Дифференциальные уравнения второго порядка презентация

Презентация на тему: Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5

Основные понятия Уравнение 2-го порядка имеет вид Или Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях параметров является решением этого уравнения.

Задача Коши для уравнения 2-го порядка Если уравнение 2-го порядка разрешить относительно второй производной, то для такого уравнения имеет место задача: найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям: и Эту задачу называют задачей Коши для дифференциального уравнения 2-гопорядка.

Теорема существования и единственности решения уравнения 2-го порядка Если в уравнении функция и ее частные производные по аргументам и непрерывны в некоторой области, содержащей точку , то существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям и .

Уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка Простейшее уравнение 2-го порядка решают двукратным интегрированием. Уравнение , не содержащее явно у, решают с помощью подстановки , Уравнение , не содержащее х, решают заменой , .

Пример Проинтегрируем Имеем И

Пример Уравнение не содержит явно х, поэтому решаем его подстановкой При х=0 Ответ

Линейные однородные уравнения Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение . Если все коэффициенты этого уравнения постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами .

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 1. Если у(х) является решением уравнения , то и Су(х), где С-константа, также является решением этого уравнения.

Свойства решений линейного однородного уравнения Теорема 2. Если и -решения уравнения, то и их сумма также является решением этого уравнения. Следствие. Если и -решения уравнения, то функция -также решение этого уравнения.

Линейно зависимые и линейно независимые функции Две функции и называются линейно зависимыми на некотором промежутке, если можно подобрать такие числа и ,не равные нулю одновременно, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

Линейно зависимые и линейно независимые функции Если таких чисел подобрать нельзя, то функции и называются линейно независимыми на указанном промежутке. Функции и будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения 2-го порядка Если и -линейно независимые частные решения ЛОУ 2-го порядка, то их линейная комбинация , где и -произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами Уравнение называется характеристическим уравнением линейного уравнения . Оно получается из ЛОУ заменой соотстветствующей порядку производной степенью k .

Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

y ( x) C1e C2e
Теперь находим частное решение неоднородного
уравнения методом вариации постоянных в виде:
Y ( x) C1 ( x) e C2 ( x) e
2x
2x
Y ( x) C1 ( x) e C1 ( x) 2 e
x
x
C2 ( x) e C2 ( x) e
2x
x

y ( x) C1e C2 x e

y ( x) e 2 x (C1 sin 3x C2 cos 3x)
Теперь решаем неоднородное уравнение. Правая
часть представляет собой рассмотренный
случай:
n 2
2i
и
–2i
не
являются
корнями
характеристического уравнения, следовательно
частное решение неоднородного уравнения
будем искать в виде:
Y ( x) A cos 2 x B sin 2 x

Презентация на тему «Решение Дифференциальных Уравнений второго порядка .»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Дифференциальные
уравнения второго порядка

1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие его понижение

Дифференциальное уравнение вида:
(1)
где х независимая переменная, у – неизвестная функция и
Общим решением такого уравнения является функция вида:
(2)
где х независимая переменная, у– неизвестная функция и две произвольных постоянные.
Задачей Коши для такого уравнения (1) с начальными условиями
является его решение в виде функции,удовлетворяющей (1), график которой проходит через точку

и имеет тангенс угла наклона касательной в этой точке к оси ОX, равный

ее производные
называется уравнением второго порядка.

Рассмотрим дифференциальные уравнения второго порядка, решение которых сводится к последовательному решению 2х дифференциальных уравнений первого порядка и общий интеграл имеет вид:
где — две произвольных постоянные.
Уравнение с помощью подстановки

cводится к уравнению первого порядка относительно p(x).
Уравнения
не содержат в явной форме искомую функцию и
приводятся подстановкой

к дифференциальным уравнениям первого порядка.
(4)
(3)

Рассмотрим дифференциальные уравнения второго порядка, решение которых сводится к последовательному решению 2х дифференциальных уравнений первого порядка и общий интеграл имеет вид:
где — две произвольных постоянные.

Уравнение
не содержит в явной форме переменную х и приводится подстановкой

к дифференциальным уравнениям первого порядка.
(7)
(3)

Пример 1 .
Решить дифференциальное уравнение
Решение (8).
Это уравнение не содержит явно функцию у . Сделаем замену (6) и получим:

Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка, которое можно решить путем замены z = uv. Подставляем это выражение в (8) и получаем:
Приравниваем выражение в скобках к нулю:
и находим v:

Пример 1 .
Решить дифференциальное уравнение
Решение (8).
Подставляем это выражение в (10) и находим u:

2. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами – уравнение вида:

(1)
где a,b,c – заданные действительные числа.
Если функция то уравнение (1) называется ОДНОРОДНЫМ,
если то уравнение (1) называется НЕОДНОРОДНЫМ
Общее решение у неоднородного уравнения складывается из общего решения У соответствующего однородного уравнения и некоторого
частного решения неоднородного дифференциального уравнения:
y = Y+ (2)
Для решения однородного уравнения составляют его характеристическое уравнение: (3)

В зависимости от корней характеристического уравнения общее решение Y находится по одной из формул, представленных в таблице:

Вид частного решения зависит от функции и корней характеристического уравнения.

Пример 1 .
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид (смотрите таблицу):

Легко увидеть, что корнями этого уравнения являются:

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид (смотрите таблицу):

Пример 2 .
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения имеет вид (смотрите таблицу):

Легко увидеть, что корнями этого уравнения является кратный корень

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид (смотрите таблицу):

Система дифференциальных уравнений.

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, содержащих несколько неизвестных функций и их производные, причем в каждом уравнении имеется хотя бы одна производная.
Система называется линейной, если неизвестные функций и их производные входят в каждое из уравнений только в первой степени.
Линейная система имеет нормальный вид, если она решена относительно всех производных.
Так,например, система дифференциальных уравнений
— линейная и имеет
нормальный вид.
(*)

Система (*) является линейной системой с постоянными коэффициентами (коэффициенты при неизвестных функциях и их производных постоянны).
Решение.
Чтобы исключить y продифференцируем верхнее уравнение системы:

В верхнем уравнении системы находим у:

Подставляя (***) в нижнее уравнение системы, найдем
:

Решение.
Подставляя (****) в (**), получим линейное уравнение второго порядка:

Находим общее решение (*****):

Найденное в п.5 решение подставляем в верхнее уравнение системы и находим вторую неизвестную функцию:
:

В основе методов численного решения дифференциальных уравнений лежит преобразование дифференциальной задачи в разностную задачу, называемое аппроксимацией.
Чтобы лучше понять решение этой задачи в приложении к дифференциальным уравнениям, рассмотрим аппроксимацию простейших дифференциальных операторов, т.е. производных первого и второго порядков.
Рассмотрим функцию одной переменной u = u(x), для которой задан интервал её изменения x [a; b]. Разобьём интервал [a; b] на n равных частей (см. рисунок).
Введём следующие обозначения: u(xj) = uj — значение функции u(x) в точке xj; — величина интервала между точками.

Рассмотрим производную функции u в точке xj:
Аппроксимация этой производной может быть введена с помощью следующих разностных операторов:
с помощью правой конечной разности
с помощью левой конечной разности
с помощью центральной конечной разности

Кроме того, разностную аппроксимацию производной первого порядка можно задать в виде линейной комбинации этих выражений:

Видно, что при = 0 выражение (*) становится левой

конечной разностью, при = 1/2 — центральной конечной

разностью, при = 1 — правой конечной разностью.

Теперь рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

Здесь u — функция двух независимых переменных: для которых

задан интервал их изменения:
Введём двумерную систему координат, отложив по оси абсцисс независимую переменную х, а по оси ординат — независимую переменную t, и отметим на осях заданные интервалы изменения переменных х и t. Разобьём интервал [a; b] на некоторое количество равных частей и проведём из каждой точки деления прямую, перпендикулярную оси х.

Выполним те же действия для интервала изменения другой независимой переменной. Тогда построенные прямые составят так называемую разностную сетку (см. рисунок). Точки пересечения проведённых прямых будем называть узлами разностной сетки, причём каждый из них будет соответствовать некоторым значениям независимых переменных х и t из заданных интервалов.
Введём следующие обозначения: j — порядковый номер точки деления по оси х;
n — порядковый номер точки деления по оси t;
— величина интервала между точками по оси х;

величина интервала между точками по оси t;
— значение функции u, соответствующее точкам tn, xj .
Введём нумерацию точек разностной сетки по каждой из осей следующим образом: по оси х — j = 1, 2, 3, . N; по оси t — n = 0, 1, 2, . M.
Рассмотрим производные в уравнении (**) в точке на разностной сетке.
Для аппроксимации производной функции u по времени будем использовать правую конечную разность, стабилизируя при этом значение независимой переменной х в точке с порядковым номером j:

Для аппроксимации второй производной функции u по координате будем использовать другой разностный оператор, стабилизируя при этом значение независимой переменной t в точке с порядковым номером n (или, иначе говоря, на n-ом шаге):
Если подставить записанные конечные разности в исходное дифференциальное уравнение (**), получим соотношение, аппроксимирующее это дифференциальное уравнение в точке на разностной сетке, и называемое разностной схемой:
(***)

В записанной разностной схеме (***) аппроксимация второй производной функции u по координате рассматривается на n-ом шаге по времени, то есть относительно точки tn , для которой рассматривается аппроксимация всего уравнения. Такая разностная схема называется явной.
Однако аппроксимацию второй производной функции u по координате можно рассматривать и на (n + 1)-ом шаге по времени, в точке tn+1; такая разностная схема называется неявной:
Отметим, что если в состав свободного члена входит сама функция u, то её значение должно соответствовать n-му шагу по времени при составлении явной разностной схемы и (n + 1)-му шагу по времени при составлении неявной разностной схемы. Значение же переменной t, входящей в состав свободного члена, всегда берётся на n-ом шаге.
Схематическое изображение узлов разностной сетки, связанных уравнением разностной схемы, называют разностным шаблоном. Разностный шаблон может служить хорошим ориентиром при выборе метода решения разностной схемы и составлении алгоритма решения.
(****)

Схематическое изображение узлов разностной сетки, связанных уравнением разностной схемы, называют разностным шаблоном. Разностный шаблон может служить хорошим ориентиром при выборе метода решения разностной схемы и составлении алгоритма решения.

Разностные шаблоны для разностных схем (***) и (****) имеют вид:

для явной разностной схемы для неявной разностной схемы