Дифференциальные уравнения задача коши конспект

урок «Обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши»
методическая разработка по алгебре по теме

Конспект урока по теме » обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши». Предлагается методика введения нового материала, а также метод решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.Материал предназначен для работы со студентами 2 курса техникума.

Скачать:

Вложение	Размер
Урок»обыкновенные дифференциальные уравнения»	212.5 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока : Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Тип урока: изучение нового материала.

Вид урока: комбинированный .

— помочь усвоить понятие дифференциальное уравнение;

— помочь овладеть методами решения ДУ;

— отработать навыки решения обыкновенных диф.уравнений первого

— развить логическое мышление студентов;

— развивать творческие способности студентов:

— побудить интерес к изучаемому предмету.

Воспитательные: развитие познавательного интереса к предмету, воспитание патриотизма, стимулирование потребности умственного труда.

Дидактические: познакомиться с понятием дифференциального уравнения; научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; научиться находить частные решения дифференциальных уравнений.

Развивающиеся: развитие памяти, внимания, умение выдвигать гипотезы, отстаивать свою точку зрения.

дидактический материал;
проектор;
презентация.

Организационный момент.
Коррекция пройденного материала.
Актуализация знаний.
Объяснение нового материала.
Закрепление изученного материала.
Информация о домашнем задании.
Подведение итогов.

Поприветствовать студентов, отметить отсутствующих.Отметить дежурных.

Объявить тему урока и его цель.

2.Коррекция пройденного материала: на предыдущем занятии вы выполняли самостоятельную работу. Анализируя ваши работы , были выделены следующие типичные ошибки ( показать на доске правильное выполнение). В итоге получены следующие результаты ( объявить оценки за сам. работу).

3. Актуализация знаний:

1. выполнить устно упражнения:

а) найти производную:

(3х) ‘ =… (х 3 ) ‘ =… (6х 2 ) ‘ =… (х+5) ‘ =… (5х-4) ‘ =… (2sinx) ‘ =…

б) Указать угловой коэффициент прямой:

в) Чему равен угловой коэффициент касательной ,проведенной к графику функции в точке х 0 ? ( ответ: производной функции при х 0 )

г) Как обозначается дифференциал функции? Назовите формулу дифференциала функции . ( ответ: dF=F ‘ dx).

д) Назовите процесс обратный дифференцированию? ( интегрирование)

е) в чем заключается смысл неопределенного интеграла? (Неопределенный интеграл – это семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из одной путем параллельного переноса вдоль оси ОУ)

2. Работа по карточкам у доски:

а) ( ответ: I=2x+lnx+С); б) ; (I=ln(x+2)+C);

На слайдах показать графики решений данных неопределенных интегралов.

4.Объяснение нового материала:

Мотивация: В начале занятия к нам пришла необычная телеграмма

( текст на слайде) от майора Пронина.

На месте преступления обнаружен отпечаток пальца и записка: у ‘ =2х.

Подозреваю функцию . Cherchez la femme! Майор Пронин.

Выяснить , что данное равенство уравнение и оно содержит функция и её производные. Такие уравнения называют дифференциальными (ДУ).

Наша задача научиться решать такие уравнения. Может последовать вопрос: а зачем?

Как сказал один мудрец : «Великая книга природы написана на языке дифференциальных уравнений».

Смысл этой аллегории таков: математикам кажется , что законы природы во многих случаях удобно описывать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Сущность этих законов подчас раскрывается в результате решения ДУ.

Немного истории: Теория ДУ возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественных наук. В самостоятельный раздел математики её выделил прежде всего Леонард Эйлер (1707-1783)- гениальный математик , механик, физик.

Долгие годы Эйлер работал в Петербургской Академии наук. Он оказал решающее влияние на развитие математики в Европе и во всем мире. Французский математик Пьер Лаплас считал Эйлера учителем математиков второй половины XVIII века. Но оценка Лапласа оказалась излишне скромной. История поставила Эйлера во главу математиков всех времен и народов.

В Швейцарии , на родине Эйлера, полное собрание его научных трудов начали издавать в 1909 году, а завершили издание лишь в 1975 году. Список трудов Эйлера содержит 860 наименований.

Леонард Павлович ( так его называли в России) был непревзойденным нескучным вычислителем . Неутолимо вычисляя при свечах , он потерял зрение сначала на правый , а затем и на левый глаз. Последние годы он не менее плодотворно работал слепым. На сегодня так и не издана большая часть из его 3000 писем.

В 1971 году Швейцария украсила 10-франкоые ассигнации портретом Л.Эйлера.

Ученый кот , услышав шорох,

Надел очки и на ходу

Учел реакцию в опорах,

Уклон и скорость. Для ОДУ

Путем изящных вычислений

Решил систему уравнений,

Пересчитав все P и Q,

И приготовился к прыжку.

Мышь убежала. Но , однако,

Кот съел в теории собаку.

Теперь мы плавно переходим к теории.

Определение 1: Дифференциальным уравнением называют уравнение , связывающее независимые переменные, их функцию и производные

( или дифференциалы) этой функции.

Определение 2: Если независимая переменная одна , то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше , то уравнение называется в частных производных.

Определение 3 : Наивысший порядок производной , входящей в уравнение , называют порядком дифференциального уравнения.

ху ‘ +у=0- обыкновенное диф.уравнение первого прядка.

— обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.

у »’ -2у=х- обыкновенное диф. уравнение третьего порядка.

Определение 4: Процесс решения ДУ называется интегрирование.

Определение 5: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Определение 6 : Общим решением ДУ называется такое решение , в которое входит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок уравнения.

Так, общее решение ДУ первого порядка содержит одну произвольную.

Общему решению ДУ соответствует совокупность ( семейство) всех интегральных кривых.

Определение 7: Частным решением ДУ называется решение , полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения ДУ называется интегральной кривой.

Определение 8: Задача , в которой требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию у(х 0 )=у 0 , называется задачей Коши.

(Огюстен Луи Коши( 1789-1857)- французский математик).

В ходе записывания теории разбирается пример: , , — общее решение

При х= 2, у=5, тогда 5= , 5= 4+с, получим с= 1, следовательно,

Мы сначала рассмотрим самые простые ДУ – это ДУ с разделяющимися переменными.

Определение 9: ДУ с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

Для решения этого уравнения необходимо:

разделить сначала переменные;
проинтегрировать обе части полученного равенства.

Найдем частное решение при начальных условиях: при х=2, у=-4.

Получим: -4+1=С 2 /(-3), тогда С 2 =9.

Частное решение имеет вид: .

Решить фронтально примеры. Отвечающим около доски задают вопросы по пройденному материалу.

у ‘ =4х 3 .Найти общее решение.( ответ: у=х 4 +С)
(ответ: )

Найти частные решения ДУ:

Найти частное решение ДУ .

тогда у=2sinx-1- частное решение.

1. , при х=π, у=0 . Ответ:

Практическое приложение ДУ.

-Откуда берутся ОДУ?

-А откуда берут их авторы задачников?

— С потолка или из пальца!

К сожалению, такое тоже бывает, но это не типично. Основным поставщиком ДУ для математиков является практика.

Найти кривые, для которых угловой коэффициент касательной в каждой точке на любой из этих кривых равен абсциссе точки касания.

Решение: По геометрическому смыслу производной . Получим:

Определить путь , который пройдет автомобиль за время t=20 с, если его скорость пропорциональна пути и если за 10с. Автомобиль проходит 100м, а за 15с- 200м.

По условию , где к- коэффициент пропорциональности.

При t=10,s=100: ln100=10k+C

При t= 15,s=200:ln200= 15k+C, следовательно k=ln2/5, тогда С=ln25

Уравнение (1) примет вид: .

При t=20c. S=400м.Ответ: 400м.

При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его первоначальному содержанию. Определить содержание фермента через 4ч. После брожения , если вместо 2г. первоначального количества спустя 1ч. Получается 2,6г. фермента.

Пусть Q-наличие фермента (г.) в момент времени t (ч.) , то скорость прироста фермента . По условию задачи .

При t=0, Q=2г., тогда С=ln2, получим .

При t=1, Q=2,6, тогда к=ln1,3

6.Задание на дом: выучить основные определения из конспекта;

4.Задача: Найти кривые , для которых угловые коэффициенты касательных в каждой точке равны 2х-1 . Выделить кривую , проходящую через точку А(1;1). Построить график этой кривой.

7.Подведение итогов: Выставление оценок за работу на уроке.

Найти общее решение ОДУ:

Найти частное решение ОДУ:

Найти общее решение ОДУ:

Найти частное решение ОДУ:

Решить уравнения:1.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БРЯНСКИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫЙ ТЕХНИКУМ

по дисциплине «Математика»

Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Для специальностей: 190604 «Техническое обслуживание и ремонт

автомобилей на транспорте»

190701 «Организация грузовых перевозок на

080110 «Экономика и бухгалтерский учет на

транспорте (по видам)»

на методическую разработку открытого урока по дисциплине «Математика» по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши», разработанного преподавателем математики Жуковой Н.В.

Видом урока является изложение нового материала. В начале урока озвучена цель и задачи . В ходе изложения материала прослеживается четкая структура урока: актуализация знаний, хорошо проведена мотивация темы , доступно излагается материал, продуман этап закрепления. Урок методически построен правильно.

В ходе урока использовалась презентация с целью повышения наглядности, усвоения материала и познавательного интереса.

Изложение нового материала проходит в доступной , но в тоже время научной форме. Параллельно излагаемому материалу делается акцент на практическое применение данной темы , ее месту и роли в математике.

На этапе закрепления используется дифференцированный подход: студенты , усвоившие основной уровень знаний и умений , принимаются за боле сложные задания под контролем преподавателя. От результата их деятельности зависит итоговая оценка за урок.

Содержание данного урока включает в себя индивидуальную работу , что повышает ответственность студентов за итог проделанной ими работы.

Очень широко представлена межпредметная связь на данном уроке. Преподаватель подобрал задания прикладного характера, на которых студенты смогут оценить значимость данной темы и её необходимость в других областях науки.

К разработке данного урока преподаватель подошел с творчеством. Проделана большая подготовительная работа по обеспечению дидактическими и техническими средствами.

Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.

Рецензент: Немцова З.Н.- преподаватель математики Брянского автотранспортного

Данную методическую разработку урока можно рекомендовать к использованию в процессе изучения математики.

Рецензент: Толстенок И.Л.- преподаватель математики Брянского торгово-экономического

Дифференциальные уравнения задача коши конспект

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:

1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;

2) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;

3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;

4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;

5) – уравнение в частных производных первого порядка.

В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.

Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.

Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.

Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).

Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).

Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.

Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.

Например, общее решение уравнения записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду

Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению

которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)

507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.

△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем

x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲

508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.

△ Полагая , перепишем данное уравнение в виде

Проинтегрируем обе части уравнения:

, или

Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем

▲

509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.

△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем

, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.

Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲

510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.

△ Преобразуем данное уравнение к виду . Интегрируя, получим

, или ln |y| = – arctg x + С

Это и есть общий интеграл данного уравнения.

Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,

ln у = – arctg х + π/4,

откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Возвращаясь к переменной x, получаем:

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

после чего интегрируем обе части уравнения:

Оба интеграла — табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

источники:

http://an-site.ru/kr/ko.htm

http://function-x.ru/differential_equations1.html

Дифференциальные уравнения задача коши конспект

урок «Обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши» методическая разработка по алгебре по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

Дифференциальные уравнения задача коши конспект

§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

урок «Обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача Коши»
методическая разработка по алгебре по теме