Дифференциальных уравнений однородными системами являются

Системы дифференциальных уравнений с примерами решения и образцами выполнения

Также как и обыкновенные дифференциальные уравнения, системы дифференциальных уравнений применяются для описания многих процессов реальной действительности. В частности, к ним относятся различного рода физические и химические процессы, процессы нефте- и газодобычи, геологии, экономики и т.д. Действительно, если некоторые физические величины (перемещение тела, пластовое давление жидкости в фиксированной точке с тремя координатами, концентрация веществ, объемы продаж продуктов) оказываются меняющимися со временем под воздействием тех или иных факторов, то, как правило, закон их изменения по времени описывается именно системой дифференциальных уравнений, т.е. системой, связывающей исходные переменные как функции времени и производные этих функций. Независимой переменной в системе дифференциальных уравнений может выступать не только время, но и другие физические величины: координата, цена продукта и т.д.

Решение систем дифференциальных уравнений

К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики точки: даны силы, действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е. найти функции выражающие зависимость координат движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид

Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f, g, h — известные функции своих аргументов.

Система вида (1) называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями аргумента t, назовем канонической систему вида

разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,

Если в (2) принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы.

Например, одно уравнение

является мастным случаем канонической системы. Положив в силу исходного уравнения будем иметь

В результате получаем нормальную систему уравнений

эквивалентную исходному уравнению.

Определение:

Решением нормальной системы (3) на интервале (а, Ь) изменения аргумента t называется всякая система n функций

дифференцируемых на интервале а

Теорема:

Существования и единственности решения задачи Коши. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений

и пусть функции определены в некоторой (n + 1) — мерной области D изменения переменных Если существует окрестность точки в которой функции fi непрерывны по совокупности аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменным то найдется интервал изменения t, на котором существует единственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начальным условиям

Определение:

Система n функций

зависящих от t и n произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы (3) в некоторой области существования и единственности решения задачи Коши, если

1) при любых допустимых значениях система функций (6) обращает уравнения (3) в тождества,

2) в области функции (6) решают любую задачу Коши.

Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных называются частными решениями.

Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,

Будем рассматривать систему значений t, x1, х2 как прямоугольные декартовы координаты точки трехмерного пространства, отнесенного к системе координат Решение

системы (7), принимающее при значения определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку Эта линия называется интегральной кривой нормальной системы (7). Задача Коши для системы (7) получает следующую геометрическую формулировку: в пространстве переменных t, x1, х2 найти интегральную кривую, проходящую через данную точку (рис. 1). Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой.

Нормальной системе (7) и ее решению можно придать еще такое истолкование: будем независимую переменную t рассматривать как параметр, а решение

системы — как параметрические уравнения кривой на плоскости Эту плоскость переменных х1х2 называют фазовой плоскостью. В фазовой плоскости решение системы (7), принимающее при t = to начальные значения изображается кривой АВ, проходящей через точку (рис. 2). Эту кривую называют траекторией системы (фазовой траекторией). Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот.

Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Метод исключения

Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной

Введя новые функции заменим это уравнение следующей нормальной системой n уравнений:

т. е. одно уравнение n-го порядка эквивалентно нормальной системе (1)

Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений.

Делается это так. Пусть имеем нормальную систему

Продифференцируем первое из уравнений (2) по t. Имеем

Заменяя в правой части производные их выражениями получим

Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2), получим

Продолжая этот процесс, найдем

Предположим, что определитель

(якобиан системы функций отличен от нуля при рассматриваемых значениях

Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения системы (2) и уравнений

будет разрешима относительно неизвестных При этом выразятся через

Внося найденные выражения в уравнение

получим одно уравнение n-го порядка

Из самого способа его построения следует, что если есть решения системы (2), то функция х1(t) будет решением уравнения (5).

Обратно, пусть Х1(t) — решение уравнения (5). Дифференцируя это решение по t, вычислим и подставим найденные значения как известные функции

от t в систему уравнений

По предположению эту систему можно разрешить относительно т. е найти как функции от t.

Можно показать, что так построенная система функций

составляет решение системы дифференциальных уравнений (2). Пример:

Требуется проинтегрировать систему

Дифференцируя первое уравнение системы, имеем

откуда, используя второе уравнение, получаем

— линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид

В силу первого уравнения системы находим функцию

Найденные функции x(t), y(t), как легко проверить, при любых значениях С1 и С2 удовлетворяют заданной системе.

Функции x(t), y(t) можно представить в виде

откуда видно, что интегральные кривые системы (6) — винтовые линии с шагом и с общей осью х = у = 0, которая также является интегральной кривой (рис. 3).

Исключая в формулах (7) параметр t, получаем уравнение

так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром в начале координат — проекции винтовых линий на плоскость хОу.

При А = 0 фазовая траектория состоит из одной точки х = 0, у = 0, называемой точкой покоя системы.

Замечание:

Может оказаться, что функции нельзя выразить через Тогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Вот простой пример. Систему уравнений

нельзя заменить эквивалентным уравнением второго порядка относительно х1 или x2. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает

Метод интегрируемых комбинаций

Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений

иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций.

Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (8), но уже легко интегрирующееся.

Пример:

Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:

Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию:

Мы нашли два конечных уравнения

из которых легко определяется общее решение системы:

Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение

связывающее независимую переменную t и неизвестные функции Такое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируемая функция не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.

Если найдено п первых интегралов системы (8) и все они независимы, т. е. якобиан системы функций отличен от нуля:

то задача интефирования системы (8) решена (так как из системы

определяются все неизвестные функции

Системы линейных дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система n линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид

или, в матричной форме,

Теорема:

Если все функции непрерывны на отрезке то в достаточно малой окрестности каждой точки где выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (1).

Действительно, в таком случае правые части системы (1) непрерывны по совокупности аргументов t, и их частные производные по ограничены, так как эти производные равны непрерывным на отрезке [а,b] коэффициентам

Введем линейный оператор

Тогда система (2) запишется в виде

Если матрица F — нулевая, т. е. на интервале (а,b), то система (2) называется линейной однородной и имеет вид

Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных систем.

Теорема:

Если X(t) является решением линейной однородной системы

то cX(t), где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.

Теорема:

двух решений однородной линейной системы уравнений является решением той же системы.

Следствие:

с произвольными постоянными коэффициентами сi решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений

является решением той же системы.

Теорема:

Если есть решение линейной неоднородной системы

a Xo(t) — решение соответствующей однородной системы

будет решением неоднородной системы

Действительно, по условию,

Пользуясь свойством аддитивности оператора получаем

Это означает, что сумма есть решение неоднородной системы уравнений

Определение:

называются линейно зависимыми на интервале a

при причем по крайней мере одно из чисел аi, не равно нулю. Если тождество (5) справедливо только при то векторы называются линейно независимыми на (а, b).

Заметим, что одно векторное тождество (5) эквивалентно n тождествам:

называется определителем Вронского системы векторов

Определение:

Пусть имеем линейную однородную систему

где матрица с элементами Система n решений

линейной однородной системы (6), линейно независимых на интервале а

с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация п линейно независимых на интервале а

() — произвольные постоянные числа).

Пример:

имеет, как нетрудно проверить, решения

Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:

Общее решение системы имеет вид

(с1, с2 — произвольные постоянные).

Фундаментальная матрица

Квадратная матрица

столбцами которой являются линейно независимые решения системы (6), называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению

Если Х(t) — фундаментальная матрица системы (6), то общее решение системы можно представить в виде

— постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в (7) t = t0, имеем

Матрица называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы (6) можно представить так:

Теорема:

О структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений

с непрерывными на отрезке коэффициентами aij(t) и правыми частями fi(t) равно сумме общего решения

соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения неоднородной системы (2):

Метод вариации постоянных

Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

есть общее решение однородной системы (6), тогда

причем решения Xk(t) линейно независимы.

Будем искать частное решение неоднородной системы

где неизвестные функции от t. Дифференцируя по t, имеем

Подставляя в (2), получаем

то для определения получаем систему

или, в развернутом виде,

Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно определителем которой является определитель Вронского W(t) фундаментальной системы решений . Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале a

где — известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим

Подставляя эти значения в (9), находим частное решение системы (2)

(здесь под символом понимается одна из первообразных для функции

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

в которой все коэффициенты — постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа.

Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем.

Метод Эйлера

Будем искать решение системы

где — постоянные. Подставляя Xk в форме (2) в систему (1), сокращая на и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему

Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с n неизвестными имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

Уравнение (4) называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно степени n. Из этого уравнения определяются те значения , при которых система (3) имеет нетривиальные решения . Если все корни характеристического уравнения (4) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3), находим соответствующие им нетривиальные решения этой системы n, следовательно, находим п решений исходной системы дифференциальных уравнений (1) в виде

где второй индекс указывает номер решения, а первый — номер неизвестной функции. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы (1)

образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) имеет вид

где произвольные постоянные.

Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем.

Пример:

Ищем решение в виде

имеет корни

Система (3) для определения a1, а2 выглядит так:

Подставляя в (*) получаем

откуда а21 = а11. Следовательно,

Полагая в находим a22 = — a12, поэтому

Общее решение данной системы:

Матричный метод

Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы (1). Запишем систему (1) в виде

матрица с постоянными действительными элементами

Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор называется собственным вектором матрицы А, если

Число называется собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения

где I — единичная матрица.

Будем предполагать, что все собственные значения матрицы А различны. В этом случае собственные векторы g1, g2, …gn линейно независимы и существует матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. е. такая, что

Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов g1, g2 …, gn матрицы А.

Введем еще следующие понятия. Пусть В(t) — матрица, элементы которой суть функции аргумента t, определенные на множестве . Матрица В(t) называется непрерывной на , если непрерывны на все ее элементы . Матрица В(t) называется дифференцируемой на , если дифференцируемы на все элементы этой матрицы. При этом производной матрицы называется матрица, элементами которой являются производные у соответствующих элементов матрицы В(t).

Пусть B(t) — n х n-матрица,

— вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости формулы

В частности, если В — постоянная матрица, то

так как есть нуль-матрица.

Теорема:

Если собственные значения матрицы А различны, то общее решение системы (7) имеет вид

где g1, g2,…, gn — собственные векторы-столбцы матрицы А, произвольные постоянные числа.

Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле

где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t) из (11) в (7), получим систему

Умножая обе части последнего соотношения слева на и учитывая, что придем к системе

Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интегрируется:

Здесь — произвольные постоянные числа.

Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы

решение Y(t) можно представить в виде

В силу (11) Х(t) = TY(t). Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы собственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя (13) в (11), получим формулу (10):

Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений (7) имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы:

1) находим собственные значения матрицы как корни алгебраического уравнения

2) находим все собственные векторы g1, g2,…, gn;

3) выписываем общее решение системы дифференциальных уравнений (7) по формуле (10).

Пример:

Матрица А системы имеет вид

1) Составляем характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения

2) Находим собственные векторы

Для = 4 получаем систему

откуда g11 = g12, так что

Аналогично для = 1 находим

3) Пользуясь формулой (10), получаем общее решение системы дифференциальных уравнений

Корни характеристического уравнения могут быть действительными и комплексными. Так как по предположению коэффициенты системы (7) действительные, то характеристическое уравнение

будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным корнем оно будет иметь и корень *, комплексно сопряженный с . Нетрудно показать, что если g — собственный вектор, отвечающий собственному значению , то * — тоже собственное значение, которому отвечает собственный вектор g*, комплексно сопряженный с g.

При комплексном решение

системы (7) также будет комплексным. Действительная часть

этого решения являются решениями системы (7). Собственному значению * будет отвечать пара действительных решений X1 и -Х2, т. е. та же пара, что и для собственного значения . Таким образом, паре , * комплексно сопряженных собственных значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных уравнений.

Пусть — действительные собственные значения, — комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы (7) имеет вид

где сi — произвольные постоянные.

Пример:

1) Характеристическое уравнение системы

Его корни

2) Собственные векторы матриц

3) Решение системы

где а1, а2 — произвольные комплексные постоянные.

Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера

Следовательно, всякое действительное решение системы имеет

где с1, с2 — произвольные действительные числа.

Понятие о системах дифференциальных уравнений

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Курсовая работа: Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений

Федеральное Агентство по образованию

государственное Образовательное Учреждение высшего профессионального образования

« Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет»

Институт Нефти и Газа

Кафедра « математические методы в экономике»

по математическому анализу

Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений

Проверил: старший преподаватель

1 Системы линейных дифференциальных уравнений.

1.1 Общие сведения о линейных системах.

1.2 Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

1.3 Методы решения однородных линейных систем дифференциальных уравнений.

1.4 Методы решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений.

2. Решение линейных систем дифференциальных уравнений.

2.1.Решение методом сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

2.2. Решение однородных линейных систем дифференциальных уравнений.

2.2.1. Решение видоизмененным методом Эйлера

2.3.2. Решение методом неопределенных коэффициентов

1. Системы линейных дифференциальных уравнений.

1.1 Общие сведения о линейных системах.

Линейные системы – это системы дифференциальных уравнений вида

(1)

Где коэффициенты a_ij и f_i – некоторые функции независимой переменной x . Будем считать их непрерывными; тогда для данной системы заведомо выполняются условия теоремы о существование и единственности решения задачи Коши. Если все f_i =0, то система называется однородной , в противном случае она называется неоднородной. Система

(2)

Называется однородной системой , соответствующей неоднородной системе (1).

При изучении линейных систем удобно использовать матричные обозначения

Позволяющие записать систему (1) в виде одного матричного уравнения

(3)

Так же, как и в случае линейных уравнений, общее решение неоднородной системы представляет собой сумму частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы. В свою очередь, общее решение однородной системы имеет вид

(4)

Где С₁ ,…,С_n — произвольные постоянные, а

-произвольные линейно независимые решения, называемые фундаментальным набором решений этой системы. Критерием линейной независимости этих решений является неравенство нулю определителя Вронского

(5)

1.2 Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

(Этот метод применим как для однородной, так и для неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.)

Один из методов интегрирования линейной системы заключается в сведении системы к одному уравнению n-ого порядка с одной неизвестной функцией. Продемонстрируем это на примере системы двух уравнений.

(6)

Дифференцируя (по x) обе части первого уравнения системы (6), находим

откуда, заменяя производные y₁ ‘, y₂ ‘ их выражениями из самой системы, имеем

.

Группируя в правой части, получим уравнение вида

(7)

Где коэффициенты b₁ , b₂ и d₁ определенным образом выражаются через коэффициенты a_ij и q ₁ и их производные. Комбинируя уравнение (7) с первым уравнением системы (6), получим

(8)

Предположим, что в рассматриваемой области изменения x определитель

отличен от нуля. Тогда систему (8) можно решить относительно y₁ и y₂ , т.е. выразить y₁ и y₂ через y’₁ и y”₂ .

В результате приходим к уравнениям вида

(9)

. (10)

Первое из них представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией y₁ (t). Заметим, что если в исходной системе (6) все коэффициенты a_ij постоянны, то уравнение (9) также является уравнением с постоянными коэффициентами. [ 3 стр 509-510]

1.3 Методы решения однородных линейных систем дифференциальных уравнений.

1) Сведение к одному уравнению n-ого порядка. (Этот метод мы разбирали выше)

2) Решение ЛОСДУ с постоянными коэффициентами с помощью матриц (видоизмененный метод Эйлера).

Пусть дана система n линейных дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные:

(11)

Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения

.

Ищем решение системы в виде:

Требуется определить постоянные α_1, α₂ ,…, α_n и k так, чтобы функции α₁ e kt , α₂ e kt ,…,α_n e kt удовлетворяли системе уравнений (11). Подставим их в систему(1), получим:

Сократим на e kt . Перенося все члены в одну сторону и собирая коэффициенты при α_1, α₂ ,…., α_n , получим систему уравнений

Выберем α_1, α₂ ,…., α_n и k такими, чтобы удовлетворялась система (13).Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно α_1, α₂ ,…., α_n . Составим определитель системы (13):

(14)

Если k таково, что определитель ∆ отличен от нуля, то система (13) имеет только нулевые решения α₁ =α₂ =…=α_n =0,а следовательно, формулы (12) дают только тривиальные решения:

Таким образом, нетривиальные решения (12) мы получим только при таких k,при которых определитель (14) обращается в нуль. Мы приходим к уравнению n-ого порядка для определения k:

(15)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для системы (1),его корни называются корнями характеристического уравнения.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Обозначим через k₁ , k₂ ,….k_n корни характеристического уравнения. Для каждого корня k_j напишем систему (13) и определим коэффициенты

Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:

для корня k₁ решение системы (11)

Для корня k₂ решение системы (1)

для корней k_n решение системы (1)

Путем непосредственной подстановки в уравнения можно убедиться, что система функций

(16)

где С₁ , С₂ ,….,С_n -произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (11). Это есть общее решение системы (11). Легко показать, что можно найти такие значения постоянных, при которых решение будет удовлетворять заданным начальным условиям.

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные. Пусть среди корней характеристического уравнения имеется два комплексных сопряженных корня:

Этим корням будут соответствовать решения

(j = 1, 2, …,n), (17)

(j = 1, 2, …,n), (18)

Коэффициенты α _j ( 1 ) и α _j (2) определяются из системы уравнений (13).

Можно показать, что действительные и мнимые части комплексного решения тоже являются решениями. Таким образом, мы получаем два частных решения:

(19)

Где — действительные числа, определяемые через и . Соответствующие комбинации функций (18) войдут в общее решение системы. [2 стр 112-115]

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет единственный корень k (кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора P₁ и P₂ (т.е. кратность корня совпадает с числом линейно независимых собственных векторов). Векторы P₁ и P₂ порождают два линейно независимых решения

И общее решение, так же как и в случае 1, находится по формуле (4) .

Случай 4. Характеристическое уравнение имеет единственный корень k (кратности 2), которому с точностью до постоянного множителя соответствует один собственный вектор P₁ (т.е. кратность корня больше числа линейно независимых собственных векторов). В этом случае для отыскания решения целесообразно применить метод неопределенных коэффициентов . Согласно этому методу общее решение необходимо искать в форме

Где постоянные С_ij требуют определения путем подстановки этих выражений в исходную однородную систему.

Замечание. Для решения однородных систем в случае, когда корень характеристического уравнения λ кратный и ему соответствует единственный собственный вектор P₁ , может быть применен метод присоединения векторов .

Суть его такова. Пусть P₂ – вектор-столбец, являющийся решением уравнения

(20)

тогда однородная система

(21)

имеет два линейно независимых решения

.

Покажем, что Y₂ является решением. Имеем

.

Учитывая, что P₁ и — собственный вектор, а P₂ удовлетворяет условию (20), получаем

.

Нетрудно также убедиться, что Y₁ и Y₂ линейно независимы. Следовательно, они образуют фундаментальный набор решений, и общее решение может быть найдено по формуле (4).

В общем случае корню характеристического уравнения λ кратности k>1, имеющему один собственный вектор P₁ ,соответствует k линейно независимых решений

, (22)

Где присоединенные векторы P₂ ,P₃ ,…,P_k являются последовательными решениями следующих алгебраических систем

(23) [3 стр 519-522]

1.4 Методы решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений.

1) Для решения неоднородных линейных систем применяются методы, аналогичные методам, используемым для решения неоднородных линейных уравнений. Одним из таких методов является метод вариации постоянных. Продемонстрируем его суть на следующем примере.

Пример:

Решение. Решая характеристическое уравнение

Находим корни λ₁ =-1, λ₂ =4. Собственными векторами, отвечающими найденным собственным значениям, будут соответственно

Следовательно, общее решение соответствующей однородной системы имеет вид

.

Решение неоднородного уравнения в соответствии с методом вариации постоянной будем искать в форме

Для нахождения С₁ (x) и C₂ (x) подставив выражение для Y в исходную систему, получим

где — производные постоянные. Таким образом, решение исходной системы будет

2) В случае, когда столбец свободных членов системы имеет специальный вид

(24)

Где P_m (x) и Q_k (x) – вектор-столбцы, элементами которых являются многочлены от х степени, не превышающей соответственно n и k, для отыскания частного решения уравнения целесообразно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов . Для систем он имеет определенную специфику. Суть метода такова.

Если число γ = a + bi не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

где и — вектор-столбцы, элементами которых являются многочлены от x степени m=max.

Если же γ является корнем характеристического уравнения кратности l (резонансный случай), то частное решение ищется в форме

[ 3 стр 529-531]

2. Решение линейных систем дифференциальных уравнений.

2.1.Решение методом сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

2.2. решение однородных линейных систем дифференциальных уравнений.

2.2.1. Решение видоизмененным методом Эйлера

Пример1.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

Или . Находим корни:

Решение системы ищем в виде

.

Составим систему (3) для корня и определяем и :

Откуда . Полагая , получаем . Таким образом, мы получили решение системы:

Составим далее систему (3) для корня и определяем и :

Откуда и =1, =1. Получаем второе решение системы:

Общее решение системы будет (см (6))

Пример2.

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы

или

Находим его корни:

Составим систему (3) для корня и определяем и :

или =>

Откуда . Полагая , получаем .

Таким образом, мы получили решение системы:

Составим далее систему (3) для корня и определяем и :

Откуда и =1, =1.

Получаем второе решение системы:

Общее решение системы будет

Пример3.

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы

Раскрывая определитель, находим

Составим систему (3) для корня

одно из которых — следствие двух других. Возьмем, например, первые два уравнения:

Приняв k=1/4,получаем собственный вектор (2;1;-2).

При λ=2 имеет систему

Используя первые два уравнения (третье – их следствие), находим

Полагая k=1, находим собственный вектор (7;3;-8).

При λ=3 имеет систему

Из последнего уравнения находим Подставляем это значение p₁ в первое уравнение и находим Приняв получаем т.е. собственный вектор (3; 1; -3).

Фундаментальная система решении:

Общее решение записываем в виде

Пример 1.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

или

и находим его корни:

Подставляем в систему (3) и определяем и :

или

Откуда . Полагая , получаем .

Пишем решение (7):

Подставляя в систему (3), находим:

.

Получим вторую систему решений (8):

За системы частных решений можно взять отдельно действительные части и отдельно мнимые части

Общим решением системы будет

Пример 2.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

или

Характеристические числа: λ₁ =1, λ₂ =i, λ₃ = — i.

При λ₁ =1 для определения собственного вектора получаем систему уравнений

Эта система определяет собственный вектор (1; 1; 0).

При λ₂ =i получаем систему уравнений

Эта система определяет собственный вектор (1; i; 1-i).

При λ₃ = — i получаем систему уравнений

Эта система определяет собственный вектор (1; -i; 1+i).

Значению λ₁ =1 соответствуют решения

Значению λ₂ =i соответствуют решения

Значению λ₃ = — i соответствуют решения

Отделяя действительные части, получим решения

до решать

Пример 1.

Решение. Характеристическое уравнение

Имеет единственный корень λ=2 (кратности 2). Ему соответствует единственный собственный вектор

Поэтому решение в этом случае будем искать в виде

Подставляя выражения для y₁ и y₂ в исходную систему, находим

Отсюда получаем систему

Решая её, находим

Где P₁ , P₂ – произвольные постоянные. Таким образом, общее решение системы имеет вид

Пример 2.

Решение. Составим характеристическое уравнение системы

Раскрывая определитель, получаем

Данное уравнение после несложных преобразовании принимает вид

Отсюда находим: (простой корень), ему соответствует собственный вектор

и (корень кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора

Следовательно, общее решение системы имеет вид

2.3. решение неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений.

2.3.1. Решение методом вариации постоянных.

Пример 1.

Решение. Решая характеристическое уравнение

Находим корни . Собственными векторами, отвечающими найденным собственным значениям, будут соответственно

,

Следовательно, общее решение соответствующей однородной системы имеет вид

Решение неоднородного уравнения в соответствии с методом вариации постоянной будем искать в форме

Для нахождения С₁ (x) и С₂ (x) подставив выражение для Y в исходную систему, получим

Где — произвольные постоянные. Таким образом, решение исходной системы будет

2.3.2. Решение методом неопределенных коэффициентов

Пример 1.

Решение. Решая характеристическое уравнение системы

Находим корни . Собственными векторами, отвечающими найденным собственным значениям, будут соответственно

,

Следовательно, общее решение соответствующей однородной системы имеет вид

Теперь найдем частное решение. В рассматриваемом случае элементы столбца свободных членов представляют собой многочлены степени, не превышающей 1, и так как число γ=0 не совпадает с корнями характеристического уравнения, то частное решение неоднородной системы будем искать в виде

Где p, q, c и d – некоторые постоянные. Для их определения подставим выражение для в исходную систему. Получим

Решив эту систему, находим p=1, q= — 1, c= — 2 и d=1. Следовательно,

Так как общее решение неоднородной системы уравнения Y представляет собой сумму частного решения и общего решения соответствующей однородной системы, то окончательно получаем

Пример 2.

Решение. Решая характеристическое уравнение системы

Его корни будут . Им соответствуют собственные векторы

,

Следовательно, общее решение соответствующей однородной системы имеет вид

Теперь найдем частное решение. В рассматриваемом случае число γ= 1 совпадает с корнем λ₁ характеристического уравнения (резонансный случай). Так как элементы столбца свободных членов представляют собой многочлены нулевой степени, частное решение неоднородной системы будем искать в виде

где p, q, c и d – некоторые постоянные. Подставим выражение для в исходную систему. Получим

Решив эту систему, находим

Полагая с =1, получаем d = 5. Следовательно,

Таким образом, общее решение системы имеет вид

Список используемой литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Выцсшая математика в упражнениях и задачах. –М.: “Высшая школа”, 1986.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.- М.:”Наука”, 1978.

3. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике.- М.:”Финансы и статистика”, 2003.

Системы дифференциальных уравнений

Системы дифференциальных уравнений бывают двух основных типов — линейные однородные и неоднородные. Решать системы дифференциальных уравнений можно также двумя основными способами решения:

1. Метод исключения, суть которого в том, что в процессе решения система дифуравнений сводится всего лишь к одному дифференциальному уравнению.
2. При помощи характеристического уравнения или метод Эйлера.

В основном системы дифференциальных уравнений решаются первым способом.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

Простейшую однородную систему дифференциальных уравнений можно представить в следующем виде:

, где k, l, m, n – это обыкновенные числа, x(t) и y(t) – неизвестные функции. Переменная t играет роль независимой переменной (в обычном дифференциальном уравнении на ее месте обычно встречается х).

и – первые производные неизвестных функций x(t) и y(t) соответственно.

Решить систему дифференциальных уравнений — означает определить такие функции x(t) и y(t), которые удовлетворяют обоим уравнениям системы. Как видно, все очень похоже на обычные системы линейных уравнений, разница лишь в том, что там корни уравнения — это числа, а здесь – функции.

Ответ запишем в виде общего решения системы дифуравнений:

Можно записать систему более компактно:

Самым распространенным является вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, где приняты следующие обозначения:

и – производные 1-го порядка;

и – производные 2-го порядка.

Требуется найти решение задачи Коши для системы дифуравнений при начальных условиях x(0) = 3, y(0) = 0.

При решении будем использовать метод исключения.

Возьмем второе уравнение системы и выразим из него х:

, знак * мы используем для быстрого поиска этого уравнения, т.к. оно нам понадобится в дальнейшем.

Продифференцируем обе части полученного уравнения по t:

По-другому это выглядит следующим образом:

Подставляем и в первое уравнение системы :

Максимально упростим это уравнение:

Как видите, мы получили обыкновенное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. С производными оно выглядит следующим образом:

.

Далее необходимо составить и решить характеристическое уравнение:

– мы получили различные действительные корни, поэтому:

.

Одна функция найдена. Теперь приступим к поиску x(t).

Найдем производную найденной функции .

Дифференцируем по t:

Теперь подставим и в уравнение (*):

Упростим полученное уравнение:

Итак, мы нашли обе функции.

Общее решение системы будет:

Теперь займемся поиском частного решения, соответствующего начальным условиям x(0) = 3 и y(0) = 0. Для этого почленно вычитаем из первого уравнения второе.

Подставим найденные коэффициенты:

Это и будет частное решение системы.

Остается провести проверку найденного результата:

Проверим выполнение начальных условий x(0) = 3 и y(0) = 0:

Проверка прошла успешно.

Проверим найденный ответ на удовлетворение первому уравнению системы

Возьмем функцию и найдем её производную:

Подставим , в первое уравнение системы:

Равенство верно, следовательно проверка прошла успешно.

Проверим найденный ответ на удовлетворение второму уравнению системы

Возьмем функцию и найдем её производную:

Подставим , и во второе уравнение системы:

Равенство верно, следовательно и эта проверка прошла успешно.

Итак, мы убедились, что выполнение начальные условия выполняются и что найденное частное решени

удовлетворяет каждому уравнению исходной системы .

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях: