Диффузия из постоянного источника описывается уравнением

Диффузия из бесконечно тонкого слоя (из ограниченного источника)

Диффузия из бесконечно тонкого слоя соответствует ситуации, когда небольшое количество легирующего вещества осаждается на поверхности легируемого материала. В этом случае все диффундирующие в течение некоторого времени t с поверхности в объем атомы полностью переходят в кристалл, причем распределяются моноатомно. В любой момент времени полное количество диффундирующих атомов остается постоянным.

По мере удаления от поверхности кристалла (источника) концентрация диффундирующих атомов C падает, стремясь к 0 (рис. 8.5). Максимальное значение C достигается при x = 0. Со временем начальное распределение постепенно расплывается, величина максимума кривой распределения понижается пропорционально корню квадратному из времени. Таким образом, для диффузии из бесконечно тонкого слоя характерно уменьшение со временем количества диффундирующих атомов у поверхности за счет проникновения их в глубь кристалла.

Рис. 8.5. Диффузия из бесконечно тонкого слоя в полуограниченное тело.

Следует отметить, что так как поток вещества через плоскость x = 0 отсутствует, то в любой момент времени t > 0 диффундирующее вещество не поступает в тело извне, а целиком уже находится в нем. Однако в реальных системах растворимость вещества, как правило, ограничена и вещество продолжает поступать в диффузионную зону и при t = 0, то есть нарушается условие j(x, t)(x = 0) = 0 и количество вещества S в диффузионной зоне меняется со временем, а не остается постоянным. Поток вещества через плоскость x = 0 играет роль в основном в первые моменты диффузии. С течением времени реальный источник вещества постепенно иссякает и распределение концентраций все более приближается к распределению, описываемому формулой (8.19).

Диффузия из постоянного источника

Термин диффузия из постоянного источника означает, что в полуограниченное тело через плоскость x = 0 проникает извне диффундирующее вещество, причем на границе тела поддерживается постоянная, не зависящая от времени поверхностная концентрация Cs этого вещества, то есть запас атомов диффундирующей примеси на поверхности или в питающей паровой фазе, контактирующей с ней, настолько велик, что не меняется в процессе диффузии. Тогда начальные и граничные условия для уравнения (8.6) в этом случае будут следующие: C(x, 0) = 0;

C(0, t) = Cs; C(∞, t) = 0. Решение уравнения (8.16) в этом случае имеет

Рис. 8.6. Диффузия из постоянного источника в полуограниченное тело.

— функция Гаусса, Y = x/(2√Dt), а Cs — некоторая постоянная поверхностная концентрация вещества (см−3).1

Соответствующее распределение примесных атомов по глубине кристалла показано на рис. 8.6. Видно, что поток диффузии максимален в первые моменты времени и обращается в нуль при t → ∞. Для таких условий диффузии характерен рост концентрации примеси в приповерхностном слое со временем и стремление ее к постоянной величине

Источник: И. А. Случинская, Основы материаловедения и технологии полупроводников, Москва — 2002

Уравнение диффузии

Явлением диффузии называется процесс установления внутри фаз равновесного распределения концентраций.

Результатом диффузии при постоянной температуре является выравнивание химических потенциалов. В однофазной системе при постоянной температуре и при отсутствии внешних сил диффузия выравнивает концентрацию компонента фазы во всей системе. Если на систему действуют внешние силы или поддерживается градиент температуры, то в результате диффузии устанавливаются градиенты концентраций отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффузия и другие процессы).

Уравнение диффузии в одномерном случае

Уравнение диффузии в одномерном случае в двухкомпонентной системе — это первый закон Фика: где dm – масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали x к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента, – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.

Если в однокомпонентной системе выделить группу молекул, выравнивание концентрации выделенных частиц по объёму сосуда называется самодиффузией. Самодиффузия тоже описывается уравнением диффузии (первым законом Фика), в котором коэффициент D- называется коэффициентом самодиффузии.

Уравнение диффузии в трехмерном случае

В случае трехмерной диффузии изменение концентрации с течением времени при постоянной температуре и отсутствии внешних сил описывается дифференциальным уравнением диффузии:

где D- коэффициент диффузии, t- время. Если D не зависит от концентрации, то уравнение диффузии будет иметь вид:

Уравнение (3) еще называют вторым законом Фика, где — дифференциальный оператор Лапласа.

В том случае, если перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации уравнение диффузии можно записать и в следующем виде:

где c(x, t) — концентрация вещества в точке среды в момент времени t, D – коэффициент диффузии, q — коэффициент поглощения, a F — интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями координат и времени, а также могут зависеть от концентрации с(x, t). B последнем случае, уравнение диффузии (4) становится нелинейным. В анизотропной среде коэффициент диффузии D является тензорным полем. В случае, когда величины D и q постоянны уравнение (4) является уравнением параболического типа. Для такого типа уравнений в математической физике разработаны методы решения. Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев реализуемых на практике. Уравнения диффузии не содержат ни каких сведений о механизмах этого процесса. Основная цель решения уравнения — найти распределение примеси c(x,t) после диффузии в течение определенного времени при различных условиях осуществления процесса.

Решение уравнения диффузии

Для выделения единственного решения для уравнения (4) необходимо задать начальные и граничные условия. Обычно, рассматривают следующие граничные условия:

1) на границе поверхности S поддерживается заданное распределение вещества

2)на границе поверхности S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через границу

где n – внутренняя нормаль к поверхности S;

3) S- полупроницаема, и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией через поверхность S происходит по линейному закону:

В простейшем случае, когда диффузия происходит только вдоль одной прямой и c=c(x,t)уравнение (3) запишется в виде:

с начальным условием

Тогда уравнение (5) имеет решение вида:

x’ — текущая координата интегрирования.

Выражение (6) называется фундаментальным решением уравнения диффузии в случае (5).

Примеры решения задач

Найти массу газа с молярной плотностью , прошедшего вследствие диффузии через площадку за время , если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен .Температура газа T, средняя длинна свободного пробега молекулы .

Запишем первый закон Фика в терминах условий задачи:

Знак минус означает, направление вектора плотности. Возьмем модуль от правой части выражения (1.1):

Зная, что , где средняя длина свободного пробега молекулы, средняя скорость молекулы газа и она равна:

Соответственно преобразуем (1.2), найдем искомую массу газа:

Искомая масса газа может быть найдена по формуле: