики. Здесь приоритет принадлежит Л. Клейну, хотя моделирование активно применяли и другие ученые: Ж. Дебре, Р. Солоу, Г. Марковиц, М. Миллер, У. Шарп. Нобелевской премии по экономике был удостоен в 1975 году и советский математик Л. Канторович.

11.1. Аппарат дифференциальных уравнений в экономике. Дифференциальные уравнения первого порядка. Модель естественного роста выпуска

В этой главе мы рассмотрим некоторые примеры примене­ния теории дифференциальных уравнений в непрерывных мо­делях экономики, где независимой переменной является вре­мя T. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования Экономичес­кой динамики.

Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(T) количество про­дукции, реализованной на момент времени T; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(T). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т. е.