Дифференциальные уравнения в физике скачать

Дифференциальные уравнения математической физики, Левин В.И., Гросберг Ю.И., 1951

Дифференциальные уравнения математической физики, Левин В.И., Гросберг Ю.И., 1951.

Предлагаемая книга предназначается для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений, а также для инженеров, встречающихся в своей практической работе с простейшими дифференциальными уравнениями математической физики.
При выборе материала для этой книги авторы стремились включить в нее наиболее часто встречающиеся на практике типы дифференциальных уравнений и изложить основные, наиболее распространенные методы их решения. Выбор материала ограничивался также тем, что авторы не предполагали у читателя математических знаний, выходящих за рамки обычного курса втуза. В частности, мы не предполагали знакомства с теорией функций комплексного переменного и поэтому были лишены возможности изложить весьма широко применяемый в настоящее время операторный метод решения задач математической физики. Отсутствие этого метода в настоящей книге повлекло за собой, между прочим, то, что мы сравнительно мало останавливаемся на уравнении теплопроводности и телеграфном уравнении, так как наиболее важные задачи, связанные с этими Уравнениями, решаются операторным методом значительно легче, чем методами, развитыми здесь.

Колебания струны.
Так называемая идеальная струна есть результат абстрагирования. Мы отвлекаемся от двух измерений физической струны (которыми можно пренебречь по сравнению с третьим— ее длиной) и считаем ее абсолютно гибкой, т. е. не оказывающей никакого сопротивления изменению ее формы, не связанному с изменением ее длины, а работающей только на растяжение. Пусть струна имеет длину д и в прямолинейном положении покоя занимает отрезок (0, l) оси я. Будем считать, что к концам струны приложены вдоль оси х силы натяжения Т, равные по величине, но противоположные по направлению, и что концы струны закреплены.

Относительно рассматриваемых колебаний мы делаем следующие упрощающие предположения. Во-первых, мы считаем, что все точки струны движутся перпендикулярно оси х в одной плоскости колебания J), проходящей, конечно, через ось х: в этой плоскости мы введем прямоугольные координаты х и и, где и — отклонение точки струны от ее положения равновесия. Таким образом, закон колебания струны задается некоторой функцией и — и (х; t), где t — время, протекшее с некоторого начального момента. Эта функция и (х; t) и является искомой. Во-вторых, мы предполагаем, что рассматриваемые колебания настолько малы, что увеличением длины струны в любой момент можно пренебречь.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие.
Введение.
Глава I. Постановка некоторых основных задач математической физики.
§1. Колебания струны.
§2. Колебания мембраны.
§3. Уравнения гидродинамики и задачи акустики.
§4. Телеграфное уравнением связанные с ним задачи. Уравнение электромагнитных колебаний.
§5. Задачи теплопроводности.
§6. Основные задачи теории потенциала.
§7. Классификация дифференциальных уравнений математической физики.
§8. Классификация и вопросы корректности задач математической физики.
Глава II. Теория потенциала.
§9. Криволинейные координаты.
§10. Вспомогательные формулы из теории поля.
§11. Потенциал объемно-распределенных масс или зарядов.
§12. Характеристические свойства потенциала объемно-распределенных масс или зарядов. Потенциал однородного эллипсоида.
§13. Потенциалы простого и двойного слоя.
§14. Единственность решения краевых задач теории потенциала. Приложения к электростатике.
§15. Логарифмические потенциалы.
§16. Решение краевых задач теории потенциала для шара и полупространства, круга и полуплоскости.
Глава III. Волновое уравнение в неограниченной области. Метод характеристик.
§17. Фронт волны. Характеристики.
§18. Волны.
§19. Решение задачи Коши для волнового уравнения без дисперсии.
§20. Метод Римана.
§21. Лучи. Бихарактеристики.
§22. Обобщение метода Римана на случай пространства двух и трех измерений.
Глава IV. Задачи о собственных функциях.
§23. Колебание ограниченной струны. Постановка задачи о собственных функциях.
§24. Простейшие свойства собственных значений и собственных функций.
§25. Ортонормированные системы. Сходимость в среднем.
§26. Собственные функции некоторых одномерных задач.
§27. Многочлены Лежандра и присоединенные функции Лежандра.
§28. Собственные функции оператора Лапласа для некоторых двумерных и трехмерных областей.
§29. Сферические и щаровые функции.
Глава V. Решение задач математической физики методом собственных функций.
§30. Метод собственных функций.
§31. Колебания ограниченной струны и другие одномерные задачи.
§32. Решение методом собственных функций двумерных краевых и смешанных задач.
§33. Применение метода собственных функций к решению краевых и смешанных задач для трехмерных областей. Разложение по шаровым функциям.
§34. Метод собственных функций в случае сплошного спектра
§35. Уравнение теплопроводности в бесконечном пространстве и другие задачи в бесконечных областях.
Добавление. Основные сведения из теории цилиндрических функций.
§1. Гамма-функция.
§2. Цилиндрические функции первого, второго и третьего рода.
§3. Некоторые рекуррентные соотношения между цилиндрическими функциями. Цилиндрические функции порядка, равного целому числу с половиной.
§4. Интегральные представления и асимптотические выражения для цилиндрических функций.
§5. Цилиндрические функции от мнимого аргумента.
Алфавитный указатель.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Дифференциальные уравнения математической физики, Левин В.И., Гросберг Ю.И., 1951 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Конспект урока по теме: «Дифференциальные уравнения в физике.»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока алгебры и начала анализа в 11 классе

Тема урока: Дифференциальные уравнения в физике.

Цель урока: Создать условия для систематизации расширения углубленных знаний и умений учащихся по данной теме.

закрепить полученные знания;

расширить понятие о дифференциальных уравнениях.

развитие у обучающихся умений сопоставлять, анализировать, выделять главное, обобщать, формулировать выводы;

развитие пространственного воображения.

воспитание познавательной активности, умений самостоятельно добывать знания;

формирование культуры общения.

Тип урока : закрепление изученного материала.

знание дифференциальных уравнений;

знание методики решения дифференциальных уравнений;

умение составлять и решать дифференциальные уравнения.

способность принимать и сохранять цели и задачи учебной деятельности, находить способы её осуществления;

умение планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения;

умение включаться в диалог с учителем и сверстниками, в коллективное обсуждение проблем;

умение оценивать себя и результаты своей работы.

Колягин, Ю.М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) [Текст]/ Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. – 8-е изд., стер. -М.: Мнемозина, 2010. – 94 с.

Приветствие учеников, проверка посещаемости, проверка готовности классной комнаты и учащихся к уроку.

Актуализация опорных знаний

Проверка домашнего задания, решить задачи,

которые вызвали затруднения.

Решить дифференциальные уравнения

Постановка темы и цели урока

Учитель: Изучая различные физические явления, в первую очередь, создают его математическую идеализацию или, иными словами, математическую модель, то есть, отбрасывая второстепенные характеристики явления, так же записывают основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Почти всегда эти законы можно записать в виде дифференциальных уравнений. К примеру, модели различных явлений механики непрерывной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др.

Учитель: Можете назвать тему нашего урока? И какая цель урока?

Учащиеся: Дифференциальные уравнения в физике. Расширить свои знания, уметь составлять дифференциальные уравнения по условию физической задачи и решать эти уравнения.

2.1. Первичное закрепление в измененной ситуации

Составим дифференциальное уравнение для гармонического колебания. Учитель на доске записывает решение, ученики в тетрадях.

Задача 1. В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются, например колебательные движения маятника, струны, пружины и т.д.; процессы, связанные с переменным электрическим током, магнитным полем и т.п. Решение многих таких задач сводится к решению дифференциального уравнения

где заданное положительное число.

Решениями уравнения (1) являются функции

где постоянные, определяемые условиями конкретной задачи. Уравнение (1) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний, а равенство (2) называют уравнением гармонических колебаний.

Например, если отклонение точки свободно колеблющейся струны от положения равновесия в момент времени то

где амплитуда колебания, частота, начальная фаза. Графиком гармонического колебания является синусоида.

Задача 2 (о радиоактивном распаде). Эксперименты показывают, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна имеющемуся количеству этого вещества.

Следовательно, если масса вещества в момент времени , то

где положительная постоянная.

Знак «-» в уравнении (3) обусловлен тем, что ,а , так как с течением времени количество вещества уменьшается.

Как и для уравнения проверяется, что функции

являются решениями уравнения (3).

Если задано начальное условие

то из равенств (4) и (5) имеем . Следовательно, функция

Является решением дифференциального уравнения (3) при начальном условии (5).

Заметим, что на практике скорость распада радиоактивного вещества характеризуется периодом полураспада, т.е. промежутком времени, в течение которого распадается половина исходного вещества.

Пусть период полураспада, тогда из равенства (6) при находим откуда

Подставляя найденное значение в формулу (20), получаем

В частности, если то .

2.2. Творческое применение и добывание знаний в новой ситуации

Задача 4. На вертикальной пружине закреплён груз массой . Груз выводят из положения равновесия в вертикальном направлении и потом отпускают. Найти закон движения груза, пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха.

Решение. Направим ось О X вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку подвеса груза, которую и примем за начало координат.

Составим дифференциальное уравнение, опираясь на II закон Ньютона:

здесь – масса груза, – ускорение движения, – результирующая всех сил, приложенных к телу.

В положении равновесия сила тяжести, проекция которой на ось О X равна , уравнивается упругой силой пружины, которая согласно закону Гука пропорциональна удлинению пружины:

здесь ω* — коэффициент жёсткости пружины.

Обозначим через отклонение груза от положения равновесия. В момент времени на тело будут действовать две силы: сила тяжести , тянущая груз вниз, и упругая сила пружины, равная и направленная вверх.

Результирующая сила будет равна:

На основании закона Ньютона получаем:

В случае прямолинейного движения вдоль оси О X ускорение равно . Равенство можно записать в виде , откуда

Получили дифференциальное уравнение движения тела – линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Корнями его характеристического уравнения являются комплексные числа , поэтому общее решение уравнения

Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем его:

Тогда общее решение уравнения запишется так:

где и – новые произвольные постоянные.

Величина называется амплитудой колебания, аргумент – фазой колебания, его значение при – начальной фазой, – частотой колебания.

Пусть в начальный момент времени отклонение груза от положения равновесия равно , а скорость движения , т.е. , По этим начальным условиям можно найти амплитуду и начальную фазу.

В силу условий при , учитывая равенство получаем:, откуда

Подставив найденные значения и получим:

Формула выражает закон движения груза. Из неё видно, что груз совершает гармонические колебания около положения равновесия.

Частота и период колебания соответственно равны:

Как видно, частота и период колебания зависят только от жёсткости пружины и массы груза, т. е. определяются свойствами самой системы.

Амплитуда же колебаний и начальная фаза зависят также от начальных условий .

Задача 5. В замкнутую электрическую цепь последовательно включены источник тока с электродвижущей силой (ЭДС) , меняющейся с течением времени, активное сопротивление и катушка с индуктивностью . Выведем закон изменения силы тока с течением времени, если вначале (при ) она равнялась нулю.

Решение. Из курса физики знаем, что , где – напряжение на активном участке цепи, выражаемое по закону Ома , а пропорционально скорости изменения силы тока с коэффициентом пропорциональности , . Тогда имеет место равенство

Мы получили дифференциальное уравнение для силы тока с начальным условием .

Данное уравнение является линейным ( и входят в него в первых степенях). Решая его, находим:

Разберем два частных случая:

Электродвижущая сила постоянна, . В этом случае имеем:

В силу начального условия , т.е. откуда получим: и потому

При получаем, что , т.е. после включения постоянной электродвижущей силы значение возрастает от нуля до значения , даваемого законом Ома.

Электродвижущая сила периодически изменяется по синусоидальному закону: . В этом случае имеем:

Вычисляя интеграл, получаем, что

Из начального условия находим, что и потому

С течением времени при второе слагаемое стремится к нулю, и мы получаем, что

то это равенство можно записать в виде

Иными словами, синусоидальные колебания ЭДС дают в пределе синусоидальные колебания силы тока (со сдвигом фазы)

Подведение итога урока.

Учитель: Зачем нужны дифференциальные уравнения в физике? Нужны ли вообще дифференциальные уравнения?

Учащиеся: отвечают на поставленные вопросы. Обсуждают результаты урока.

Учащиеся устно должны закончить предложение:

На сегодняшнем уроке я понял, я узнал, я разобрался…

Я похвалил бы себя…

Особенно мне понравилось…

Сегодня мне удалось…

Я почувствовал, что…

Информация о выполнении домашнего задания.

Дома самостоятельно рассмотреть задачи 3*-4*, на стр. 95-96.

3.4.Оценка содержательного аспекта деятельности обучающихся на уроке.

Учитель выставляет оценки за урок, комментируя ошибки и недочеты.