Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде
Метод решения
Рассмотрим уравнение, не содержащее независимую переменную в явном виде:
(1) .
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:
Далее считаем, что функция u зависит от переменной y , тогда:
;
;
и т. д.
В результате такой подстановки, порядок уравнения понижается на единицу.
Пример
Уравнение не содержит независимую переменную в явном виде. Делаем подстановку:
.
Считаем, что функция u зависит от переменной y . Тогда
.
Подставляем в исходное уравнение:
.
Делим на u . При имеем:
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Делим на и умножаем на dy . При имеем:
.
Интегрируем:
(2) .
Подставляем в (2):
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную интегрирования . Знак модуля сводится к умножению на ±1 . Включим ±1 в постоянную . То есть мы теперь полагаем, что может быть не только положительным, но и отрицательным числом. Тогда:
.
Выполняем преобразования:
;
.
При имеем:
;
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируем:
(3) .
Вычисляем интеграл:
.
Подставляем в (3):
;
.
Возводим в квадрат и выполняем преобразования:
;
;
(4) .
При выводе формулы (4) мы предполагали, что
и .
Теперь рассмотрим случаи
.
Нетрудно видеть, что решение, охватывающее эти три равенства, есть
(5) ,
где C – произвольная постоянная. Тогда . Подставляя это в исходное уравнение нетрудно убедиться, что оно выполняется. Это особое решение. Добавим его в ответ.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 18-07-2013 Изменено: 27-06-2018
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.
Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y‘
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка
с искомой функцией .
Решая его, находим . Так как , то .
Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию и, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка . Интегрируя его, находим . Заменяя на и интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:
Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Заменяя z произведением функций u и v , получим
Тогда получим выражения с функцией v :
Выражения с функцией u :
Дважды интегрируем и получаем:
.
.
Интегрируем по частям и получаем:
.
Итак, общее решение данного дифференциального уравения:
.
Понижение порядка уравнения, не содержащего y
Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию и понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка . Решая его, находим . Тогда и получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Интегрируем полученную функцию:
Мы пришли к цели — общему решению данного дифференциального уравения:
.
Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :
Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:
Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:
.
Понижение порядка уравнения, не содержащего x
Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда
.
Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:
.
Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:
,
где и — произвольные константы интегрирования.
Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:
.
При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).
Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:
Используя вновь подстановку
,
получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:
.
Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1 , y‘(0) = −1 .
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:
.
Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:
Чтобы определить C 1 , используем данные условия y(0) = 1 , y‘(0) = −1 или p(0) = −1 . В полученное выражение подставим y = 1 , p = −1 :
.
.
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
.
Из начального условия y(0) = 1 следует
.
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
.
Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1 , y‘(1) = −1 .
Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:
.
Таким образом, получили уравнение первого порядка
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p , получим
Интегрируем обе части уравнения
Используем начальные условия и определим C 1 . Если x = 1 , то y = 1 и p = y‘ = −1 , поэтому
.
Из начального условия y(1) = 1 следует
.
Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения
.
Виды дифференциальных уравнений
Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.
В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.
Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.
Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.
Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».
Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2 -го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.
Напомним, что y ‘ = d x d y , если y является функцией аргумента x .
Дифференциальные уравнения первого порядка
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y ‘ = f ( x )
Начнем с примеров таких уравнений.
y ‘ = 0 , y ‘ = x + e x — 1 , y ‘ = 2 x x 2 — 7 3
Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f ( x ) · y ‘ = g ( x ) является метод деления обеих частей на f ( x ) . Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y ‘ = g ( x ) f ( x ) . Оно является эквивалентом исходного уравнения при f ( x ) ≠ 0 .
Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:
e x · y ‘ = 2 x + 1 , ( x + 2 ) · y ‘ = 1
Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х , при которых функции f ( x ) и g ( x ) одновременно обращаются в 0 . В качестве дополнительного решения в уравнениях f ( x ) · y ‘ = g ( x ) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х .
Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x · y ‘ = sin x , ( x 2 — x ) · y ‘ = ln ( 2 x 2 — 1 )
Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1 -го порядка».
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f 1 ( y ) · g 1 ( x ) d y = f 2 ( y ) · g 2 ( x ) d x или f 1 ( y ) · g 1 ( x ) · y ‘ = f 2 ( y ) · g 2 ( x )
Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f ( y ) d y = g ( x ) d x . Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у , разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.
Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫ f ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x
К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:
y 2 3 d y = sin x d x , e y d y = ( x + sin 2 x ) d x
Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f 2 ( y ) ⋅ g 1 ( x ) . Так мы придем к уравнению f 1 ( y ) f 2 ( y ) d y = g 2 ( x ) g 1 ( x ) d x . Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f 2 ( y ) ≠ 0 и g 1 ( x ) ≠ 0 . Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.
В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: d y d x = y · ( x 2 + e x ) , ( y 2 + a r c cos y ) · sin x · y ‘ = cos x y .
К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = a x + b y . Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y ‘ = f ( a x + b y ) , a , b ∈ R .
Подставив z = 2 x + 3 y в уравнение y ‘ = 1 e 2 x + 3 y получаем d z d x = 3 + 2 e z e z .
Заменив z = x y или z = y x в выражениях y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.
Если произвести замену z = y x в исходном уравнении y ‘ = y x · ln y x + 1 , получаем x · d z d x = z · ln z .
В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.
Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y ‘ = y 2 — x 2 2 x y . Нам необходимо привести его к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x . Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x 2 или y 2 .
Нам дано уравнение y ‘ = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 , a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 ∈ R .
Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y ‘ = f x y или y ‘ = f y x , нам необходимо ввести новые переменные u = x — x 1 v = y — y 1 , где ( x 1 ; y 1 ) является решением системы уравнений a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0
Введение новых переменных u = x — 1 v = y — 2 в исходное уравнение y ‘ = 5 x — y — 3 3 x + 2 y — 7 позволяет нам получить уравнение вида d v d u = 5 u — v 3 u + 2 v .
Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u . Также примем, что z = u v . Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u · d z d u = 5 — 4 z — 2 z 2 3 + 2 z .
Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y ‘ + P ( x ) · y = Q ( x )
Приведем примеры таких уравнений.
К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1 -го порядка относятся:
y ‘ — 2 x y 1 + x 2 = 1 + x 2 ; y ‘ — x y = — ( 1 + x ) e — x
Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y ( x ) = u ( x ) v ( x ) . Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».
Дифференциальное уравнение Бернулли y ‘ + P ( x ) y = Q ( x ) y a
Приведем примеры подобных уравнений.
К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:
y ‘ + x y = ( 1 + x ) e — x y 2 3 ; y ‘ + y x 2 + 1 = a r c t g x x 2 + 1 · y 2
Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z = y 1 — a , которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1 -го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y ( x ) = u ( x ) v ( x ) .
Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.
Уравнения в полных дифференциалах P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = 0
Если для любых значений x и y выполняется ∂ P ( x , y ) ∂ y = ∂ Q ( x , y ) ∂ x , то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y представляло собой полный дифференциал некоторой функции U ( x , y ) = 0 , то есть, d U ( x , y ) = P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U ( x , y ) = 0 по ее полному дифференциалу.
Выражение, расположенное в левой части записи уравнения ( x 2 — y 2 ) d x — 2 x y d y = 0 представляет собой полный дифференциал функции x 3 3 — x y 2 + C = 0
Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».
Дифференциальные уравнения второго порядка
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , p , q ∈ R
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k 2 + p k + q = 0 . Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q :
- действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k 1 ≠ k 2 , k 1 , k 2 ∈ R ;
- действительные и совпадающие k 1 = k 2 = k , k ∈ R ;
- комплексно сопряженные k 1 = α + i · β , k 2 = α — i · β .
Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:
- y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ;
- y = C 1 e k x + C 2 x e k x ;
- y = e a · x · ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) .
Пример 13
Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2 -го порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + 3 y ‘ = 0 . Найдем корни характеристического уравнения k 2 + 3 k = 0 . Это действительные и различные k 1 = — 3 и k 2 = 0 . Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:
y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2 e 0 x ⇔ y = C 1 e — 3 x + C 2
Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = f ( x ) , p , q ∈ R
Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y 0 , которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y ‘ ‘ + p y ‘ + q y = 0 , и частного решения y
исходного уравнения. Получаем: y = y 0 + y
Способ нахождения y 0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y
мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f ( x ) , которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.
К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2 -го порядка с постоянными коэффициентами относятся:
y ‘ ‘ — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) e x ; y ‘ ‘ + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x
Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x )
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.
На некотором отрезке [ a ; b ] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = 0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, y = C 1 y 1 + C 2 y 2 .
Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:
1 ) 1 , x , x 2 , . . . , x n 2 ) e k 1 x , e k 2 x , . . . , e k n x 3 ) e k 1 x , x · e k 1 x , . . . , x n 1 · e k 1 x , e k 2 x , x · e k 2 x , . . . , x n 2 · e k 2 x , . . . e k p x , x · e k p x , . . . , x n p · e k p x 4 ) 1 , c h x , s h x
Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.
Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = 0 .
Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y ‘ ‘ + p ( x ) · y ‘ + q ( x ) · y = f ( x ) мы можем найти в виде суммы y = y 0 + y
, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y
частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y 0 можно описанным выше способом. Определить y
нам поможет метод вариации произвольных постоянных.
Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение x y ‘ ‘ — x y ‘ + y = x 2 + 1 .
Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Мы можем провести замену y ( k ) = p ( x ) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F ( x , y ( k ) , y ( k + 1 ) , . . . , y ( n ) ) = 0 , которое не содержит искомой функции и ее производных до k — 1 порядка.
В этом случае y ( k + 1 ) = p ‘ ( x ) , y ( k + 2 ) = p ‘ ‘ ( x ) , . . . , y ( n ) = p ( n — k ) ( x ) , и исходное дифференциальное уравнение сведется к F 1 ( x , p , p ‘ , . . . , p ( n — k ) ) = 0 . После нахождения его решения p ( x ) останется вернуться к замене y ( k ) = p ( x ) и определить неизвестную функцию y .
Дифференциальное уравнение y ‘ ‘ ‘ x ln ( x ) = y ‘ ‘ после замены y ‘ ‘ = p ( x ) станет уравнением с разделяющимися переменными y ‘ ‘ = p ( x ) , и его порядок с третьего понизится до первого.
В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F ( y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 , порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену d y d x = p ( y ) , где p ( y ( x ) ) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:
d 2 y d x 2 = d p d y d y d x = d p d y p ( y ) d 3 y d x 3 = d d p d y p ( y ) d x = d 2 p d y 2 d y d x p ( y ) + d p d y d p d y d y d x = = d 2 p d y 2 p 2 ( y ) + d p d y 2 p ( y )
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.
Рассмотрим решение уравнения 4 y 3 y ‘ ‘ = y 4 — 1 . Путем замены d y d x = p ( y ) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4 y 3 p d p d y = y 4 — 1 .
Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 · y ‘ + f 0 · y = f ( x )
Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:
- находим корни характеристического уравнения k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 ;
- записываем общее решение ЛОДУ y 0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y = y 0 + y
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y
целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.
Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = x cos x + sin x соответствует линейное однородное ДУ y ( 4 ) + y ( 3 ) — 5 y ‘ ‘ + y ‘ — 6 y = 0 .
Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».
Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 и y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )
Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y = y 0 + y
, где y 0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y
— частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
y 0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y 1 , y 2 , . . . , y n , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = 0 в тождество. Частные решения y 1 , y 2 , . . . , y n обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.
После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y = y 0 + y
Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».
Системы дифференциальных уравнений вида d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2
Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.
http://function-x.ru/differential_equations6.html
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/differentsialnye-uravnenija/vidy-differentsialnyh-uravnenij/