Дифференциальные уравнения второго порядка дискриминант

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в математике

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим метод решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

Линейной комбинацией функций и называется выражение вида

где — некоторые произвольные постоянные.

Функции и называются линейно независимыми, если если их линейная комбинация обращается в нуль тогда и только тогда, когда коэффициенты равны нулю.

Теорема 7.2. Если и — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то общее решение данного уравнения является линейной комбинацией этих частных решений.

Следовательно, чтобы найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, надо знать два его частных линейно независимых решения: и .

Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде . Подставляя эту функцию в уравнение, выводим:

Очевидно, функция будет решением дифференциального уравнения, если число к является корнем квадратного уравнения

которое называется характеристическиль уравнением исходного дифференциального уравнения.

Как известно, для корней данного квадратного трехчлена возможны три случая.

• Если дискриминант больше нуля , то корни характеристического уравнения действительные, простые:

• Если дискриминант равен нулю ( = 0), то корни характеристического уравнения действительные, кратные:

• Если дискриминант меньше нуля (

где — действительная, — мнимая часть комплексного числа; — мнимая единица.

Теорема 7.3. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка строится в зависимости от дискриминанта и корней характеристического уравнения:

где — некоторые произвольные постоянные.

Пример:

Найти частные решения заданных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие начальным условиям:

► Составим характеристическое уравнение, заменяя в дифференциальном уравнении производные неизвестной функции у соответствующими степенями неизвестного заменим на — на а на 1. В результате получим квадратное уравнение:

Дискриминант уравнения больше нуля:

В таком случае, корни характеристического уравнения действительные, простые:

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Частное решение получим из общего, используя для определения произвольных постоянных заданные начальные условия:

Решая полученную систему, находим значения произвольных постоянных:

После подстановки найденных значений в общее решение, искомое частное решение принимает вид

► Составим характеристическое уравнение:

Дискриминант уравнения равен нулю:

В таком случае, корни характеристического уравнения действительные, кратные:

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Найдем производную общего решения и определим произвольные постоянные из начальных условий:

Находим значения произвольных постоянных:

и подставим их в общее решение. Искомое частное решение принимает вид

Составим характеристическое уравнение:

Дискриминант меньше нуля:

В таком случае, корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Используем для определения произвольных постоянных заданные начальные условия:

После подстановки найденных значений в общее решение, получим:

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.

1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:

то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа

(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть

3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа

(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде

Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.

Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть

Составим и решим характеристическое уравнение:

Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение данного однородного дифференциального уравнения:

В этом случае характеристическое уравнение

Корни различны и действительны. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка здесь

Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как

Характеристическое уравнение здесь

Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

Отсюда находим общее решение данного диф. уравнения:

Примеры для самопроверки.

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Дифференциальные уравнения второго порядка дискриминант

Линейным называется дифференциальное уравнение n -го порядка , если оно 1-ой степени относительно искомой функции y ( x ) и ее производных , то есть имеет вид:

Если коэффициент P ₀ ( x ) ≠ 1, то на него можно поделить и после соответствующих переобозначений получить:

Уравнение (8.43) называется уравнением с переменными коэффициентами. Предположим, что в нем функции , непрерывны на интервале . Тогда для уравнения (8.43) на данном интервале имеет место задача Коши, сформулированная нами ранее.

Примечание. Частным случаем (8.43) является линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с переменными коэффициентами:

Если в уравнении (8.43) f ( x ) ≡ 0, то оно называется однородным, если f ( x ) ≠ 0, то неоднородным.

Теорема 8.3 (о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ). Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного и некоторого частного решения неоднородного уравнения . Запишем коротко:

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (8.43), имеет вид:

Пусть в уравнении (8.45) функции . Тогда оно принимает вид:

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением n -го порядка с постоянными коэффициентами , где – функции, n раз дифференцируемые.

Рассмотрим решения уравнений (8.45) и (8.46). Обозначим полную совокупность их линейно независимых решений через . Тогда, по свойству решений однородного уравнения, их линейная комбинация также является решением уравнения (8.45) и (8.46), т о есть общее решение может быть записано в виде:

где c_i – константы интегрирования.

Перейдем к конструированию функций . Какого они вида? Так как эти функции в уравнениях (8.45) и (8.46) n раз дифференцируемы, то их конструкция при дифференцировании не меняется. Это возможно в случае экспоненциального вида функций, то есть при

где , . Отсюда, линейная комбинация функций (8.48):

– также решение уравнений (8.45) и (8.46).

Рассмотрим одну из функций (8.48) – функцию y = e λx как решение для уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами. Продифференцируем ее n раз:

Так как e λx ≠ 0 , то ( 8.50)

–алгебраическое уравнение n -ой степени относительно λ, называемое характеристическим уравнением для уравнения (8.46). Известно, что уравнение n -ой степени имеет равно n корней как действительных, так и комплексных, с учетом их кратности. Значит, характеристическое уравнение (8.50) дает нам n значений числа λ, ранее обозначенных нами через , которые при подстановке в (8.49) приводит нас к окончательному виду общего решения линейного однородного дифференциального уравнения (8.46) с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим наиболее распространенный частный случай уравнения (8.46) – его аналог 2-го порядка:

Для данного уравнения характеристическое уравнение (8.50) принимает вид:

Уравнение (8.52) является квадратным относительно λ. В зависимости от дискриминанта D характеристического уравнения рассматривают три случая, приведенных в таблице 8.1.

Пример 8.17. Найти общее решение уравнений:

а) Составляем характеристическое уравнение λ 2 +2 λ – 15 = 0. Корнями этого уравнения будут λ ₁ = –5 и λ ₂ = 3 . Тогда, применяя (8.53), получаем общее решение: y=C ₁ e – 5x +C ₂ e 3x .

б) Составляем характеристическое уравнение λ 2 – 16 λ + 64 = 0.

Решая это уравнение, получим λ ₁ = λ ₂ = 8 . Так как корни равные, то, применяя (8.54), будем иметь:

в) Характеристическое уравнение λ 2 – 4 λ + 13 = 0 имеет комплексные корни λ ₁ = 2+3 i и λ ₂ = 2 –3 i . Положив в (8.55) α=2 и β = 3, получим общее решение: .

г) Характеристическое уравнение λ 2 +9 = 0 имеет корни λ 1;2 = ± 3 i . П олагая в (8.55) α=0 и β = 3, получим общее решение

Рассмотрим теперь линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

Теорема 8.4. Пусть задано линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и п равой частью специального вида

1. Если не является корнем характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения, то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:

где – многочлены общего вида (с неопределенными коэффициентами).

2. Если – корень характеристического уравнения кратности s , то частное решение уравнения (8.57) имеет вид:

– многочлены общего вида

Рассмотрим в таблице 8.2 некоторые случаи составления частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (8.57) по специальному виду его правой части.

Пример 8.18. Найти общее решение уравнения .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного ДУ: . Х арактеристическое уравнение λ 2 +2 λ +1 = 0 имеет корень λ₁ = 1 кратности 2 (смотри таблицу 8.1). Значит, y_{o . o .} = c ₁ ∙ e x + c ₂ ∙ x ∙ e x . Находим частное решение исходного уравнения. В нем правая часть x –4=( x –4)∙ e 0∙ x есть формула вида P ₁ ( x )∙ e 0∙ x , причем α= 0 не является корнем характеристического уравнения: α ≠ λ . Поэтому согласно формуле (8.58), частное решение y _ч.н. ищем в виде y _ч.н. = Q ₁ ( x )∙ e 0∙ x , т.е. y _ч.н. = Ax + B , где A и B – неопределенные коэффициенты. Тогда

Пример 8.19. Решить уравнение .

уравнения . Характеристическое уравнение λ 2 – 4 λ +13 = 0 имеет корни λ₁ = 2+3 i , λ 2 = 2 –3 i (смотри таблицу 8.1). Следовательно, .

Находим частное решение y _ч.н. . Правая часть неоднородного уравнения в нашем случае имеет вид

Отсюда, сравнивая коэффициенты при косинусе и синусе, имеем . Следовательно, A = 1, B = – 3 . Поэтому . И наконец, с учетом теоремы 8.3 получаем общее решение заданного линейного неоднородного ДУ в виде:

Пример 8.20. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение . Находим общее решение однородного уравнения . Характеристическое уравнение λ 2 – λ – 2 = 0 имеет два корня λ ₁ = –1 и λ ₂ = 2 (смотри таблицу 8.1) ; тогда y_{o . o .} = C ₁ ∙ e – x + C ₂ ∙ e 2 x – общее решение соответствующего однородного ДУ.

В правой части заданного уравнения имеется показательная функция. Так как в данном случае α=2 совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде функции Axe 2 x . Таким образом, y _ч.н. = Axe 2 x . Дифференцируя дважды это равенство, по лучим: . Подставим y _ч.н. и ее производные в левую часть заданного уравнения и найдем коэффициент A : . Следовательно, частное решение y _ч.н. = 3xe 2 x , общее решение

Используя начальные условия, определим значения произвольных постоянных C ₁ и C ₂ . Дифференцируя общее решение (8.60), получим:

Подставим в общее решение (8.60) значения x = 0 и y = 2, будем иметь 2 = C ₁ + C ₂ . Подставим в выражение для значения x = 0 и , будем иметь: 13 = – C 1 +2 C 2 +3 ; 10 = – C 1 + C 2 . Из этих уравнений составим систему , из которой находим: C 1 = – 2 и C 2 =4 . Таким образом, есть то частное решение, которое удовлетворяет заданным начальным условиям

Теорема 8.5 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (8.56) представляет собой сумму двух функций: , а y _{1 ч.н.} и y _{2 ч.н.} – частные решения уравнений и соответственно, то функция

является частным решением данного уравнения