WolframAlpha по-русски
Математика с WolframAlpha ® . Объяснения с примерами.
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Wolfram|Alpha
Решение дифференциальных уравнений с выводом результатов в пошаговом представлении (функция «Show steps» — Показать шаги) является одной из важных особенностей Wolfram|Alpha.
Wolfram|Alpha в большинстве случаев может помочь в решении дифференциальных уравнений различного уровня сложности, начиная от простейших дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (separable equations ) и включая более сложные уравнения, для решения которых служат, например, методы операционного исчисления, использующие преобразование Лапласа.
Чтобы решить дифференциальное уравнение с помощью Wolfram|Alpha достаточно ввести его в систему. ВНИМАНИЕ! Для ввода символа производной используется знак апострофа » ‘ «, но не кавычки (!). Для определенности можно добавить перед уравнением поисковое предписание solve (хотя, во многих случаях, это и не обязательно).
- solve xy’+y=2x
Как видим, Wolfram|Alpha сначала определяет (классифицирует) этот пример, как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, затем выводит общее решение данного уравнения, график частного решения, удовлетворяющего условию y(1)=1, а также семейство интегральных кривых данного уравнения.
Чтобы получить детальное пошаговое решение, используйте кнопку «Show steps»:
Аналогичным образом можно получить решение, например, дифференциального уравнения Бернулли:
- solve 2xy’+y=x^2y^3
- solve y’-2y/x=-x^2y^2
Wolfram|Alpha позволяет также получать решения дифференциальных уравнений второго и высших порядков. Например, так выглядит решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:
- solve y» + 2y’ +y= 54x^2e^(2x)sin(3x)
Или же дифференциального уравнения 3-го порядка: solve y»» = y.
С помощью Wolfram|Alpha возможно получить общее решение дифференциального уравнения, заданного в общем виде:
- solve a*y»(x)+b*y'(x)+c*y(x)=0
Наконец, в некоторых случаях, когда это необходимо,Wolfram|Alpha использует для решения дифференциальных уравнений методы операционного исчисления (преобразование Лапласа):
- solve y»(x)-2y'(x)/x+y(x)=0
Подробное решение этого примера смотрите по этой ссылке.
Дифференциальные уравнения
Язык Wolfram позволяет решать обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и уравнения с запаздыванием.
Функция DSolveValue возвращает решение дифференциального уравнения в общем виде:
Out[1]= |
Используем символ /. для замены константы:
Out[2]= |
Или добавим начальные условия для получения частного решения:
Out[3]= |
Функция NDSolveValue позволяет находить численные решения:
Out[1]= |
Объект InterpolatingFunction можно визуализировать без дополнительной обработки:
Out[2]= |
Для решения систем дифференциальных уравнений, необходимо использовать списки для задания уравнений и условий:
(Обратите внимание, что перенос уравнений на новую строку не влияет на результат.)
Out[1]= |
Построим решения системы в виде параметрического графика:
Дифференциальные уравнения в вольфрам альфа
Достаточно войти на страницу wolframalpha набрать в текстовом поле свой запрос и нажать на кнопку «=»
(имеет всплывающую подсказку вычислить ) или просто нажать Enter .
Функционал Wolfram Alpha не ограничивается лишь поиском ответов на поставленные вопросы. С помощью этой системы можно, например, строить графики и сопоставлять различные данные, что намного наглядней и лучше воспринимается, чем просто текст. Кроме того, с помощью Wolfram Alpha можно производить математические операции, как элементарные (которые без проблем выполняет и Google), так и решать уравнения различной сложности. Также Wolfram Alpha умеет строить графики функций, вычислять значения синуса или косинуса и так далее.
Например можно решить вот такое уравнение :
а чтобы узнать, какое расстояние между Москвой и Тель-Авивом, нужно ввести в поле
и вот вам результат:
Один из минусов сервиса Wolfram Alpha – это его англоязычность…так что если хотите задать вопрос системе придется писать его на английском языке. Даже неизвестно, появится ли русскоязычная версия этой поисково-вычислительной системы.
Основные команды для Вольфрам Альфа
(Команды вводятся в строку Вольфрама — например выше. Все команды заканчиваются нажатием Enter)
1. Решение уравнений, построение графиков
- Арифметические знаки плюс, минус, умножить, поделить +, — , *, / Примеры: 3*2, x*y, (a+b)/c
- Возведение в степень «x в степени а» x^a. Примеры x^a, x**a, (a+b)^2, (a+b)**2, (a+b)^(2x+1)
- Скобки. Действия в скобках ведутся первыми
- Функции .sin(x), cos(x), tan(x)=sin(x)/cos(x), cotan(x)=cos(x)/sin(x), sec(x)=1/cos(x), cosec(x)=1/sin(x)
- Функции log(x), exp(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x), cotanh(x)
- Корень квадратный из «х» sqrt(x) или x^(1/2)
Чтобы вычислить выражение, нужно его просто ввести. Например корень из 2 будет выглядеть как sqrt(2) или же 2^(1/2).
2. Чтобы решить уравнение, нужно просто его ввести
3. Чтобы построить график, нужно использовать команду plot
Например нарисуем с помощью Вольфрама функцию 2^(-x) cos(x). Это делается командой plot (график).
Чтобы построить несколько графиков на одной координатной плоскости (например для визуализации решения систем уравнений), при значении переменной x в интервале (A,B), нужно использовать команду
4. Чтобы собрать множители из двучлена (многочлена) f, наберите factor[f]
5. Чтобы развалить произведение f на слагаемые, используйте команду expand[f]
6. Чтобы упростить выражение f[x], наберите команду Simplify[f[x]]
Например упростить «е в степени догарифм х»:
Simplify[ exp[ log[x] ] ]
Вольфрам альфа: интегралы
Как работать с Wolfram Alpha
Основные операции
- Сложение : a+b
- Вычитание : a-b
- Умножение : a*b
- Деление : a/b
- Возведение в степень : a^b
Примеры
- 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
- (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).
Знаки сравнения
- Меньше : : >
- Равно : = или ==
- Меньше или равно : =
Логические символы
- И : &&
- ИЛИ : ||
- НЕ : !
Основные константы
- Число : Pi
- Число : E
- Бесконечность : Infinity, inf или oo
Основные функции
- : x^a
- : Sqrt[x]
- : x^(1/n)
- : a^x
- : Log[a, x]
- : Log[x]
- : cos[x] или Cos[x]
- : sin[x] или Sin[x]
- : tan[x] или Tan[x]
- : cot[x] или Cot[x]
- : sec[x] или Sec[x]
- : csc[x] или Csc[x]
- : ArcCos[x]
- : ArcSin[x]
- : ArcTan[x]
- : ArcCot[x]
- : ArcSec[x]
- : ArcCsc[x]
- : cosh[x] или Cosh[x]
- : sinh[x] или Sinh[x]
- : tanh[x] или Tanh[x]
- : coth[x] или Coth[x]
- : sech[x] или Sech[x]
- : csch[x] или Csch[е]
- : ArcCosh[x]
- : ArcSinh[x]
- : ArcTanh[x]
- : ArcCoth[x]
- : ArcSech[x]
- : ArcCsch[x]
Решение уравнений
Чтобы получить решение уравнения вида достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].
Примеры
- Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x] или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
- Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
- Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x] или \Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.
Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где — интересующая Вас переменная.
Примеры
- Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
- x^2+y^2-5=0 или Solve[x^2+y^2-5=0,x] или Solve[x^2+y^2-5=0,y];
- x+y+z+t+p+q=9.
Решение неравенств
Решение в Wolfram Alpha неравенств типа 0″ src=»http://upload.wikimedia.org/math/3/d/9/3d97eb56e02c2889dd20a89529548180.png» />, полностью аналогично решению уравнения . Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].
Примеры
- Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
- x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].
Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где — интересующая Вас переменная.
Примеры
- Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
- x^2+y^3-5 =9.
Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений
Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.
Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции на отрезке нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x],
Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],
Для того, чтобы построить график функции на прямоугольнике , нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y],
Математический анализ
Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.
Пределы
Для того, чтобы найти предел последовательности нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].
Примеры
- Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
- Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].
Найти предел функции при можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].
Производные
Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x],
Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
Интегралы
Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл так же просто: Integrate[f[x],
Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.
Дифференциальные уравнения и их системы
Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).
Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.
Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать:
Ошибки при работе с системой
Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач [1] . К примеру, если попытаться решить неравенство , для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4) Примечания
http://www.wolfram.com/language/fast-introduction-for-math-students/ru/differential-equations/
http://www.sites.google.com/site/matenatikucozru/wolfram-alpha