Дифференциальные уравнения в химии задачи

Скорость химической реакции. Дифференциальные уравнения

В настоящее время актуальной является проблема профильного обучения в старших классах. При этом необходима дифференциация в обучении одному и тому же предмету классов различных профилей. Требуется особая подготовка в подборе материала для классов с углубленным изучением математики, учащиеся которых хотят до конца проследить причинно-следственные связи не только в математике, но и в других науках, понять логику химических явлений. Для них часто неприемлемы «театрализованные» уроки.

С одной стороны, школьный курс химии довольно слабо использует математический аппарат, и огромное количество учебного материала носит полуописательный характер. С другой стороны, изучаемая математика иногда кажется ученикам оторванной от жизни, просто тренировкой ума.

Решить эту проблему помогают интегрированные уроки.

Предлагаемый мною материал опробован в классах физико-математического профиля гимназии № 42 г. Барнаула, имеющей сложившиеся традиции в углубленном преподавании математики. Результатом таких уроков является повышение интереса учащихся и к химии, и к математике, а также изменение взглядов учеников на эти науки.

Данный урок можно проводить совместно с учителем математики, или, при достаточной математической подготовке, такой урок может провести один учитель химии.

Эпиграф (записывается на доске, проецируется на экране через кодоскоп или проектор):

– Г-голубчики, – сказал Федор Семионович озадаченно, разобравшись в почерках. – Это же п-проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она не имеет р-решения.

– Мы сами знаем, что она не имеет решения, – сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать. (А. и Б.Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».)

Цель. Показать большое практическое значение математических операций дифференцирования и интегрирования на примере изучения раздела химии «кинетика химических реакций».

Задачи. Обучающие: повторить и обобщить знания о скорости химической реакции и факторах, влияющих на нее; дать научное понятие скорости химической реакции как дифференциала концентрации от времени и изучить зависимость скорости химической реакции от концентрации («закон действующих масс»); ввести понятие «дифференциальные уравнения» и научить решать простейшие дифференциальные уравнения методом разделения переменных.

Развивающие: повысить интерес к химии и математике; развивать умение находить причинно-следственные связи; стимулировать самостоятельное изучение отдельных разделов химии и математики.

Подготовительная работа учащихся. Самостоятельно повторить материал по следующим темам: «Скорость химической реакции и факторы, влияющие на нее», «Дифференциальное и интегральное исчисления».

Оборудование. Кодоскоп или проектор для демонстраций рисунков и схем.

Вступительная часть

Учитель. На сегодняшнем уроке мы продолжим изучение химических реакций, их протекание во времени. Раздел химии, изучающий протекание реакций во времени, называется химической кинетикой. Наверное, в химии нет другого раздела, где так широко используется математический аппарат. Вы увидите практическое применение ваших теоретических знаний по дифференциальному и интегральному исчислению. Также на примерах из химической кинетики вы познакомитесь с дифференциальными уравнениями и одним из приемов их решения.

Основная часть

Учитель. Что такое скорость вообще и скорость химической реакции в частности? В чем различие протекания гомогенных и гетерогенных реакций? Как будет выглядеть математическое выражение скорости химической реакции для гомогенной реакции?

Ученики повторяют и обобщают имеющиеся знания по теме, в том числе формулу:

Учитель. Поскольку условия протекания химической реакции постоянно изменяются (уменьшаются концентрации исходных веществ и др.), скорость химической реакции также непрерывно изменяется (рис. 1).

Рис. 1. Пример зависимости
скоростихимической реакции от времени

Следовательно, по формуле 1 можно найти лишь среднюю скорость химической реакции _ср. А как найти скорость химической реакции в какой-либо момент времени?

Ученик. Уменьшать рассматриваемый промежуток времени, причем чем он меньше, тем точнее вычисляется скорость.

Учащиеся делают вывод, что скорость химической реакции – это производная концентрации по времени:

Учитель. Рассмотрим, как протекает химическая реакция. Что нужно, чтобы она произошла?

Ученик. Необходимы столкновения молекул и достаточная для реагирования энергия.

Учитель. Избыточная энергия (по сравнению со средней энергией молекул), необходимая для того, чтобы молекулы вступили в реакцию, называется энергией активации.

Если энергия молекул для взаимодействия недостаточна, то соударение является «упругим» и молекулы разлетаются, как столкнувшиеся упругие шары (рис. 2).

Рис. 2.
Соударения: а – двух медленных молекул, электронные облака не перекрываются, реакция не происходит; б – двух быстрых молекул, атомы тесно сближаются, их электронные облака перекрываются, и это приводит к реакции

Как увеличить скорость химической реакции, исходя из вышеизложенного?

Ученик. Увеличить частоту столкновений молекул. Увеличить энергию молекул.

Учитель. Какие факторы влияют на скорость химической реакции?

Повторение и обобщение имеющихся знаний учеников по теме.

Ученик. На скорость химической реакции влияют:

– природа реагирующих веществ (вещества имеют разные энергии активации);

– концентрации реагирующих веществ или площадь соприкосновения реагирующих веществ (изменяется частота столкновений молекул);

– температура (изменяется число молекул с энергией, равной или большей энергии активации и, в меньшей степени, изменяется частота столкновений молекул);

– наличие других веществ (катализаторов и ингибиторов).

Учитель. Причины влияния других веществ мы рассмотрим на следующих уроках. Зависимость скорости химической реакции от температуры установил голландский ученый Вант-Гофф. Его уравнение получило название правило Вант-Гоффа:

При увеличении температуры на 10° скорость химической реакции увеличивается в 2–4 раза.

Температурный коэффициент обозначим буквой = 2–4.

Учащиеся самостоятельно выводят уравнение:

Учитель. Рассмотрим подробно зависимость скорости химической реакции от концентрации. Химическая реакция реализуется как совокупность множества отдельных актов химического превращения. Одинаковые акты составляют элементарную реакцию. Для элементарной реакции

скорость химической реакции прямо пропорциональна концентрациям исходных веществ А и В.

= k•с_Ас_B.

Зависимость скорости химической реакции от концентрации называется законом действующих масс.

Учащиеся сами записывают уравнение скорости элементарной реакции А —> С + … .

Учитель. Для элементарной реакции

скорость химической реакции прямо пропорциональна концентрации исходного вещества А:

= k•с_А.

Учащиеся сами выводят уравнения скоростей следующих химических реакций.

Реакция:

= k•с_Ас_А = k•с 2 _А.

Реакция:

= k•с_B .

Учитель. Применим наши знания на практике.

Задача. Разложение органического вещества фенилдиазонийхлорида протекает в одну стадию:

Запишем ее в виде:

Такие реакции называются реакциями первого порядка. Скорость этой химической реакции равна:

Минус перед дробью появляется потому, что в числителе находится концентрация исходного вещества, которая уменьшается по мере протекания реакции.

Записываем уравнение зависимости скорости этой реакции от концентрации исходного вещества:

= k•с_А ,

Уравнения такого вида называются дифференциальными уравнениями.

Пусть в первоначальный момент времени (t = 0) концентрация вещества А с_А = с₀. Найти концентрацию вещества А (с) в любой момент времени (t) при постоянной температуре.

Уравнения такого вида можно решить разделением переменных и последующим интегрированием.

Учитель решает вместе с учениками задачу, опираясь на их знания по математике.

Учитель. Преобразуем уравнение 2:

Интегрируем полученное уравнение:

Ученики самостоятельно проводят интегрирование, учитель при необходимости корректирует:

Учитель. Рассмотрим полученную зависимость. Из нее следует, что концентрация исходного вещества приблизится к нулю по прошествии неопределенно длительного промежутка времени. Аналогичную зависимость имеют реакции ядерного распада.

Большинство элементарных реакций имеют вид:

Такие реакции называются реакциями второго порядка. Скорость этой химической реакции равна производной концентрации любого из веществ, участвующих в реакции, от времени:

Записываем уравнение зависимости скорости этой реакции от концентраций исходных веществ:

= k•с_Ас_B.

Рассмотрим простейший случай, когда концентрации веществ А и В в течение всей реакции равны, т.е. с_{А = сB .}

Пусть в первоначальный момент времени t = 0 концентрации веществ А и В равны с_{А = сB = с0 .}

Задача (для самостоятельного решения).

Найти концентрации с веществ А и В в рассматриваемой реакции в любой момент времени t при постоянной температуре.

Рассуждения и решение учеников:

Учитель. Однако обычно зависимость концентрации от времени для реакций второго порядка представляют в виде формулы 3.

Задача (для самостоятельного решения). Время, необходимое для израсходования половины вещества, называют полупериодом реакции t_1/2. Докажите, что для реакций первого порядка (в том числе и для реакций ядерного распада) он не зависит от начальной концентрации.

Рассуждения и решение учеников:

Учитель. Для ядерных реакций полупериод реакции распада t_1/2 называют несколько по-другому – период полураспада, и он также не зависит от исходной массы радиоактивного вещества.

Задача (для домашней работы). Период полураспада радия 1590 лет. Сколько времени потребуется, чтобы активность радиевого препарата составила 10 % от начальной?

Заключительная часть (рефлексия)

Учитель. Таким образом, сегодня на уроке мы не только обобщили и углубили знания по теме «Скорость химической реакции», но и познакомились с дифференциальными уравнениями, способом их решения, а также показали огромное практическое значение математических понятий при изучении химии. Современная «настоящая» наука обязательно оперирует цифрами, привлекая серьезный математический аппарат.

Я надеюсь, что сегодняшний урок изменит ваши взгляды на химию, а также на математику. Многие считают ее наукой, изучающей саму себя ради себя. Теперь же вы видите, что математика жизненно необходима для существования и развития других наук.

Я очень хочу услышать ваше мнение об этом уроке.

Учащиеся высказывают свои мнения и обсуждают их.

Р е к о м е н д у е м а я л и т е р а т у р а

Ремсден Э.Н. Начала современной химии: Справочное издание. Пер. с англ. под ред. В.И.Барановского и др. Л.: Химия. Ленингр. отд-ние, 1989; Зайцев О.С. Учебная книга по химии (главы 1, 2, 3). Химия (ИД «Первое сентября»), 2002, №№ 4–14, 16–28, 30–34, 37–44; Кузнецова Н.Е., Литвинова Т.И., Левкин А.Н. Химия. Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень). В 2 ч. М.: Вентана-Граф, 2006; Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы. В 2 ч. М.: Мнемозина, 2003; Глазунов А.Т., Кабардин О.Ф., Малинин А.Н. Физика. 11 класс. М.: Просвещение, 2001.

Пашукова Е.В.*, д .п ед.н . Нуриев Н.К.**

*Волжский филиал Казанского государственного технологического университета, Российская Федерация;

**Казанский государственный технологический университет,

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ХИМИИ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Следующие примеры позволяют понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

1) Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t , то этот закон можно записать так: (1),где dx / dt – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «минус» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «плюс», подразумеваемый всегда, когда знак явно не указан, означал бы, что x возрастает со временем.)

2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м 3 воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м 3 в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени? Если x – количество соли (в кг ) в емкости в момент времени t , то в любой момент времени t в 1 м 3 раствора в емкости содержится x /100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x /100 кг/мин, или (2).

3) Пусть на тело массы m , подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x – величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение пропорционально силе: (3).Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.

4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90 ? С находится в помещении, температура в котором равна 20?С, то (4), где T – температура кофе в момент времени t .

5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии . Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску . Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску , и наоборот, получаем:

(5), где члены ? ax и ? by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные.

Более подробно остановимся на рассмотрении применения дифференциальных уравнений в химии.

Задача. Уравнение скорости последовательно протекающих реакций (6) записывается следующим образом: (7),

где [P] – концентрация соединения Р к моменту времени t от начала реакции;

k ₁ – константа скорости первой стадии процесса, равна 5?10 -2 дм 3 ?моль -1 ?мин -1 ;

k ₂ – константа скорости второй стадии последовательной реакции, равна

6,5?10 -3 дм 3 ?моль -1 ?мин -1 ;

[А ₀ ] – исходная концентрация соединения А.

Найти, чему будут равны значения [P] спустя 1, 2, 3 мин после начала реакции, если при t=0 [P]=0, а [A ₀ ]=1.

Обозначим y= [P], x=t . Тогда уравнение (7) примет вид (вместо k ₁ и k ₂ подставим их численные значения):

где (8)

Методом Эйлера и Рунге-Кутты найти решение дифференциального уравнения (9)

из условия задачи 1 с начальным условием y (0)=0 на отрезке [0;3] с шагом h=1.

Решение задачи средствами MS Excel :

1. Точным решение данной задачи является функция ₍₁₀₎

3. В диапазоне A1:B5 заполняем ячейки:

Рис 1. Ввод исходных данных задачи

4. В ячейке D2 записываем начальное значение y (0)=0, а в C2 — формулу =0,05*EXP(-0,05*B2)-0,0065*D2, которая соответствует выражению f (x ₀ , y ₀ ) и протянем маркером заполнения до C5.

5. В ячейку D3 введем формулу =D2+1*C2 (по реккурентной формуле Эйлера (11)) и протянем маркером заполнения протянем до D5.

6. В ячейках E2:E5 вычислим значения точного решения. Для этого в ячейку E2 введем формулу =(10*(EXP(0,015*B2)-1)/3)*EXP(-0,065*B2) и протянем до E5.

7. В столбце F2:F5 вычислим абсолютные ошибки с помощью формулы =ABS(E2-D2) и скопируем в остальные ячейки.

Рис. 2. Результаты расчета методом Эйлера

1. Возьмем шаг h=1.

2. В ячейки A1:А5 введем данные как в таблице:

Рис. 3. Ввод исходных данных задачи

3. В ячейке D2 записываем начальное значение y (0)=0, а в B2 — формулу =0,05*EXP(-0,05*A2)-0,0065*D2 и протянем маркером заполнения до B4.

4. В ячейку C2 введем формулу=0,05*EXP(-0,05*(A2+1*0,5))-0,0065*(B2+0,5*B2) и протянем маркером до C4.

5. В ячейку D3 введем формулу =D2+1*(0,05*EXP(-0,05*(A3+0,5))-0,0065*(D2+0,5*B2))и протянем до D5.

6. В ячейках E2:E12 вычислим значения точного решения. Для этого в ячейку E2 введем формулу =(10*(EXP(0,015*A2)-1)/3)*EXP(-0,065*A2 и протянем до E5.

7. В столбце F2:F5 вычислим абсолютные ошибки с помощью формулы =ABS(E2-D2) и скопируем в остальные ячейки.

Рис. 3. Результаты расчета методом Рунге-Кутты

Искомые значения решения y=y ( x ) дифференциального уравнения

(12)

на отрезке [0; 3]: y ₁ =0,0472; y ₂ =0,0891; y ₃ =0,1262.

Нетрудно заметить, что результаты по обоим методам совпадают. Использование численных методов и их автоматизация в программных средах значительно упрощает решение многих практических задач.

Список использованных источников:

1. Соболь Б.В. Практикум по вычислительной математике / Б.В. Соболь, Б.Ч. Месхи , И.М. Пешхоев . – Ростов н /Д.: Феникс, 2008.

2. Брановицкая С.В. Вычислительная математика в химии и химической технлогии / С.В. Брановицкая , Р.Б. Медведев, Ю.Я. Фиалков. – К.: Вища школа головное издательство, 1986.

3. Пантелее А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / А.В. Пантелее, А.С. Якимова, А.В. Босов . – М: МАИ, 2000.

4. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений / К.К. Пономарев. – Мн.: Высшая школа, 1973.

Роль математики в химии

Содержание проектной работы

Решение химических задач и проблем методами современной математики.

Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач?

Симметрия в химии.

Дифференциальные уравнения в химии.

Графическое представление молекул и их свойств – теория графов в химии.

Математическая химия.

Пример математического моделирования.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Автор: Соболева Кристина Руководители: Степушкина Наталья Юрьевна Парфенова Лилия Сергеевна ОУ : МОУСОШ №6 г. Серпухова e-mail ОУ: school_6@BK . ru ТЕМА РАБОТЫ: РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ХИМИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В ПРИРОДЕ И ОБЩЕСТВЕ

Цель работы: проследить тенденции интеграции наук математики и химии на основе тесной взаимосвязи математического и химического знания. Содержание проектной работы Решение химических задач и проблем методами современной математики. Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач? Симметрия в химии. Дифференциальные уравнения в химии. Графическое представление молекул и их свойств – теория графов в химии. Математическая химия. Пример математического моделирования. РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В ХИМИИ

«Если ты не знаешь математику, то ты не знаешь ни одной науки» Именно математика превратила химию из описательной науки в экспериментальную, и именно математика сделала химию наукой. Именно с помощью математики мы производим как простейшие расчёты по химическим формулам и уравнениях химических реакций, так и сложнейшие математические операции, моделирующие сложнейшие химические процессы как в живой, так и неживой природе. Без математики невозможно ни одно химическое производство. Если на мгновение представить, что было бы, если из химии исчезли числа и математические расчёты… Мир бы лишился пищи, лекарств, красок, фотоплёнок, минеральных удобрений, пластмасс, металлических сплавов и многих других полезных веществ и вещей.

Математика для химиков – это, в первую очередь, полезный инструмент решения многих химических задач. Очень трудно найти какой-либо раздел математики, который совсем не используется в химии. Функциональный анализ и теория групп широко применяются в квантовой химии, теория вероятностей составляет основу статистической термодинамики, теория графов используется в органической химии для предсказания свойств сложных органических молекул, дифференциальные уравнения – основной инструмент химической кинетики, методы топологии и дифференциальной геометрии применяются в химической термодинамике.

Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач? Как-то раз Гаусс спорил с Авогадро (1776-1856) о сущности научных законов. Гаусс утверждал, что законы существуют только в математике, а потому химия почитаться за науку не может. В ответ Авогадро сжег 2 л водорода в литре кислорода и, получив два литра водяного пара, торжествующе воскликнул: «Вот видите! Если химия захочет, то два плюс один окажутся равны двум. А что скажет на это ваша математика?» Математические уравнения и методы, используемые в химии, имеют дело не с абстрактными величинами, а с конкретными свойствами атомов и молекул, которые подчиняются естественным природным ограничениям. Иногда эти ограничения бывают довольно жесткими и приводят к резкому сужению числа возможных решений математических уравнений. Математические уравнения, применяемые в химии, а также их решения должны иметь химический смысл.

Число атомов в молекулах должно быть положительным целым числом Рассмотрим уравнение 12x + y = 16. Для математика это уравнение описывает прямую линию на плоскости. Оно имеет бесконечно много решений, в том числе и целочисленных. А для химика выражение 12x + y описывает молекулярную массу углеводорода CxHy (12 – атомная масса углерода, 1 – водорода). Молекулярную массу 16 имеет единственный углеводород – метан CH4, поэтому только одно решение данного уравнения обладает химическим смыслом: x = 1, y = 4. Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач?

Одно из ключевых понятий химии – валентность, то есть число химических связей, которыми данный атом соединен с другими. Валентность почти всегда является положительным целым числом. Например, углерод в органических соединениях почти всегда четырехвалентен. Это накладывает некоторые ограничения на химические формулы. Например, число атомов водорода во всех углеводородах четно. Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач? Найдем максимально возможное число атомов водорода в углеводороде, содержащем n атомов углерода, это число равно 2n + 2. Оно соответствует предельным углеводородам – алканам . Решим эту задачу с помощью математических рассуждений. Общее число валентностей углерода в молекуле CnHx равно 4n, так как каждый атом углерода четырехвалентен. Что входит в это число? Атомы углерода связаны друг с другом и с атомами водорода. Минимально возможное число связей C–С равно ( n –1) – оно необходимо, чтобы углеродный скелет не имел разрывов. В каждой такой связи участвует два атома углерода, поэтому число валентностей, расходуемых на связи C–С, равно 2( n –1). Остальные 4n – 2( n –1) = 2n + 2 валентностей расходуются на связи C–H. Водород одновалентен, поэтому число его атомов равно числу связей C–H: x = 2n + 2. Доказательство закончено.

Многие физические величины, используемые для описания химических веществ и реакций, могут принимать только неотрицательные значения: масса, объем, концентрация, скорость реакции и др. Химикам часто приходится решать задачи на расчет состава равновесной смеси. В них возникают полиномиальные уравнения относительно доли превращения исходных веществ в продукты. Согласно основной теореме алгебры полином n-ой степени имеет ровно n корней, среди которых могут быть и комплексные. Однако во всех уравнениях, возникающих в химии, только один корень имеет химический смысл. Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач?

В химии нет иррациональных чисел. Иррациональное число содержит бесконечное число знаков в десятичной записи. Химия – наука экспериментальная, она оперирует с результатами измерений, которые выражаются или целыми числами, или дробными, но полученными с конечной точностью, как правило, не более 4 значащих цифр. Например, показатель преломления вещества может быть равен 1.414, но не бывает равным √2. Поэтому числа π и e , часто возникающие в химических расчетах, обычно округляют до 3.14 и 2.72, соответственно. Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач?

В химии нет понятия «бесконечность». Число атомов в наблюдаемой части Вселенной очень велико, и, конечно, поэтому в природе нет бесконечно больших величин. Каковы же самые большие числа, используемые химиками? Число атомов во Вселенной оценивается как 10 50 , на Земле – 10 80 атомов, в человеческом организме их примерно 10 27 . В статистической термодинамике возникает число способов перестановки одинаковых молекул в порции жидкого вещества, которое равно N!, где N

10 23 . Для оценки этого числа используем формулу Стирлинга: ln ( 10 23 !) ≈ 10 23 ln( 10 23 ) − 10 23 ≈ 5 ⋅ 10 24 10 23 ! ≈ exp ( 5 ⋅ 10 24 ) ≈ 10 Какие ограничения накладывает химия на решение математических задач? 2 . 10 24

Симметрия в химии Симметрия – одно из основных понятий в современной науке. Она лежит в основе фундаментальных законов природы, таких как закон сохранения энергии. Симметрия – очень распространенное явление в химии: практически все известные молекулы либо сами обладают симметрией какого-либо рода, либо содержат симметричные фрагменты. В химии труднее обнаружить несимметричную молекулу, чем симметричную.

Дифференциальные уравнения в химии Химия изучает свойства веществ и их зависимость от условий – температуры, давления, концентрации. Поэтому химикам часто приходится исследовать функции одной или нескольких переменных. Как известно, основной способ исследования функции – анализ ее производной. Некоторые законы химии имеют дело с производными и устанавливают правила, по которым можно рассчитать производные и найти искомые функции. В первую очередь это касается химической кинетики – науки о скоростях и механизмах химических реакций. Скорость химической реакции показывает, насколько быстро увеличивается количество продуктов реакции и уменьшается количество исходных веществ (реагентов). Она обычно определяется как производная от концентрации продуктов по времени. Например, для реакции изомеризации вида A → B скорость реакции r , по определению, равна: r ( t ) = С В ′ ( t )

Теория устойчивости дифференциальных уравнений – одна из тех областей математики, на которые химия оказала значительное влияние. Это произошло после того, как Б.П. Белоусовым (1893-1970) и А.М. Жаботинским (1938-2008) была открыта знаменитая колебательная химическая реакция, впоследствии названная в их честь. Жаботинский установил, что многие химические реакции проявляют кинетическую неустойчивость. При одних условиях – концентрации и температуре они протекают в устойчивом режиме, при других – переходят в колебательный режим, а в некоторых случаях демонстрируют и хаотическое поведение. Исследуя механизмы подобных реакций, химики, а за ними и математики узнали много нового о разнообразном поведении решений дифференциальных уравнений и их зависимости от параметров уравнения. Все неустойчивые химические реакции включают автокаталитические стадии. В них продукт реакции сам является катализатором: чем больше образуется продукта, тем быстрее идет реакция. Колебательные химические реакции Б.П. Белоусов

Графическое представление молекул и их свойств – теория графов в химии Изучение связи свойств веществ с их строением – одна из основных задач химии. Большой вклад в ее решение внесла структурная теория органических соединений, в число создателей которой входит великий российский химик Александр Михайлович Бутлеров (1828-1886). Именно он первым установил, что свойства вещества зависят не только от его состава (молекулярной формулы), но и от того, в каком порядке связаны между собой атомы в молекуле. Такой порядок назвали «химическим строением». Идея о том, что порядок соединения атомов имеет ключевое значение для свойств вещества, легла в основу представления молекул с помощью графов, в которых атомы играют роль вершин, а химические связи между ними – ребер, соединяющих вершины. В графическом представлении длины связей и углы между ними игнорируются. Молекулы изображаются следующими графами: Бутлеров А.М.

Графы – это математические объекты, поэтому их можно характеризовать с помощью чисел. Строение молекул можно выражать числами, которые связаны со структурой молекулярных графов. Эти числа в химии называют «топологическими индексами». Рассчитав какой-либо топологический индекс для большого числа молекул, можно установить связь между его значениями и свойствами веществ, и затем использовать эту связь для предсказания свойств новых, еще не синтезированных веществ. Первоначально топологические индексы разрабатывались только с целью предсказания физико-химических свойств веществ. Однако впоследствии их стали применять и для решения других задач. Одно из приложений топологических индексов связано с классификацией органических соединений и созданием органических баз данных. Наиболее перспективные применения топологических индексов связаны с разработкой лекарственных препаратов и других биологически активных веществ. Т еория графов в химии

Молекулярные графы, применяемые в стереохимии и структурной топологии, химии кластеров, полимеров и др., представляют собой неориентированные графы, отображающие строение молекул. Вершины и ребра этих графов отвечают соответственно атомам и химическим связям между ними. Молекулярные графы и деревья: а, б — мультиграфы соотв. этилена и формальдегида; в – молекулы изомеров пентана (деревья 4, 5 изоморфны дереву 2) Теория графов в химии

Основная область интересов — это математическое моделирование гипотетически возможных физико-химических и химических явлений и процессов, а так же их зависимость от свойств атомов и структуры молекул. Математическая химия допускает построение моделей без привлечения квантовой механики. Критерием истины в математической химии являются математическое доказательство, вычислительный эксперимент и сравнение результатов с экспериментальными данными . В математической химии разрабатывают новые приложения математических методов в химии. Новизна обычно выражается одним из двух способов: развитие новой химической теории; развитие новых математических подходов, которые позволяют проникнуть в суть или решить проблемы химии. Модели математической химии— это закон действующих масс, созданный математиком К. Гульдбергом и химиком-экспериментатором П. Вааге , граф механизма химических превращений и дифференциальные уравнения химической кинетики. Один из создателей «химической динамики» Вант -Гофф писал о себе: «Двойное стремление: к математике, с одной стороны, и к химии — с другой, проявилось во всех моих научных устремлениях». Математическая химия — раздел теоретической химии, область исследований, посвящённая новым применениям математики к химическим задачам

« При каждом вдохе вы захватываете столько молекул, что если бы все они после выдоха равномерно распределились в атмосфере Земли, то каждый житель планеты при вдохе получил бы две-три молекулы, побывавшие в ваших легких», Для данного расчета не надо учитывать все население Земли, достаточно одного единственного человека. Вы делаете обычный вдох – выдох, задержав дыхание дожидаетесь, когда порция выдохнутого воздуха перемещается со всей атмосферой планеты, и снова делаете вдох. Проверим алгеброй дыхательную гармонию. Вдох – выдох –вдох! Пример математического моделирования При каком объеме вдоха –выдоха выполняется «утверждение о двух молекулах»

Общее число молекул земной атмосферы N , а вдох и выдох содержат по * N молекул. После вдоха –выдоха доля меченных молекул в земной атмосфере*. Таким же должно быть отношение и во втором вдохе (« вдохе каждого жителя планеты»), которое по условию равно2/ *N . Отсюда следует: *N/N = 2/*N или *N = (нахождение среднего геометрического) масса земной атмосферы = 5,2 . 10 21 г молярная масса воздуха М = 29 г/моль постоянная Авогадро N A = 6 . 10 23 моль -1 объем спокойного вдоха (выдоха) V = 400 – 600мл молярный объем газа V m = 24 л/моль n – количество вещества атмосферы Вдох – выдох –вдох! Пример математического моделирования

Пересчитаем число молекул на соответствующий объем вдоха –выдоха . * V при обычных условиях(нормальное давление и комнатная температура) Сравнивая значения V и *V видим, что «утверждение о двух молекулах» справедливо для верхней границы спокойного дыхательного объёма. Однако для большей надежности лучше говорить не о двух –трех, а об одной возвратной молекуле воздуха. Вдох – выдох –вдох! Пример математического моделирования

Рассмотрено всего несколько примеров, показывающих, как математика используется в химии. Они дают определенное, хотя, конечно, неполное представление о задачах, решаемых химиками с помощью математики, и ограничениях, которые химия накладывает на применяемую в ней математику. История науки говорит о том, что на границах различных областей знания могут происходить очень интересные события. И хотя химики и математики мыслят совсем по-разному, те случаи, когда им удается взаимодействовать, приводят к появлению красивых и нетривиальных результатов и способствуют обогащению обеих наук. Роль математики в химии