Уравнения в полных дифференциалах
В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.
Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.
Рассмотрим уравнение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0 . В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для этого должно выполняться условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .
Полный дифференциал функции U ( x , y ) = 0 имеет вид d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . С учетом условия ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x получаем:
P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y
∂ U ∂ x = P ( x , y ) ∂ U ∂ y = Q ( x , y )
Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:
U ( x , y ) = ∫ P ( x , y ) d x + φ ( y )
Функцию φ ( y ) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
∂ U ( x , y ) ∂ y = ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y + φ y ‘ ( y ) = Q ( x , y ) ⇒ φ ( y ) = ∫ Q ( x , y ) — ∂ ∫ P ( x , y ) d x ∂ y d y
Так мы нашли искомую функцию U ( x , y ) = 0 .
Найдите для ДУ ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 общее решение.
P ( x , y ) = x 2 — y 2 , Q ( x , y ) = — 2 x y
Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x :
∂ P ∂ y = ∂ ( x 2 — y 2 ) ∂ y = — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( — 2 x y ) ∂ x = — 2 y
Наше условие выполняется.
На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Нам нужно найти эту функцию.
Так как ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y является полным дифференциалом функции U ( x , y ) = 0 , то
∂ U ∂ x = x 2 — y 2 ∂ U ∂ y = — 2 x y
Интегрируем по x первое уравнение системы:
U ( x , y ) = ∫ ( x 2 — y 2 ) d x + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y )
Теперь дифференцируем по y полученный результат:
∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) ∂ y = — 2 x y + φ y ‘ ( y )
Преобразовав второе уравнение системы, получаем: ∂ U ∂ y = — 2 x y . Это значит, что
— 2 x y + φ y ‘ ( y ) = — 2 x y φ y ‘ ( y ) = 0 ⇒ φ ( y ) = ∫ 0 d x = C
где С – произвольная постоянная.
Получаем: U ( x , y ) = x 3 3 — x y 2 + φ ( y ) = x 3 3 — x y 2 + C . Общим интегралом исходного уравнения является x 3 3 — x y 2 + C = 0 .
Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки ( x 0 , y 0 ) до точки с переменными координатами ( x , y ) :
U ( x , y ) = ∫ ( x 0 , y 0 ) ( x , y ) P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y + C
В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.
Найдите общее решение дифференциального уравнения ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = 0 .
Проведем проверку, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x :
∂ P ∂ y = ∂ ( y — y 2 ) ∂ y = 1 — 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ ( x — 2 x y ) ∂ x = 1 — 2 y
Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U ( x , y ) = 0 . Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки ( 1 ; 1 ) до ( x , y ) . Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки ( 1 , 1 ) до ( x , 1 ) , а затем от точки ( x , 1 ) до ( x , y ) :
∫ ( 1 , 1 ) ( x , y ) y — y 2 d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ ( 1 , 1 ) ( x , 1 ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y + + ∫ ( x , 1 ) ( x , y ) ( y — y 2 ) d x + ( x — 2 x y ) d y = = ∫ 1 x ( 1 — 1 2 ) d x + ∫ 1 y ( x — 2 x y ) d y = ( x y — x y 2 ) y 1 = = x y — x y 2 — ( x · 1 — x · 1 2 ) = x y — x y 2
Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида x y — x y 2 + C = 0 .
Определите общее решение дифференциального уравнения y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .
Проверим, выполняется ли условие ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x .
Так как ∂ ( y · cos x ) ∂ y = cos x , ∂ ( sin 2 x ) ∂ x = 2 sin x · cos x , то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.
Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Дифференциальное уравнение первого порядка вида
называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е.
Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области изменения переменных и выполнялось условие
Общий интеграл уравнения (1) имеет вид или
Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:
так что т.е. условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и
поэтому , где пока неопределенная функция.
Интегрируя, получаем . Частная производная найденной функции должна равняться , что дает откуда так что Таким образом, .
Общий интеграл исходного дифференциального уравнения .
При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Здесь , так что условие (2) выполнено и, следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Это уравнение легко привести к виду непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:
Поэтому изначальное уравнение можно записать в виде
Следовательно, есть общий интеграл исходного уравнения.
Интегрирующий множитель
В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удается подобрать функцию , после умножения на которую левая часть (1) превращается в полный дифференциал
Такая функция называется интегрирующим множителем . Из определения интегрирующего множителя имеем
Мы получили для нахождения интегрирующего множителя уравнение в частных производных.
Отметим некоторые частные случаи, когда удается сравнительно легко найти решение уравнения (5), т.е. найти интегрирующий множитель.
1. Если , то и уравнение (5) примет вид
Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от , необходимо и достаточно, чтобы правая часть (6) была функцией только . В таком случае найдется квадратурой.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Здесь . Имеем
Уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Его левую часть можно представить в виде
2. Аналогично, если есть функция только , то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель , зависящий только от .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Здесь . Имеем
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его можно записать в виде
Пример 5. Решить уравнение , если его интегрирующий множитель имеет вид .
Решение. Положим , тогда , и, следовательно,
Уравнение (5) для нахождения интегрирующего множителя будет иметь вид
и, значит, , откуда , т.е. . Умножая данное уравнение на , получим
Это есть уравнение в полных дифференциалах и его общий интеграл согласно (3) будет
После несложных преобразований будем иметь .
Уравнение в полных дифференциалах
Вы будете перенаправлены на Автор24
Уравнение в полных дифференциалах и его решение
Дифференциальное уравнение, имеющее стандартный вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в котором левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $F\left(x,y\right)$, называется уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ — такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.
Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.
Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac<\partial F> <\partial x>\cdot dx+\frac<\partial F> <\partial y>\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac<\partial F> <\partial x>=P\left(x,y\right)$ и $\frac<\partial F> <\partial y>=Q\left(x,y\right)$.
Интегрируем первое соотношение $\frac<\partial F> <\partial x>=P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ — произвольная функция от $y$.
Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac<\partial F> <\partial y>=Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac<\partial > <\partial y>\left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U’\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.
Дальнейшее решение таково:
- из последнего равенства находим $U’\left(y\right)$;
- интегрируем $U’\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
- подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.
Чтобы получить частное решение уравнения в полных дифференциалах, начальное условие $y=y_ <0>$ при $x=x_ <0>$ нужно подставить в общее решение $F\left(x,y\right)=C$. Получаем $F\left(x_ <0>,y_ <0>\right)=C$. Таким образом, частное решение имеет вид $F\left(x,y\right)=F\left(x_ <0>,y_ <0>\right)$.
Интегрирующие множители
Если для дифференциального уравнения $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$ условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$ не выполняется, то такое уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Но в некоторых случаях его можно преобразовать в уравнение в полных дифференциалах посредством умножения на некоторую функцию $\mu \left(x,y\right)$, которая называется интегрирующим множителем.
Будем искать интегрирующий множитель в следующих двух простейших случаях:
- когда он зависит только от $x$, то есть $\mu =\mu \left(x\right)$;
- когда он зависит только от $y$, то есть $\mu =\mu \left(y\right)$.
Первый случай имеем тогда, когда отношение $\frac<\frac<\partial P> <\partial y>-\frac<\partial Q> <\partial x>> =\phi _ <1>\left(x\right)$ зависит только от $x$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $\mu =e^ <\int \phi _<1>\left(x\right)\cdot dx > $.
Второй случай имеем тогда, когда отношение $\frac<\frac<\partial P> <\partial y>-\frac<\partial Q> <\partial x>>
=\phi _ <2>\left(y\right)$ зависит только от $y$. Тогда интегрирующий множитель можно найти по следующей формуле $\mu =e^ <-\int \phi _<2>\left(y\right)\cdot dy > $.
В обоих формулах для интегрирующего множителя допустимо взять какое-то конкретное значение неопределенного интеграла. Если интегрирующий множитель найти удалось, то на него следует умножить данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, и к нему можно применить соответствующий метод решения.
Алгоритмы решения
Рассмотренный метод решения может быть представлен в виде следующего алгоритма:
- Данное дифференциальное уравнение следует представить в стандартном виде $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$. Оно может быть уравнением в полных дифференциалах. Чтобы убедиться в этом, следует проверить условие $\frac<\partial P><\partial y>=\frac<\partial Q><\partial x>$. Если это условие не выполняется, нужно перейти к поиску интегрирующего множителя. Иначе выполнение алгоритма продолжаем.
- Вычисляем интеграл $V\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx $ и выбираем для него какое-то простое значение.
- Находим частную производную $V’_
\left(x,y\right)=\frac<\partial ><\partial y>V\left(x,y\right)$. - Находим разность $U’\left(y\right)=Q\left(x,y\right)-V’_
\left(x,y\right)$. - Интегрируем $U’\left(y\right)$ по $y$, находим $U\left(y\right)$ и выбираем для неё какое-то простое значение.
- Записываем искомую функцию $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)$.
- Записываем общее решение $F\left(x,y\right)=C$ и частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_ <0>,y_ <0>\right)$, где $y=y_ <0>$ при $x=x_ <0>$ — начальное условие.
Поиск интегрирующего множителя может быть представлен в виде следующего алгоритма:
- Вычисляем вспомогательную функцию $R=\frac<\partial P><\partial y>-\frac<\partial Q><\partial x>$.
- Находим функции $\phi _ <1>\left(x\right)=\frac
$ и $\phi _ <2>\left(y\right)=\frac
$. Если функция $\phi _ <1>\left(x\right)$действительно зависит только от $x$, то интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^ <\int \phi _<1>\left(x\right)\cdot dx > $. Если функция $\phi _ <2>\left(y\right)$ действительно зависит только от $y$, то интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^ <-\int \phi _<2>\left(y\right)\cdot dy > $. В обоих случаях для интегрирующего множителя выбираем какое-то конкретное значение неопределенного интеграла.
- Если интегрирующий множитель найти удалось, то умножаем на него данное дифференциальное уравнение, представленное в стандартном виде. После этого оно становится дифференциальным уравнением в полных дифференциалах и можно переходить на соответствующий алгоритм его решения. Если интегрирующий множитель найти не удалось, то дифференциальное уравнение должно решаться иным методом.
Дано дифференциальное уравнение, имеющее следующий вид:
\[\left(5\cdot y^ <3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y\right)\cdot dx+\left(10\cdot x\cdot y^ <2>+23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4\right)\cdot dy=0.\]
Найти его общее решение. Найти также его частное решение для начального условия $y=3$ при $x=2$.
Данное дифференциальное уравнение имеет вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, где $P\left(x,y\right)=5\cdot y^ <3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y$, $Q\left(x,y\right)=10\cdot x\cdot y^ <2>+23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4$. Оно может быть уравнением в полных дифференциалах. Поэтому проверяем условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$.
Находим частные производные: $\frac<\partial P> <\partial y>=15\cdot y^ <2>+26\cdot y+6$, $\frac<\partial Q> <\partial x>=10\cdot y^ <2>+23\cdot y+6$. Условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$ не выполняется. Следовательно, данное дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому переходим к поиску интегрирующего множителя.
Находим вспомогательную функцию $R=\frac<\partial P> <\partial y>-\frac<\partial Q> <\partial x>$. Получаем$R=15\cdot y^ <2>+26\cdot y+6-10\cdot y^ <2>-23\cdot y-6=5\cdot y^ <2>+3\cdot y$.
Находим функции: $\phi _ <1>\left(x\right)=\frac =\frac <5\cdot y^<2>+3\cdot y> <5\cdot y^<3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y> $. Выполняем упрощение найденных функций посредством сокращения дробей. Оказывается, что для функции $\phi _ <1>\left(x\right)$ сокращение невозможно. Функция $\phi _ <2>\left(y\right)$ в результате сокращения получает вид $\phi _ <2>\left(y\right)=\frac<1> Интегрирующий множитель находим по формуле $\mu =e^ <-\int \phi _<2>\left(y\right)\cdot dy > $. Получаем: $\mu =e^ <-\int \phi _<2>\left(y\right)\cdot dy > =e^<-\int \frac<1> Умножаем полученный интегрирующий множитель на данное дифференциальное уравнение: \[\frac <5\cdot y^<3>+13\cdot y^ <2>+6\cdot y> После деления многочленов имеем: \[\left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot dx+\left(10\cdot x\cdot y+3\cdot x-2\right)\cdot dy=0. \] Получили новое дифференциальное уравнение, в котором $P\left(x,y\right)=5\cdot y^ <2>+3\cdot y$, $Q\left(x,y\right)=10\cdot x\cdot y+3\cdot x-2$. Снова проверяем условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$: получаем $\frac<\partial P> <\partial y>=10\cdot y+3$, $\frac<\partial Q> <\partial x>=10\cdot y+3$. Условие $\frac<\partial P> <\partial y>=\frac<\partial Q> <\partial x>$ выполняется. Следовательно, новое дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Переходим к алгоритму его решения. Вычисляем интеграл: $V\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx =\int \left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot dx =$ \[=\left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot \int dx =\left(5\cdot y^ <2>+3\cdot y\right)\cdot x=5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y.\] \[V’_ \[U’\left(y\right)=Q\left(x,y\right)-V’_ Интегрируем $U’\left(y\right)$ по $y$ и находим $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$. Находим результат: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y-2\cdot y$. Записываем общее решение в виде $F\left(x,y\right)=C$, а именно: \[5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y-2\cdot y=C.\] Находим частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_ <0>,y_ <0>\right)$, где $y_ <0>=3$, $x_ <0>=2$: \[F\left(2,3\right)=5\cdot 2\cdot 3^ <2>+3\cdot 2\cdot 3-2\cdot 3=90+18-6=102.\] Частное решение имеет вид: $5\cdot x\cdot y^ <2>+3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$. Получи деньги за свои студенческие работы Курсовые, рефераты или другие работы Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 30 11 2021 http://mathhelpplanet.com/static.php?p=uravneniya-v-polnyh-differentsialah http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/uravnenie_v_polnyh_differencialah/=\frac <5\cdot y^<2>+3\cdot y> <10\cdot x\cdot y^<2>+23\cdot x\cdot y-2\cdot y+6\cdot x-4> $ и $\phi _ <2>\left(y\right)=\frac