Дифференциальные уравнения в виде матрицы

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

Вы будете перенаправлены на Автор24

Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами

Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\<\begin <\frac> =a_ <11>\cdot y_ <1>+a_ <12>\cdot y_ <2>+\ldots +a_ <1n>\cdot y_ > \\ <\frac> =a_ <21>\cdot y_ <1>+a_ <22>\cdot y_ <2>+\ldots +a_ <2n>\cdot y_ > \\ <\ldots >\\ <\frac> =a_ \cdot y_ <1>+a_ \cdot y_ <2>+\ldots +a_ \cdot y_ > \end\right. $,

где $y_ <1>\left(x\right),\; y_ <2>\left(x\right),\; \ldots ,\; y_ \left(x\right)$ — искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_ ,\; 1\le j,k\le n$ — заданные действительные числа представим в матричной записи:

Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac =A\cdot Y$.

Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами

Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_ <1>=\alpha _ <1>\cdot e^ $, $y_ <2>=\alpha _ <2>\cdot e^ $, \dots , $y_ =\alpha _ \cdot e^ $. В матричной форме: $Y=\left(\begin > \\ > \\ <\ldots >\\ > \end\right)=e^ \cdot \left(\begin <\alpha _<1>> \\ <\alpha _<2>> \\ <\ldots >\\ <\alpha _> \end\right)$.

Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:

Полученное уравнение можно представить так:

Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.

Готовые работы на аналогичную тему

Это уравнение называется характеристическим.

Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.

Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:

где $C_ $ — произвольные постоянные.

Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin <5>& <4>\\ <4>& <5>\end\right)$.

Получаем характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения: $k_ <1>=1$, $k_ <2>=9$.

Получаем решение СОДУ в матричной форме:

В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\<\begin =C_ <1>\cdot e^ <1\cdot x>+C_ <2>\cdot e^ <9\cdot x>> \\ =-C_ <1>\cdot e^ <1\cdot x>+C_ <2>\cdot e^ <9\cdot x>> \end\right. $.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 01 2022

Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом

Запишем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

в матричном виде:

, где .

Рассмотрим матричный метод решения систем. Ограничимся однородными системами. Пусть

однородная система. Находим корни характеристического уравнения

.

Простому корню характеристического уравнения соответствует решение , где — собственный вектор матрицы соответствующий собственному значению . Для кратного корня, ситуация более сложная, чем при решении одного уравнения. В этом случае число линейно независимых решений системы может быть меньше кратности корня. Если пара собственных корней характеристического уравнения комплексно сопряженные, то и решения тоже комплексно сопряженные. Поэтому можно выделить пару действительных решений. Приведем несколько примеров.

Пример 1 Решить систему дифференциальных уравнений

.

Составим характеристическое уравнение

Его корни . Находим собственные , отвечающие этим собственным значениям

Следовательно, можно взять и решение соответствующее первому собственному значению . Точно так же, находим собственный вектор отвечающий второму собственному значению:

Решение соответствующее второму собственному значению такое: .

Наконец, находим третье решение:

Таким образом, третий собственный вектор можно взять и третье решение: .

Общее решение запишем в векторном виде:

.

Пример 2 Решить систему дифференциальных уравнений .

Составляем характеристическое уравнение:

Поскольку система с вещественными коэффициентами, то можно найти решение соответствующее корню , а другое решение, соответствующее комплексно сопряженному корню будет комплексно сопряженным найденному.

Ищем собственные векторы:

.

Второе уравнение системы не пишем, так как оно линейно зависимое с первым. Можем взять . Таким образом, решение такое: . Чтобы найти два вещественных решения, нужно взять действительную и мнимые части полученного комплексного решения

Таким образом, общее решение системы:

.

Длины волн инфракрасного света достаточно велики, чтобы перемещаться сквозь облака, которые в противном случае блокировали бы наш обзор. Используя большие инфракра сные телескопы, астрономы смогли заглянуть в ядро нашей галактики. Большое количество звезд излучают часть своей электромагнитной энергии в виде видимого света, крошечной части спектра, к которой чувствительны наши глаза.

Так как длина волны коррелирует с энергией, цвет звезды говорит нам, насколько она горячая. Используя телескопы, чувствительные к различным диапазонам длин волн спектра, астрономы получают представление о широком круге объектов и явлений во вселенной.

Пример №1 Постройте центральную симметрию тетраэдра, относительно точки O, изображенных на рисунке 3.

Для построения такой центральной симметрии сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, каждая из которых будет проходить через точку O. На них построим отрезки, удовлетворяющие условиям |AO|=|A?O|, |BO|=|B?O|, |CO|=|C?O|, |DO|=|D?O| Таким образом, и получим искомую симметрию (рис. 4).

В ряду разных механических движений особенным значением обладают колебания. Это движения и процессы, имеющие периодичность во времени.

В среде электромагнитных явлений также значительное место заняли электромагнитные колебания. В этих колебаниях заряды, токи, электрические и магнитные поля изменяются согласно периодическим законам.

Совет №1 Велосипедист, имеющий скорость 300 м/с, или идеальный газ, оказывающий давление 100 паскалей в большой тепловой машине — это странно.

Нужна помощь с курсовой или дипломной работой?

Алгоритм решения линейного матричного разностного уравнения с малым шагом Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Иманалиев Замирбек Кирешеевич, Аширбаев Бейшембек Ыбышевич

Матричные дифференциальные уравнения широко используются при решении различных задач в теории систем дифференциальных уравнений. Кроме того, они представляют значительный интерес в связи с решением различных прикладных задач в теории управления, в вариационном исчислении, в теории цепей и др. Данная работа посвящена исследованию матричного разностного уравнения с малым шагом.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Иманалиев Замирбек Кирешеевич, Аширбаев Бейшембек Ыбышевич

Текст научной работы на тему «Алгоритм решения линейного матричного разностного уравнения с малым шагом»

Matrix algorithms for solving linear difference eguations with a small step Imanaliev Z.1, Ashirbayev B.2 Алгоритм решения линейного матричного разностного уравнения

с малым шагом Иманалиев З. К.1, Аширбаев Б. Ы.2

‘Иманалиев Замирбек Кирешеевич /Imanaliev Zamirbek — кандидат технических наук, профессор; 2Аширбаев Бейшембек Ыбышевич /Ashirbayev Beyshembek — кандидат физико-математических наук, доцент,

кафедра прикладной математики и информатики, факультет информационных технологий, Кыргызский государственный технический университет им. И. Раззакова, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: матричные дифференциальные уравнения широко используются при решении различных задач в теории систем дифференциальных уравнений. Кроме того, они представляют значительный интерес в связи с решением различных прикладных задач в теории управления, в вариационном исчислении, в теории цепей и др. Данная работа посвящена исследованию матричного разностного уравнения с малым шагом.

Abstract: matrix differential equations are widely used in solving various problems in the theory of differential equations. In addition, they are of considerable interest in connection with various applications in control theory, the calculus of variations in circuit theory and other. This work is devoted to the study of the matrix differential equation with a small step.

Ключевые слова: переходная матрица, сингулярно-возмущенное матричное дифференциальное уравнение, системы с малым параметром, матрица простой структуры.

Keywords: transition matrix, the matrix is singular perturbed differential equation system with a small parameter, the matrix of simple structure.

УДК517. 926.7: 519.677

При построении алгоритмов оптимального управления для стационарной системы с малым параметром рассматривается сингулярно-возмущенное матричное дифференциальное уравнение вида [1, с. 25, 2, с. 5].

¿¿X ( t) = AX (t) + X(t) А’, X(0) = X0. (1) В работе будем рассматривать уравнение, которая является дискретным аналогом уравнения (1) вида

X ( t + ¿¿) = АХ ( t) + X ( t) А ‘, X ( 0 ) = Х0, (2) где X,A -(nxn) матрицы, t е Гм =

0 — малый шаг, штрих обозначает транспонирование.

Исследования уравнений вида (2) является продолжением исследований авторов по дискретным задачам оптимального управления с малым шагом [3, с. 5512-5519, 4, с. 138-141, 5, с. 103-104].

Следует отметить, что уравнение (2) можно записать в виде системы линейных разностных уравнений. Если все матрицы в (2) имеют размерности (n х п) , то размерность вектора решений будет

1. Матрица А является матрицей простой структуры [6, с. 246], и она не имеет нулевого собственного значения

2. Все собственные значения матрицы удовлетворяют условию

При выполнении условии 1 простую структуру будут иметь также матрицы и их

собственные значения совпадают [6, с. 253], и матрица является невырожденной.

При выполнении условии 2 для матрицы имеет место ограничение по норме [6, с. 255].

| |А | | 1,/ = 0,1,2,-• •) . (3) ТЕОРЕМА. Матричное решение уравнения (2) дается формулой

X (t) = (AyX(Ô) + VX(Ô)A ‘) *, (4)

и оно имеет оценку

4-1 -1,2 1,9/ к = 1Д =ц, Х(2ц) = (Ау/Х(0) +^/Х(0)А’)2 =

/-0.96+ 1.881 0.361 0.4800 + 1.08^ = -0.34 + 0.441 0.03 + 0.091 -0.01 + 0.451 \-0.97 + 0.271 0.03 -0.1 + 1.171

к = 2,Ь = 2[1, Х(3[1) = (ЛУДО) + УХ(0= / 0.195 0.417 0.2554 \ = 0.3429 0.3995 0.2532 ; V—0.3107 -0.3916 -0.2101/ к = 3,г = 3ц, Х(4ц.) = (а\/Х(0) + \/Х(0= /0.5983 0.6528 0.2238 4 = 1.0401 1.1417 0.2416 ; V—0.5062 -0.4733 -0.1549/

к=4,Ь = 4ц, Х(5ц.) = (аУЖ0) + V= / 0.9591 1.1460 0.2440 \ = 1.0401 1.1417 0.2416 . V—0.5062 -0.5669 -0.1194/ Заключение.

Предложенный алгоритм решения линейного матричного разностного уравнения применяется в исследовании матричного разностного уравнения с малым шагом. Результаты работ также будут использованы при построении решений дискретных задач оптимального управления с малым шагом.

1. Иманалиев З. К. Об одном методе оптимального управления сингулярно возмущенными системами с минимальной энергией // Вестник КНУ им Ж. Баласагына. — Вып 3, серия 5, Бишкек, 2005. С. 25-30.

2. Иманалиев З. К., Аширбаев Б. Ы. Вывод одного из критериев управляемости сингулярно возмущенных систем оптимального управления // Известия КГТУ им И. Раззакова № 9, Бишкек, 2006. С. 5-10.

3. Иманалиев З. К., Аширбаев Б. Ы., Алымбаева Ж. А. Исследование разностной задачи оптимального управления с малым шагом для однопродуктовой модели экономики // В сборнике XII всероссийское совещание по проблемам управления ВСПУ — 2014. Институт проблем управления им.В. А. Трапезникова РАН, 2014. С. 5512-5519.

4. Иманалиев З. К., Аширбаев Б. Ы., Осмонканов А. М. Управление с минимальной энергией в дискретной задаче оптимального управления с малым шагом // Вестник КГУСТА, 2014. № 2. С. 138-141.

5. Иманалиев З. К., Баракова Ж. Т. Управление с минимальной энергией в системах со свободными конечными состояниями // Известия Волгоградского государственного технического университета, 2004. № 5. С. 103-104.

6. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. — Москва: Наука, 1973. С. 272.

Using the method of the additional argument for nonlinear partial integro-differential equations of the second order with many variables

Применение метода дополнительного аргумента для нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка со многими переменными Мамазиаева Э. А.

Мамазиаева Эльмира Амановна /Mamaziaeva Elmira — старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Ошский технологический университет им. Адышева, г. Ош, Кыргызская Республика

Аннотация: начальная задача для операторно-дифференциального уравнения в частных производных второго порядка новым способом сведена к решению системы интегральных уравнений.