Дифференциальных уравнений в экономике задача

Что такое дифференциальное уравнение и зачем оно нужно?

На сегодняшний день одним из важнейших навыков для любого специалиста является умение решать дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений – без этого не обходится ни одна прикладная задача, будь это расчет какого-либо физического параметра или моделирование изменений в результате принятой макроэкономической политики. Эти уравнения также важны для ряда других наук, таких как химия, биология, медицина и т.д. Ниже мы приведем пример использования дифференциальных уравнений в экономике, но перед этим кратко расскажем об основных типах уравнений.

Дифференциальные уравнения – простейшие виды

Мудрецы говорили, что законы нашей вселенной написаны на математическом языке. Конечно, в алгебре есть много примеров различных уравнений, но это, большей частью, учебные примеры, неприменимые на практике. По-настоящему интересная математика начинается, когда мы хотим описать процессы, протекающие в реальной жизни. Но как отразить фактор времени, которому подчиняются реальные процессы – инфляция, выработка продукции или демографические показатели?

Вспомним одно важное определение из курса математики, касающееся производной функции. Производная является скоростью изменения функции, следовательно, она может помочь нам отразить фактор времени в уравнении.

То есть, мы составляем уравнение с функцией, которая описывает интересующий нас показатель и добавляем в уравнение производную этой функции. Это и есть дифференциальное уравнение. А теперь перейдем к простейшим типам дифференциальных уравнений для чайников.

Простейшее дифференциальное уравнение имеет вид $y’(x)=f(x)$, где $f(x)$ – некоторая функция, а $y’(x)$ – производная или скорость изменения искомой функции. Оно решается обычным интегрированием: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Второй простейший тип называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Такое уравнение выглядит следующим образом $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Видно, что зависимая переменная $y$ также входит в состав конструируемой функции. Уравнение решается очень просто – нужно «разделить переменные», то есть привести его к виду $y’(x)/g(y)=f(x)$ или $dy/g(y)=f(x)dx$. Остается проинтегрировать обе части $$\int \frac=\int f(x)dx$$ – это и есть решение дифференциального уравнения разделяющегося типа.

Последний простой тип – это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид $y’+p(x)y=q(x)$. Здесь $p(x)$ и $q(x)$ – некоторые функции, а $y=y(x)$ – искомая функция. Для решения такого уравнения применяют уже специальные методы (метод Лагранжа вариации произвольной постоянной, метод подстановки Бернулли).

Есть более сложные виды уравнений – уравнения второго, третьего и вообще произвольного порядка, однородные и неоднородные уравнения, а также системы дифференциальных уравнений. Для их решения нужна предварительная подготовка и опыт решения более простых задач.

Большое значение для физики и, что неожиданно, финансов имеют так называемые дифференциальные уравнения в частных производных. Это значит, что искомая функция зависит от нескольких переменных одновременно. Например, уравнение Блека-Шоулса из области финансового инжиниринга описывает стоимость опциона (вид ценной бумаги) в зависимости от его доходности, размера выплат, а также сроков начала и конца выплат. Решение дифференциального уравнения в частных производных довольно сложное, обычно нужно использовать специальные программы, такие как Matlab или Maple.

Пример применения дифференциального уравнения в экономике

Приведем, как и было обещано, простой пример решения дифференциального уравнения. Вначале поставим задачу.

Для некоторой фирмы функция маржинальной выручки от продажи своей продукции имеет вид $MR=10-0,2q$. Здесь $MR$ – маржинальная выручка фирмы, а $q$ – объем продукции. Нужно найти общую выручку.

Как видно из задачи, это прикладной пример из микроэкономики. Множество фирм и предприятий постоянно сталкивается с подобными расчетами в ходе своей деятельности.

Приступаем к решению. Как известно из микроэкономики, маржинальная выручка представляет собой производную от общей выручки, причем выручка равна нулю при нулевом уровне продаж.

С математической точки задача свелась к решению дифференциального уравнения $R’=10-0,2q$ при условии $R(0)=0$.

Проинтегрируем уравнение, взяв первообразную функцию от обеих частей, получим общее решение: $$R(q) = \int (10-0,2q)dq = 10 q-0,1q^2+C. $$

Чтобы найти константу $C$, вспомним условие $R(0)=0$. Подставим: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Значит C=0 и наша функция общей выручки принимает вид $R(q)=10q-0,1q^2$. Задача решена.

Другие примеры по разным типам ДУ собраны на странице: Дифференциальные уравнения с решениями онлайн.

Примеры приложений к задачам экономики:

Еще раз о теории

Если в уравнении

f ( x, y ) = f₁( x ) f₂( y ), то такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Его общий вид:

.

Предполагая, что f₂( y ) ¹ 0, преобразуем последнее уравнение:

.

В обеих частях полученного уравнения стоят дифференциалы некоторых функций аргумента х. Из равенства дифференциалов этих функций следует, что сами функции отличаются одна от другой на константу.

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы .

Задача . Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x₀ человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x ( t ). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению

.

Здесь k – положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t :

.

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

.

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:

из которого определим функцию x ( t ):

.

Здесь E = e –D . Такого вида функция называется логистической , а её график – логистической кривой.

Если теперь учесть, что х (0) = х ₀ и положить х₀ = N/ a , где a > 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

.

На рисунке 2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях a . Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

С помощью логистической функции описываются многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

2. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

При a₀ ¹ 0 его можно представить в виде:

Если правые части (1) и (2) равны нулю, то эти уравнения называются однородными, в противном случае – неоднородными.

Если в уравнении (1) a₀( x ) = a₀ и a₁( x ) = a₁, то есть эти функции являются константами, то уравнение (1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородное уравнение

Перепишем его в виде: или . Последнюю формулу можно рассматривать как равенство дифференциалов функций одного и того же аргумента x . Интегрируя это равенство, получаем ln y = – ax + C, или y = e – ax + C , где C ‑ произвольная константа. Если теперь ввести обозначение e C = A, то можно представить так называемое общее решение уравнения (3) в виде:

Это решение зависит от неопределенной константы A, придавая которой различные значения, можно получить все множество интегральных кривых уравнения (3). Если мы хотим найти интегральную кривую, проходящую через точку ( x₁, y₁), то нужно подставить координаты точки в формулу (4) и определить значение константы A. С этим значением константы A формула (4) будет определять лишь одну интегральную кривую или так называемое частное решение уравнения (3).

Как правило, задача ставится так: найти решение уравнения (3) при условии

Последняя формула называется начальным условием для уравнения (3).

Дифференциальное уравнение (3) при начальном условии (5) имеет единственное решение, которое определяется формулой

Заметим, что для задания начального условия, вообще говоря, не обязательно выбирать значение аргумента x , равное нулю. Как сказано выше, выделить единственное решение из множества, задаваемого формулой (4) (то есть определить константу А), можно с помощью любого соотношения y ( x₁) = y₁, считая его начальным условием.

Если в уравнении (3) a = 0, то интегрирование приводит к решению y ( x ) = C, то есть к константе, которая при начальном условии (5) равна y₀. Таким образом решение y ( x ) сохраняет начальное значение y₀ при изменении x .

Рассмотрим теперь случай неоднородного дифференциального уравнения первого порядка. Пусть дано уравнение

с начальным условием y (0) = y₀.

Введем новую неизвестную (считаем, что a ¹ 0). Теперь уравнение (7) примет вид или z ¢ + az = 0. Как было показано выше, решением последнего уравнения является функция z = z₀ e – ax , где . Возвращаясь к изначальной неизвестной, получаем решение уравнения (7) при заданном начальном условии:

. (8)

Если в уравнении (7) a = 0, то его решением при заданном начальном условии будет функция y ( x ) = bx + y₀.

Заметим, что решение (8) состоит из двух частей:

y_h = Ae – ax ‑ решения однородного уравнения y ¢ + ay = 0 и

y ₀ ( x ) = b / a ‑ решения, которое назовем равновесным и которое получается , если в уравнении (7) положить y ¢ = 0. Такое представление позволяет рассматривать решение (8) уравнения (7) как сумму равновесного или фиксированного значения y_e и отклонения или девиации y_h траектории y ( x ) от равновесного значения. Это отклонение возрастает экспоненциально с ростом x при a a > 0. В первом случае ( a неустойчивым, а во втором – устойчивым (асимптотически устойчивым).

Как показано на рисунках 1 и 2, отклонение y_h = ( y₀ – y_e ) e – ax от уровня равновесия уменьшается с ростом x при a > 0 и увеличивается с ростом x при a

В качестве примера рассмотрим динамическую модель Вальраса устойчивости рынка. Она формулируется следующим образом.

Задача. Имеется несколько продавцов и несколько покупателей некоторого товара. Некий посредник объявляет цену p на товар, после чего каждый продавец сообщает, сколько товара он может продать при такой цене. Суммарное количество товара, выставляемое на продажу при данной цене, называется предложением и будет обозначаться S( p ). Также каждый покупатель сообщает, сколько товара он собирается купить при данной цене. Сумма потребностей покупателей в дальнейшем будет называться спросом и обозначаться D( p ). Введем понятие избыточного спроса E( p ) как разности между спросом и предложением: E( p ) = D( p ) – S( p ). Если E( p ) ³ 0, цена растет до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие, которое определяется равенством спроса и предложения, то есть равенством D( p ) = S( p ) или E( p ) = 0. Если E( p ) £ 0, то есть имеет место избыточное предложение, происходит снижение цены, пока не наступит равновесие. Здесь уместно сделать самое простое возможное предположение, заключающееся в том, что скорость изменения цены во времени пропорциональна избыточному спросу: малый избыточный спрос вызовет медленное увеличение цены товара, большой избыточный спрос – быстрое увеличение цены, малое избыточное предложение – медленное понижение цены и т. д.

Отсюда следует уравнение

.

Здесь k ‑ положительная константа, отражающая скорость процесса.

Пусть спрос и предложение являются линейными функциями цены:

Тогда, приняв начальное условие p (0) = p₀, будем иметь уравнение

.

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами, которое, как было показано выше, имеет решение

,

которое устойчиво, если b – d 0 и неустойчиво при b – d > 0. Но b ‑ тангенс угла наклона кривой спроса, а d ‑ тангенс угла наклона кривой предложения, и если выполняется условие b – d 0 (которое верно при убывании спроса и возрастании предложения с ростом цены ) , рынок устойчив, то есть избыточный спрос снижается и окончательно устраняется возрастающей ценой. Если b – d > 0, рынок неустойчив: будет иметь место непрерывная и неограниченная инфляция.

3. Рассмотрим теперь линейные дифференциальные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Выпишем такое уравнение в общем виде:

Здесь a ( x ) ‑ некоторая функция аргумента x . Как мы это делали раньше, вначале будем искать решение однородного уравнения, положив функцию b ( x ) в правой части (9) равной нулю. Представив уравнение у ¢ + a ( x ) y = 0 в виде

,

после интегрирования получаем

. (10)

Здесь A ‑ неопределенная константа, которую можно найти из начального условия y (0) = 0.

Пример. Решить уравнение y ’ + 2 xy = 0 при начальном условии y (0) = 3.

a ( x ) = 2 x,

и начальное условие определяет A = 3. Искомое решение имеет вид

.

Перейдем к решению неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с переменными коэффициентами. Положим в формуле (10) A = A( x ), то есть будем считать множитель A некоторой функцией от x . Этот метод называется методом вариации произвольной постоянной, и с его помощью мы попытаемся решить уравнение (9) при условии, что b ( x ) есть некоторая функция, не равная тождественно нулю. Из формулы (10) получаем :

; .

После подстановки этих выражений уравнение (9) принимает вид

,

откуда следует уравнение относительно функции :

,

.

Подставив это выражение в (10), получим общее решение уравнения (9):

. (11)

Пример. Решить уравнение при начальном условии y (1) = 2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x = 0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F (см. формулу (1) из §1).)

Для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться формулой (11), но мы пойдем другим путем: применим метод решения уравнений, которым была получена формула (11).

В нашем уравнении . Решение однородного уравнения получается из формулы (10):

. (12)

Реализуем теперь вариацию произвольной константы A, считая, что A = A( x ) есть некоторая функция аргумента x . Тогда , и подставив это выражение вместе с приведенным выше выражением для y в исходное уравнение, получим :

,

откуда следует, что A ¢ ( x ) = x 2 или . Если теперь подставить это в формулу (12), то получится общее решение исходного уравнения: . С помощью начального условия найдем значение неопределенной константы C и выпишем решение поставленной задачи: .