Дифференциальные уравнения в технике и химии

Скорость химической реакции. Дифференциальные уравнения

В настоящее время актуальной является проблема профильного обучения в старших классах. При этом необходима дифференциация в обучении одному и тому же предмету классов различных профилей. Требуется особая подготовка в подборе материала для классов с углубленным изучением математики, учащиеся которых хотят до конца проследить причинно-следственные связи не только в математике, но и в других науках, понять логику химических явлений. Для них часто неприемлемы «театрализованные» уроки.

С одной стороны, школьный курс химии довольно слабо использует математический аппарат, и огромное количество учебного материала носит полуописательный характер. С другой стороны, изучаемая математика иногда кажется ученикам оторванной от жизни, просто тренировкой ума.

Решить эту проблему помогают интегрированные уроки.

Предлагаемый мною материал опробован в классах физико-математического профиля гимназии № 42 г. Барнаула, имеющей сложившиеся традиции в углубленном преподавании математики. Результатом таких уроков является повышение интереса учащихся и к химии, и к математике, а также изменение взглядов учеников на эти науки.

Данный урок можно проводить совместно с учителем математики, или, при достаточной математической подготовке, такой урок может провести один учитель химии.

Эпиграф (записывается на доске, проецируется на экране через кодоскоп или проектор):

– Г-голубчики, – сказал Федор Семионович озадаченно, разобравшись в почерках. – Это же п-проблема Бен Б-бецалеля. К-калиостро же доказал, что она не имеет р-решения.

– Мы сами знаем, что она не имеет решения, – сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. – Мы хотим знать, как ее решать. (А. и Б.Стругацкие, «Понедельник начинается в субботу».)

Цель. Показать большое практическое значение математических операций дифференцирования и интегрирования на примере изучения раздела химии «кинетика химических реакций».

Задачи. Обучающие: повторить и обобщить знания о скорости химической реакции и факторах, влияющих на нее; дать научное понятие скорости химической реакции как дифференциала концентрации от времени и изучить зависимость скорости химической реакции от концентрации («закон действующих масс»); ввести понятие «дифференциальные уравнения» и научить решать простейшие дифференциальные уравнения методом разделения переменных.

Развивающие: повысить интерес к химии и математике; развивать умение находить причинно-следственные связи; стимулировать самостоятельное изучение отдельных разделов химии и математики.

Подготовительная работа учащихся. Самостоятельно повторить материал по следующим темам: «Скорость химической реакции и факторы, влияющие на нее», «Дифференциальное и интегральное исчисления».

Оборудование. Кодоскоп или проектор для демонстраций рисунков и схем.

Вступительная часть

Учитель. На сегодняшнем уроке мы продолжим изучение химических реакций, их протекание во времени. Раздел химии, изучающий протекание реакций во времени, называется химической кинетикой. Наверное, в химии нет другого раздела, где так широко используется математический аппарат. Вы увидите практическое применение ваших теоретических знаний по дифференциальному и интегральному исчислению. Также на примерах из химической кинетики вы познакомитесь с дифференциальными уравнениями и одним из приемов их решения.

Основная часть

Учитель. Что такое скорость вообще и скорость химической реакции в частности? В чем различие протекания гомогенных и гетерогенных реакций? Как будет выглядеть математическое выражение скорости химической реакции для гомогенной реакции?

Ученики повторяют и обобщают имеющиеся знания по теме, в том числе формулу:

Учитель. Поскольку условия протекания химической реакции постоянно изменяются (уменьшаются концентрации исходных веществ и др.), скорость химической реакции также непрерывно изменяется (рис. 1).

Рис. 1. Пример зависимости
скоростихимической реакции от времени

Следовательно, по формуле 1 можно найти лишь среднюю скорость химической реакции _ср. А как найти скорость химической реакции в какой-либо момент времени?

Ученик. Уменьшать рассматриваемый промежуток времени, причем чем он меньше, тем точнее вычисляется скорость.

Учащиеся делают вывод, что скорость химической реакции – это производная концентрации по времени:

Учитель. Рассмотрим, как протекает химическая реакция. Что нужно, чтобы она произошла?

Ученик. Необходимы столкновения молекул и достаточная для реагирования энергия.

Учитель. Избыточная энергия (по сравнению со средней энергией молекул), необходимая для того, чтобы молекулы вступили в реакцию, называется энергией активации.

Если энергия молекул для взаимодействия недостаточна, то соударение является «упругим» и молекулы разлетаются, как столкнувшиеся упругие шары (рис. 2).

Рис. 2.
Соударения: а – двух медленных молекул, электронные облака не перекрываются, реакция не происходит; б – двух быстрых молекул, атомы тесно сближаются, их электронные облака перекрываются, и это приводит к реакции

Как увеличить скорость химической реакции, исходя из вышеизложенного?

Ученик. Увеличить частоту столкновений молекул. Увеличить энергию молекул.

Учитель. Какие факторы влияют на скорость химической реакции?

Повторение и обобщение имеющихся знаний учеников по теме.

Ученик. На скорость химической реакции влияют:

– природа реагирующих веществ (вещества имеют разные энергии активации);

– концентрации реагирующих веществ или площадь соприкосновения реагирующих веществ (изменяется частота столкновений молекул);

– температура (изменяется число молекул с энергией, равной или большей энергии активации и, в меньшей степени, изменяется частота столкновений молекул);

– наличие других веществ (катализаторов и ингибиторов).

Учитель. Причины влияния других веществ мы рассмотрим на следующих уроках. Зависимость скорости химической реакции от температуры установил голландский ученый Вант-Гофф. Его уравнение получило название правило Вант-Гоффа:

При увеличении температуры на 10° скорость химической реакции увеличивается в 2–4 раза.

Температурный коэффициент обозначим буквой = 2–4.

Учащиеся самостоятельно выводят уравнение:

Учитель. Рассмотрим подробно зависимость скорости химической реакции от концентрации. Химическая реакция реализуется как совокупность множества отдельных актов химического превращения. Одинаковые акты составляют элементарную реакцию. Для элементарной реакции

скорость химической реакции прямо пропорциональна концентрациям исходных веществ А и В.

= k•с_Ас_B.

Зависимость скорости химической реакции от концентрации называется законом действующих масс.

Учащиеся сами записывают уравнение скорости элементарной реакции А —> С + … .

Учитель. Для элементарной реакции

скорость химической реакции прямо пропорциональна концентрации исходного вещества А:

= k•с_А.

Учащиеся сами выводят уравнения скоростей следующих химических реакций.

Реакция:

= k•с_Ас_А = k•с 2 _А.

Реакция:

= k•с_B .

Учитель. Применим наши знания на практике.

Задача. Разложение органического вещества фенилдиазонийхлорида протекает в одну стадию:

Запишем ее в виде:

Такие реакции называются реакциями первого порядка. Скорость этой химической реакции равна:

Минус перед дробью появляется потому, что в числителе находится концентрация исходного вещества, которая уменьшается по мере протекания реакции.

Записываем уравнение зависимости скорости этой реакции от концентрации исходного вещества:

= k•с_А ,

Уравнения такого вида называются дифференциальными уравнениями.

Пусть в первоначальный момент времени (t = 0) концентрация вещества А с_А = с₀. Найти концентрацию вещества А (с) в любой момент времени (t) при постоянной температуре.

Уравнения такого вида можно решить разделением переменных и последующим интегрированием.

Учитель решает вместе с учениками задачу, опираясь на их знания по математике.

Учитель. Преобразуем уравнение 2:

Интегрируем полученное уравнение:

Ученики самостоятельно проводят интегрирование, учитель при необходимости корректирует:

Учитель. Рассмотрим полученную зависимость. Из нее следует, что концентрация исходного вещества приблизится к нулю по прошествии неопределенно длительного промежутка времени. Аналогичную зависимость имеют реакции ядерного распада.

Большинство элементарных реакций имеют вид:

Такие реакции называются реакциями второго порядка. Скорость этой химической реакции равна производной концентрации любого из веществ, участвующих в реакции, от времени:

Записываем уравнение зависимости скорости этой реакции от концентраций исходных веществ:

= k•с_Ас_B.

Рассмотрим простейший случай, когда концентрации веществ А и В в течение всей реакции равны, т.е. с_{А = сB .}

Пусть в первоначальный момент времени t = 0 концентрации веществ А и В равны с_{А = сB = с0 .}

Задача (для самостоятельного решения).

Найти концентрации с веществ А и В в рассматриваемой реакции в любой момент времени t при постоянной температуре.

Рассуждения и решение учеников:

Учитель. Однако обычно зависимость концентрации от времени для реакций второго порядка представляют в виде формулы 3.

Задача (для самостоятельного решения). Время, необходимое для израсходования половины вещества, называют полупериодом реакции t_1/2. Докажите, что для реакций первого порядка (в том числе и для реакций ядерного распада) он не зависит от начальной концентрации.

Рассуждения и решение учеников:

Учитель. Для ядерных реакций полупериод реакции распада t_1/2 называют несколько по-другому – период полураспада, и он также не зависит от исходной массы радиоактивного вещества.

Задача (для домашней работы). Период полураспада радия 1590 лет. Сколько времени потребуется, чтобы активность радиевого препарата составила 10 % от начальной?

Заключительная часть (рефлексия)

Учитель. Таким образом, сегодня на уроке мы не только обобщили и углубили знания по теме «Скорость химической реакции», но и познакомились с дифференциальными уравнениями, способом их решения, а также показали огромное практическое значение математических понятий при изучении химии. Современная «настоящая» наука обязательно оперирует цифрами, привлекая серьезный математический аппарат.

Я надеюсь, что сегодняшний урок изменит ваши взгляды на химию, а также на математику. Многие считают ее наукой, изучающей саму себя ради себя. Теперь же вы видите, что математика жизненно необходима для существования и развития других наук.

Я очень хочу услышать ваше мнение об этом уроке.

Учащиеся высказывают свои мнения и обсуждают их.

Р е к о м е н д у е м а я л и т е р а т у р а

Ремсден Э.Н. Начала современной химии: Справочное издание. Пер. с англ. под ред. В.И.Барановского и др. Л.: Химия. Ленингр. отд-ние, 1989; Зайцев О.С. Учебная книга по химии (главы 1, 2, 3). Химия (ИД «Первое сентября»), 2002, №№ 4–14, 16–28, 30–34, 37–44; Кузнецова Н.Е., Литвинова Т.И., Левкин А.Н. Химия. Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень). В 2 ч. М.: Вентана-Граф, 2006; Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10–11 классы. В 2 ч. М.: Мнемозина, 2003; Глазунов А.Т., Кабардин О.Ф., Малинин А.Н. Физика. 11 класс. М.: Просвещение, 2001.

Пашукова Е.В.*, д .п ед.н . Нуриев Н.К.**

*Волжский филиал Казанского государственного технологического университета, Российская Федерация;

**Казанский государственный технологический университет,

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ХИМИИ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Следующие примеры позволяют понять, как различные задачи формулируются на языке дифференциальных уравнений.

1) Закон распада некоторых радиоактивных веществ состоит в том, что скорость распада пропорциональна наличному количеству этого вещества. Если x – количество вещества в некоторый момент времени t , то этот закон можно записать так: (1),где dx / dt – скорость распада, а k – некоторая положительная постоянная, характеризующая данное вещество. (Знак «минус» в правой части указывает на то, что x убывает со временем; знак «плюс», подразумеваемый всегда, когда знак явно не указан, означал бы, что x возрастает со временем.)

2) Емкость первоначально содержит 10 кг соли, растворенной в 100 м 3 воды. Если чистая вода вливается в емкость со скоростью 1 м 3 в минуту и равномерно перемешивается с раствором, а образовавшийся раствор вытекает из емкости с такой же скоростью, то сколько соли окажется в емкости в любой последующий момент времени? Если x – количество соли (в кг ) в емкости в момент времени t , то в любой момент времени t в 1 м 3 раствора в емкости содержится x /100 кг соли; поэтому количество соли убывает со скоростью x /100 кг/мин, или (2).

3) Пусть на тело массы m , подвешенное к концу пружины, действует возвращающая сила, пропорциональная величине растяжения пружины. Пусть x – величина отклонения тела от положения равновесия. Тогда по второму закону Ньютона, который утверждает, что ускорение пропорционально силе: (3).Правая часть стоит со знаком минус потому, что возвращающая сила уменьшает растяжение пружины.

4) Закон охлаждения тел утверждает, что количество тепла в теле убывает пропорционально разности температур тела и окружающей среды. Если чашка кофе, разогретого до температуры 90 ? С находится в помещении, температура в котором равна 20?С, то (4), где T – температура кофе в момент времени t .

5) Министр иностранных дел государства Блефуску утверждает, что принятая Лиллипутией программа вооружений вынуждает его страну увеличить военные расходы на сколько это только возможно. С аналогичными заявлениями выступает и министр иностранных дел Лиллипутии . Возникающую в результате ситуацию (в простейшей интерпретации) можно точно описать двумя дифференциальными уравнениями. Пусть x и y – расходы на вооружение Лиллипутии и Блефуску . Предполагая, что Лиллипутия увеличивает свои расходы на вооружение со скоростью, пропорциональной скорости увеличения расходов на вооружение Блефуску , и наоборот, получаем:

(5), где члены ? ax и ? by описывают военные расходы каждой из стран, k и l – положительные постоянные.

Более подробно остановимся на рассмотрении применения дифференциальных уравнений в химии.

Задача. Уравнение скорости последовательно протекающих реакций (6) записывается следующим образом: (7),

где [P] – концентрация соединения Р к моменту времени t от начала реакции;

k ₁ – константа скорости первой стадии процесса, равна 5?10 -2 дм 3 ?моль -1 ?мин -1 ;

k ₂ – константа скорости второй стадии последовательной реакции, равна

6,5?10 -3 дм 3 ?моль -1 ?мин -1 ;

[А ₀ ] – исходная концентрация соединения А.

Найти, чему будут равны значения [P] спустя 1, 2, 3 мин после начала реакции, если при t=0 [P]=0, а [A ₀ ]=1.

Обозначим y= [P], x=t . Тогда уравнение (7) примет вид (вместо k ₁ и k ₂ подставим их численные значения):

где (8)

Методом Эйлера и Рунге-Кутты найти решение дифференциального уравнения (9)

из условия задачи 1 с начальным условием y (0)=0 на отрезке [0;3] с шагом h=1.

Решение задачи средствами MS Excel :

1. Точным решение данной задачи является функция ₍₁₀₎

3. В диапазоне A1:B5 заполняем ячейки:

Рис 1. Ввод исходных данных задачи

4. В ячейке D2 записываем начальное значение y (0)=0, а в C2 — формулу =0,05*EXP(-0,05*B2)-0,0065*D2, которая соответствует выражению f (x ₀ , y ₀ ) и протянем маркером заполнения до C5.

5. В ячейку D3 введем формулу =D2+1*C2 (по реккурентной формуле Эйлера (11)) и протянем маркером заполнения протянем до D5.

6. В ячейках E2:E5 вычислим значения точного решения. Для этого в ячейку E2 введем формулу =(10*(EXP(0,015*B2)-1)/3)*EXP(-0,065*B2) и протянем до E5.

7. В столбце F2:F5 вычислим абсолютные ошибки с помощью формулы =ABS(E2-D2) и скопируем в остальные ячейки.

Рис. 2. Результаты расчета методом Эйлера

1. Возьмем шаг h=1.

2. В ячейки A1:А5 введем данные как в таблице:

Рис. 3. Ввод исходных данных задачи

3. В ячейке D2 записываем начальное значение y (0)=0, а в B2 — формулу =0,05*EXP(-0,05*A2)-0,0065*D2 и протянем маркером заполнения до B4.

4. В ячейку C2 введем формулу=0,05*EXP(-0,05*(A2+1*0,5))-0,0065*(B2+0,5*B2) и протянем маркером до C4.

5. В ячейку D3 введем формулу =D2+1*(0,05*EXP(-0,05*(A3+0,5))-0,0065*(D2+0,5*B2))и протянем до D5.

6. В ячейках E2:E12 вычислим значения точного решения. Для этого в ячейку E2 введем формулу =(10*(EXP(0,015*A2)-1)/3)*EXP(-0,065*A2 и протянем до E5.

7. В столбце F2:F5 вычислим абсолютные ошибки с помощью формулы =ABS(E2-D2) и скопируем в остальные ячейки.

Рис. 3. Результаты расчета методом Рунге-Кутты

Искомые значения решения y=y ( x ) дифференциального уравнения

(12)

на отрезке [0; 3]: y ₁ =0,0472; y ₂ =0,0891; y ₃ =0,1262.

Нетрудно заметить, что результаты по обоим методам совпадают. Использование численных методов и их автоматизация в программных средах значительно упрощает решение многих практических задач.

Список использованных источников:

1. Соболь Б.В. Практикум по вычислительной математике / Б.В. Соболь, Б.Ч. Месхи , И.М. Пешхоев . – Ростов н /Д.: Феникс, 2008.

2. Брановицкая С.В. Вычислительная математика в химии и химической технлогии / С.В. Брановицкая , Р.Б. Медведев, Ю.Я. Фиалков. – К.: Вища школа головное издательство, 1986.

3. Пантелее А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах / А.В. Пантелее, А.С. Якимова, А.В. Босов . – М: МАИ, 2000.

4. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений / К.К. Пономарев. – Мн.: Высшая школа, 1973.